Algebra
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Definice.NechťÎjevarietaΩ-algeber.Namnožině(Ω)všechtermůtypu<br />
ΩdefinujemerelaciÎtakto:prolibovolnétermyØ1Ø2¾(Ω)klademeØ1ÎØ2<br />
právětehdy,kdyžlibovolnáΩ-algebrazvarietyÎsplňujerovnostØ1=Ø2.<br />
Poznámka. NechťØ1,Ø2 jsouÒ-árnítermytypuΩ.PakjetedyØ1ÎØ2<br />
právětehdy,kdyžnalibovolnéΩ-algebřezvarietyÎobatermyØ1,Ø2určují<br />
stejnouÒ-árníoperaci,tj.prolibovolné1Ò¾platí(Ø1)(1Ò)=<br />
(Ø2)(1Ò).<br />
Věta7.5.ProlibovolnouvarietuΩ-algeberÎjerelaceÎkongruencína<br />
Ω-algebře(Ω).<br />
ležíprotojenvevarietěvšechΩ-algeber.BudemetedyprodanouteoriiÌtypuΩ<br />
konstruovatΩ-algebru,vnížplatívšechnyrovnostiteorieÌavšechnydůsledky<br />
těchtorovností,aležádnárovnost,kteránenídůsledkemrovnostíteorieÌ,už<br />
vkonstruovanéalgebřeplatitnebude.Otázkaje,jaktakovédůsledkypopsat.Asi<br />
prvnícesta, kteráčlověkanapadne, jepokusitsepopisovatnějaká odvozovací<br />
pravidla,jakzrovnostíteorieÌodvoditdalšírovnosti.Myalepoužijemejinou<br />
cestu:důsledkemrovnostíteorieÌjsouprávětyrovnosti,kteréplatívkaždéΩalgebřezvarietyurčenéteoriíÌ.<br />
Důkaz.Zpředchozípoznámkysesnadnovidí,žeÎjeekvivalencenamnožině(Ω).Dokažme,žejdeokongruenci.ZatímúčelemzvolmelibovolněÒ-ární<br />
operačnísymbol¾ΩatermyØ1ØÒ×1×Ò¾(Ω)takové,žeØ1Î×1,<br />
,ØÒÎ×Ò.Dokážeme,žepotomtaké(Ø1ØÒ)Î(×1×Ò).ZvolmelibovolněΩ-algebruzvarietyÎ.Platítedy(Ø1)=(×1),,(ØÒ)=(×Ò).<br />
Nechťpřirozenéčíslojetakové,ževšechnyzdevystupujícítermyjsou-ární.<br />
=((×1×Ò))(1)<br />
Pakprolibovolné1¾platí<br />
((Ø1ØÒ))(1)=((Ø1)(1)(ØÒ)(1))=<br />
=((×1)(1)(×Ò)(1))=<br />
cožsemělodokázat.<br />
Poznámka.MůžemetedyhovořitofaktorovéalgebřeΩ-algebry(Ω)podle<br />
kongruenceÎ.TutofaktorovouΩ-algebrubudemeznačit(Î)=(Ω)Î.<br />
Poznámka.Uvědomtesi,ženehrozínebezpečízáměny(Ω)a(Î)ikdybychomoznačilitypjinýmpísmenemnežΩavarietujinýmpísmenemnežÎ.<br />
Libovolnýtypjepřecemnožina,kdežtolibovolnávarietajevlastnítřída.<br />
Věta 7.6. Pro libovolnou varietuΩ-algeberÎje Ω-algebra(Î) prvkem<br />
varietyÎ.<br />
(Ø)(Î)(Ú1Ú)=(Ø)(Î)((×1)(×))=((Ø)(Ω)(×1×))<br />
27<br />
Důkaz.NechťÌjeteorieurčujícívarietuÎ,nechťØ1=Ø2jelibovolnárovnost<br />
tétoteorie.Nechťjepřirozenéčíslotakové,žeobatermyØ1aØ2jsou-ární.Je<br />
tedytřebaověřit,žeprolibovolnéÚ1Ú¾(Î)platí(Ø1)(Î)(Ú1Ú)=<br />
(Ø2)(Î)(Ú1Ú).Označme:(Ω)(Î)projekcinafaktorovoualgebru.<br />
Podlevěty4.3jesurjektivníhomomorfismus.Prokaždé=1zvolmeterm<br />
×¾(Ω)tak,že(×)=Ú.Podlevěty6.2pro=12platí
Change language