Algebra
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Poznámka.TermytypuΩ,kteréjsmeužívalidosud,jsoutedytermytypu<br />
ΩnadmnožinouÜ1Ü2.<br />
Definice.NechťΩjetyp,množina.Namnožině(Ω)definujemevolnou<br />
algebrutypuΩgenerovanoumnožinounásledujícímzpůsobem.ProlibovolnýÒárníoperačnísymbol¾ΩdefinujemeÒ-árníoperaci(Ω)naΩ-algebře(Ω)<br />
příslušnouoperačnímusymbolutakto:prolibovolnétermyØ1,,ØÒ¾(Ω)<br />
je(Ω)(Ø1ØÒ)=(Ø1ØÒ).<br />
Poznámka.OprávněnostnázvuΩ-algebry(Ω)prokážívěty8.1a8.2.<br />
Důkaz.Definujmezobrazení³:(Ω)indukcívzhledemkdefinici<br />
termunadmnožinou.<br />
¯Prolibovolnýprvekܾklademe³(Ü)=(Ü).<br />
¯Abyzobrazení³:(Ω)mohlobýthomomorfismusΩ-algeber,jetřeba<br />
prolibovolnýnulárníoperačnísymbol¾Ωpoložit³()=.<br />
¯ProlibovolnépřirozenéčísloÒuvažmenynítermØ=(Ø1ØÒ)typuΩnad<br />
=(³(Ø1)³(ØÒ))<br />
množinou,kterývzniklzÒ-árníhooperačníhosymbolu¾ΩatermůØ1,<br />
,ØÒtypuΩnadmnožinou.Abyzobrazení³:(Ω)mohlobýt<br />
homomorfismusΩ-algeber,jetřeba,aby<br />
³(Ø)=³((Ø1ØÒ))=³((Ω)(Ø1ØÒ))=<br />
Klademeproto³(Ø)=(³(Ø1)³(ØÒ)).<br />
Jezřejmé,žeproprávězkonstruovanézobrazení³platí³(Ü)=(Ü)pro<br />
všechnyprvkyܾ,ažejetojedinézobrazenístoutovlastností,kteréby<br />
mohlobýthomomorfismusΩ-algeber.Nadruhoustranulzesnadnodokázat,že<br />
³skutečněhomomorfismemΩ-algeberje.Uvědomtesi,žetojsmezajistiliprávě<br />
definicemivedruhématřetímboduindukce.<br />
Příklady.Ω-algebru(Ω)zkapitoly7dostanemevpředchozídefinicipro<br />
množinu=Ü1Ü2,prolibovolnénezápornéceléčísloÖdostanemeΩalgebruÖ(Ω)zkapitoly7vpředchozídefinicipromnožinu=Ü1ÜÖ.<br />
Věta8.1.NechťΩjetyp,množina.Uvažmepodalgebrugenerovanou<br />
valgebře(Ω)množinou.Pakplatí=(Ω).<br />
Důkaz.Tatovětasedokážestejnějakověta7.1.<br />
libovolnézobrazení.PakexistujejedinýhomomorfismusΩ-algeber³:(Ω)<br />
Věta8.2.NechťΩjetyp,množina.NechťjeΩ-algebra,:<br />
splňujícípodmínku³(Ü)=(Ü)provšechnyprvkyܾ.<br />
Poznámka.ProtoženašímcílemjedůkazBirkhoffovyvěty,nebudemekongruenciÎnaΩ-algebře(Ω)definovatpouzeprovarietuÎtypuΩ,alezdánlivě<br />
obecněji:prolibovolnoutzv.uzavřenoutříduΩ-algeberdlenásledujícídefinice.<br />
Slovozdánlivějevpředchozívětěuvedenoproto,žedleBirkhoffovyvětystejně<br />
nicobecnějšíhonakonecnedostaneme,ukážesetotiž,žekaždáuzavřenátřídaΩalgeberjevarietouΩ-algeber.<br />
Definice.NechťÎjetřídaΩ-algeber.OtříděÎřekneme,žejeuzavřená,<br />
právěkdyžsplňujenásledujícítřipodmínkyzBirkhoffovyvěty:<br />
¯Îjeuzavřenánapodalgebryalgeber;<br />
31
Change language