Algebra

1Ò¾.Platí
1 ¢((11)(ÒÒ))¡=1
Zcelaanalogickysedokáže,žeprojekce2jehomomorfismusΩ-algeber.
Věta3.2.Nechť,,jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuΩ,³:,
:homomorfismy Ω-algeber.Pak existuje jedinýhomomorfismus Ω-
algeber:¢svlastností1Æ=³,2Æ=,kde1:¢,
2:¢jsouprojekcezesoučinu¢.
Důkaz.Jezřejmé,žepodmínky1Æ=³,2Æ=platíprávětehdy,
(³(1)³(Ò))((1)(Ò))¡
kdyždefinujeme:¢následujícímpředpisem:prokaždé¾klademe
()=(³()()).Ověřme,žejetohomomorfismusΩ-algeber.Zvolmelibovolně
operačnísymbol¾ΩarityÒaprvky1Ò¾,pakplatí
¢((1)(Ò))=¢((³(1)(1))(³(Ò)(Ò)))=
=
=((1Ò))
Nynívyužijemetoho,že³:,:jsouhomomorfismyΩ-algeber:
³((1Ò))((1Ò))¡=
(³(1)³(Ò))((1)(Ò))¡=
=
cožsemělodokázat.
Poznámka. NynímůžemezobecnitsoučinΩ-algebertakto:místosoučinu
dvouΩ-algeberbudemedefinovatsoučinlibovolnéhopočtuΩ-algeber.Nejprve
¾Á=Ò:Á¾Á;¾Á:()¾Ó
potřebujemezobecnitdefinicikartézskéhosoučinumnožin.
Definice.JestližeprolibovolnýprvekmnožinyÁjedánamnožina,pak
kartézskýmsoučinemmnožinrozumímemnožinuvšechzobrazenízmnožiny
Átakových,že()¾prokaždé¾Á:
Věta3.1.Nechť,jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuΩ,¢součin
těchtoΩ-algeber.Pakoběprojekce1,2jsouhomomorfismyΩ-algeber.
Důkaz.Ukažme,žeprojekce1jehomomorfismusΩ-algeber.Zatímúčelemzvolmelibovolněoperačnísymbol¾ΩarityÒaprvky1Ò¾,
=(1((11))1((ÒÒ))) ((1Ò)(1Ò))¡= =(1Ò)=
Pro libovolné¾Ádefinujeme-tou projekciz kartézského součinu=
ɾÁtakto::jeurčenopředpisem()=()prokaždé¾.
Poznámka.Promyslemesi,coznamenápředchozídefinicevespeciálnímpřípadě,kdyindexovámnožinaÁjeprázdná.Pakpřestoževlastněžádnoumnožinu
nemáme,jsmeoprávněnimluvitosoučinu:dledefinicejesoučinemɾ
7