Algebra
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
naΩ-algebře(Ω)takových,že(Ω)patřídoÎ.Prvnítvrzenítedyplynez<br />
prvníhotvrzenívěty4.4.Podledruhéhotvrzenívěty4.4existujehomomorfismus<br />
Ω-algeber³:(Ω)ɾÃ(Ω),jehožjádremjeprůnikvšechkongruencí<br />
¾Ã,tedykongruenceÎ.Podledůsledkuvěty4.5je(Î)=(Ω)Î<br />
izomorfníspodalgebrou³((Ω))Ω-algebryɾÃ(Ω).TentosoučinΩalgeberzuzavřenétřídyÎpatřídoÎaopětzuzavřenostiÎplyne,žetakéjeho<br />
podalgebra³((Ω))patřídoÎ,atedydoÎpatříistoutoΩ-algebrouizomorfní<br />
Ω-algebra(Î),cožsemělodokázat.<br />
Definice.NechťΩjetyp,množina,ÎjeuzavřenátřídaΩ-algeber.Faktorováalgebra(Î)=(Ω)Îzvěty8.3senazývávolnáalgebratřídyÎ<br />
generovanámnožinou.Nechť:(Î)jezobrazeníurčenépodmínkou<br />
(Ü)=(Ü)provšechnyprvkyܾ,kde:(Ω)(Î)jeprojekce<br />
nafaktorovoualgebru.Pakzobrazenísenazývávnořenígenerátorůdovolné<br />
algebry(Î).<br />
Poznámka.PokudtřídaÎobsahujenějakouΩ-algebru,kteráneníjednoprvkováneboprázdná,lzesnadnoodvoditznásledujícívěty8.4,žezobrazeníje<br />
injektivní.<br />
Poznámka.Nyníukážeme,žeΩ-algebra(Î)zpředchozídefiniceskutečně<br />
splňujecharakterizačnípodmínkuvolnéalgebry.<br />
Věta8.4.NechťΩjetyp,množina.NechťÎjeuzavřenátřídaΩ-algeber,<br />
(Î)=(Ω)ÎvolnáalgebratřídyÎgenerovanámnožinou,:<br />
(Î)vnořenígenerátorůdovolnéalgebry(Î).NechťjelibovolnáΩ-algebra<br />
ztřídyÎa:libovolnézobrazení.Pakexistujejedinýhomomorfismus<br />
Ω-algeber:(Î)splňujícípodmínkuÆ=.<br />
Důkaz.Dokažmenejprveexistencihomomorfismu.Nechť:(Ω)<br />
(Î)jeprojekcenafaktorovoualgebru.Podlevěty8.2existujejedinýhomomorfismusΩ-algeber³:(Ω)splňujícípodmínku³(Ü)=(Ü)provšechny<br />
prvkyܾ.Protože³((Ω))jepodalgebraΩ-algebrypatřícídoÎ,zuzavřenostiÎplyne,žedoÎpatří³((Ω)).Označmejádrohomomorfismu³.<br />
Podledůsledkuvěty4.5je³((Ω))izomorfnís(Ω).Proto(Ω)patří<br />
doÎ,atedyjejednaztěchkongruencí,jejichžprůnikemjeÎ.JeprotokongruenceÎmenšíneborovnakongruenci.Protožejejádrohomomorfismu<br />
³:(Ω),(Î)=(Ω)Îa:(Ω)(Î)jeprojekcena<br />
faktorovoualgebru,podlevěty4.5existujejedinýhomomorfismusΩ-algeber ˜³:<br />
(Î)svlastnost혳Æ=³.Protožepak˜³((Ü))=˜³((Ü))=³(Ü)=(Ü)<br />
provšechnyprvkyܾ,platí ˜³Æ=,atedyje=˜³hledanýhomomorfismus.Dokažmenyní,žehomomorfismusjepodmínkouvětyurčenjednoznačně.<br />
NechťtedyhomomorfismusΩ-algeber¼:(Î)takésplňujepodmínku<br />
¼Æ=.Pak¼((Ü))=(Ü)provšechnyprvkyܾa³¼=¼Æsplňuje<br />
podmínkuvěty8.2.Protožehomomorfismussplňujícítutopodmínkujejediný,dostáváme³¼=³.Tedy¼Æ=˜³Æ,zjednoznačnostizvěty4.5plyne¼=˜³=.<br />
Větajedokázána.<br />
Poznámka.Vnásledujícívětěukážeme,žepodmínkazpředchozívětyskutečněcharakterizujeΩ-algebru(Î),určujejitotižjednoznačněažnaizomorfismus.<br />
33
Change language