Algebra

ataké
=(1Ò) =Ø(1Ò)= =((Ø1)(1Ò)(Ø)(1Ò))=
atedypodledefiniceoperacínasoučinuΩ-algeberprokaždé¾Áplatí()=
(1()Ò()).Ovšemvýšejsmeodvodili,že(1()Ò())=
Ø(1()Ò()).
Větajedokázána.
Poznámka.Následujícívětulzestručnězformulovattakto:varietyjsouuzavřenénalibovolnésoučinyalgeber.
Věta6.5. NechťÌjeteorietypuΩ,ÎvarietaΩ-algeberurčenáteoriíÌ.
NechťprolibovolnýprvekmnožinyÁjedánauniverzálníalgebratypuΩ.
OznačmesoučintěchtoΩ-algeber,tj.=ɾÁ.Pakplatí:jestližeprokaždé
(Ø1)(1Ò)=(Ø2)(1Ò)
¾Áje¾Î,paktéž¾Î.
Důkaz. UvažmelibovolnourovnostØ1=Ø2zteorieÌ.Protožeprokaždé
¾Áje¾Î,platítatorovnostvΩ-algebře.NechťÒjetakové,žeobatermy
Ø1,Ø2jsouÒ-ární.Jetřebaověřit,žeprolibovolné1Ò¾platí
Označme1=(Ø1)(1Ò)a2=(Ø2)(1Ò).Našímcílemjedokázat,že1=2.Podledefinicesoučinumnožinjsou1a2zobrazenísestejným
definičnímoboremioboremhodnot.Jetřebaověřit,žemajítéžstejnýpředpis,tj.
žeprokaždé¾Áplatí1()=2().Zpředchozívětyplyne,žeprokaždé¾Á
(Ø1)(1()Ò())=(Ø2)(1()Ò())
platí1()=(Ø1)(1()Ò())a2()=(Ø2)(1()Ò()).Protože
rovnostØ1=Ø2platívΩ-algebře,je
atedytéž1()=2(),cožjsmechtělidokázat.Dokázalijsme,žekaždárovnost
teorieÌplatívΩ-algebřeatedy¾Î.
Příklad.Nyníjsmeschopnidokázatslíbenétvrzení,žeanitříduvšechoborů
integrityanitříduvšechtělesnemůžemedostatjakovarietuuniverzálníchalgeber
typu+¡ 01.Podlepředchozívětyktomustačínajítdvětělesa,jejichžsoučinemnenítěleso,advaoboryintegrity,jejichžsoučinemneníoborintegrity.Hledání
takovýchtělesjesnadné:platídokonce,žesoučinlibovolnýchdvoutěles(kterájsou
samozřejměioboryintegrity)neníoboremintegrity(atedyanitělesem).Vkaždém
takovémsoučinutotižmámedělitelenuly,neboťplatí(01)¡(10)=(00).(PokudVámnenítentoobecnýpříkladjasný,uvažtedvěkopietělesaodvouprvcích
–okruhuzbytkovýchtřídmodulo2–avypištesivšechnyčtyřiprvkyasestavte
tabulkuprooperacinásobení.)
Příklad. Třídavšechsvazů,kteréjsouřetězci(tj.lineárněuspořádanými
množinami)netvořívarietuuniverzálníchalgebertypu,neboťsoučinem
dvoudvouprvkovýchsvazů,kteréjsouřetězci,ječtyřprvkovýsvaz,kterýnení
řetězec.
23