Algebra

=((1)(Ò))
1Ò¾.Označme=(1Ò).Přímozdefiniceplyne
((1Ò))=()=()=(1()Ò())=
()=()=(³())=(Ƴ)()=³()
cožsemělodokázat.
Dokažmenynídruhétvrzení.Jezřejmé,žepodmínkaƳ=³prokaždé
¾Áplatíprávětehdy,kdyždefinujeme³:následujícímpředpisem.Pro
každé¾klademe³()=,kde¾jeurčenopodmínkou:prolibovolné
¾Áplatí
=(³(1)³(Ò)),podledefinicesoučinuΩ-algeberpakprokaždé¾Á
Pro³()¾tedy platí:pro každé¾Áje (³())() =³(). Ověřme, že
taktodefinované zobrazení³:jehomomorfismus Ω-algeber. Zvolme
=³((1Ò))
libovolně operační symbol¾Ω arityÒaprvky1Ò¾. Označme
platí
³((1Ò))=
()=((³(1))()(³(Ò))())=(³(1)³(Ò))=
³((1Ò))¡()
neboť³:jehomomorfismusΩ-algeber.Ovšem
³((1Ò))¡=
Toznamená,žea³((1Ò))jsou(jakožtoprvkykartézskéhosoučinu)
zobrazenísestejnýmdefiničnímoborem,oboremhodnotipředpisem,protoplatí
=³((1Ò)),tj.(³(1)³(Ò))=³((1Ò)),cožsemělo
dokázat.
4.Kongruenceafaktorovéalgebry
Poznámka. V této kapitolezobecníme pojmy faktorgrupa a faktorokruh
napřípadlibovolnéΩ-algebry.Nepodařísenámvšaknaléztpojemodpovídající
pojmůmnormálnípodgrupagrupyaideálokruhu.Uvědommesi,jakjsmepojem
normálnípodgrupadostali:přifaktorizacigrupynebylonutnésipamatovatcelý
rozkladnosnémnožinyužívanýkfaktorizaci,stačilosipamatovattutřídu,která
obsahovalaneutrálníprvekgrupy.Celýrozkladjsmetotižbylischopnizeznalosti
tétojedinétřídyjednoznačněurčit,neboťtatotřídabylanormálnípodgrupacelé
grupyazmíněnýrozkladbylrozkladempříslušnýmtétopodgrupě.Tatosituacese
pakopakovalaivpřípaděokruhů,vždyťkaždýokruh(zapomeneme-linaoperaci
násobení)jekomutativnígrupa.ToalesamozřejměneplatíprolibovolnéΩ-algebry.
ProtopřifaktorizaciΩ-algebernevystačímejensezadánímnějakévhodnépodmnožinynosnémnožiny(jakožtojednétřídyrozkladu),alebudevždytřebazadat
rozkladcelý.Rozkladsamozřejmělzezadatpomocíjemuodpovídajícíekvivalence.
9