Algebra
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
jejejtotižmožnézískatjedinětak,jakbylsestrojendledefinicetermu.Proto<br />
vtéto Ω-algebřeplatíjentriviálnírovnosti (tj.takové,kdena oboustranách<br />
stojístejný term).ProtožetatoΩ-algebranení svázána žádnými netriviálními<br />
rovnostmi,nazývásevolná(vizdefinicinásledujícípovětě7.1).<br />
Věta 7.1. OznačmeÈmnožinu všech proměnných:È=Ü1Ü2a<br />
uvažmepodalgebruÈgenerovanouvalgebře(Ω)množinouÈ.PakplatíÈ=<br />
(Ω).<br />
Důkaz.Stačíukázatinkluzi(Ω)È,tedydokázat,žekaždýtermØtypu<br />
ΩpatřídoÈ.Tojealesnadnéindukcívzhledemkdefinicitermu:proměnné<br />
ležívÈ,pronulárnísymboltypuΩplatí=(Ω),cožjeprveklibovolné<br />
podalgebry.Konečněproterm(Ø1ØÒ)vzniklýzÒ-árníhosymbolu¾Ωa<br />
termůØ1ØÒpatřícíchdleindukčníhopředpokladudoÈje(Ø1ØÒ)=<br />
(Ω)(Ø1ØÒ)¾Èdledefinicepodalgebry.<br />
Definice.Ω-algebra(Ω)zpředchozídefinicesenazývávolnáalgebratypu<br />
ΩgenerovanámnožinouÜ1Ü2.<br />
Definice.NechťΩjetyp,Önezápornéceléčíslo.OznačmeÖ(Ω)množinu<br />
všechÖ-árníchtermůtypuΩ.<br />
Příklad.JestližetypΩneobsahuježádnýnulárníoperačnísymbol,pakplatí<br />
2(Ω)=Ü1ܼ1ܼ¼ 1(Ω)=Ü1ܼ1ܼ¼<br />
1ܼ¼¼ 1 1Ü2ܼ2ܼ¼ 2ܼ¼¼ 2<br />
0(Ω)=.<br />
Příklad.UvažmetypΩ=¼,kde¼jeunárnísymbol.PakΩ-algebramijsou<br />
množinyspolusezobrazením¼:.Pakplatí<br />
Příklad.UvažmetypΩ=¼1,kde¼jeunárnísymbola1nulárnísymbol.<br />
VolnáalgebratypuΩgenerovanáprázdnoumnožinoujepakΩ-algebra0(Ω)=<br />
11¼1¼¼1¼¼¼.Tojsouvlastněpřirozenáčísla.Přikonstrukcipřirozenýchčísel<br />
nemůžemedefinovatpřirozenáčíslajakotutovolnouΩ-algebru,neboťjsmevtomto<br />
textumnohokrátexistencipřirozenýchčíselvyužili.Jealemožnétutostrukturu<br />
popsatnásledujícívlastností:jetomnožinaÆspolusezobrazením¼:ÆÆ,<br />
kteréjeinjektivníanenísurjektivní,asplňujenásledujícípodmínku:neexistuje<br />
žádnávlastnípodmnožinaÅÆ,kterábyprokaždéѾÅobsahovalatéžÑ¼<br />
akterábytakéobsahovalanějakýprvekÒ,kterýnelzevyjádřitvetvaruÒ=Ö¼<br />
prožádnéÖ¾Æ.MnožinuÆazobrazení¼:ÆÆ,kterésplňujíprávěpopsanou<br />
podmínku,lzevzítvaxiomatickékonstrukcipřirozenýchčíselzajejichdefinici.<br />
Věta7.2.ProlibovolnénezápornéceléčísloÖjemnožinaÖ(Ω)podalgebra<br />
Ω-algebry(Ω)generovanámnožinouÖproměnnýchÜ1ÜÖ,tj.Ö(Ω) =<br />
Ü1ÜÖ.<br />
Důkaz.InkluziÖ(Ω)Ü1ÜÖdokážemestejnějakopředchozívětu.<br />
Opačnáplyneztoho,žeÖ(Ω)jepodalgebraΩ-algebry(Ω)obsahujícímnožinu<br />
proměnnýchÜ1ÜÖ:dosazenímÖ-árníchtermůdolibovolnéhooperačního<br />
symbolutotižzřejmědostanemeopětÖ-árníterm,atedyÖ(Ω)jeskutečněpodalgebra.<br />
Definice.Ω-algebraÖ(Ω)senazývávolnáalgebratypuΩgenerovanámnožinouÜ1ÜÖ.<br />
25
Change language