Algebra

libovolně¾.Protožejetřídarozkladu,jeneprázdná,atedyexistuje
¾.Podledefinicepak()=.Pakzpodmínky˜³Æ=³plyne˜³()=
˜³(()) = (˜³Æ)() =³().Toovšemznamená,žepokudnějakézobrazení
˜³:splňujíc혳Æ=³existuje,jejediné.Definujmetedy˜³:
tímtojedinýmzpůsobem:prolibovolné¾tedyzvolíme¾aklademe
˜³()=³().Jealetřebaověřitkorektnosttétodefinice,nebolinezávislostna
volbě¾.Mějmedalší¾,pakobaprvky,ležívtéžetříděrozkladu
,odkud.Protožekongruencejemenšíneborovnakongruenci,
plyneodtud.Ovšemjejádremhomomorfismu³,protoposledníznamená
³()=³().Jetedyskutečnědefinicezobrazení ˜³korektní.
Dokažmenyní,žezobrazení ˜³jehomomorfismusΩ-algeber.Zatímúčelem
zvolmelibovolněoperačnísymbol¾ΩarityÒaprvky1Ò¾.
Zvolmelibovolně1Ò¾tak,že(1)=1,,(Ò)=Ò.Protože
˜³ (1Ò)¡=˜³
a³jsouhomomorfismyΩ-algeber,platí
((1)(Ò))¡= ((1Ò))¡= =(˜³Æ)((1Ò))=
=(˜³(1)˜³(Ò))
=³((1Ò))= =(³(1)³(Ò))= =((˜³Æ)(1)(˜³Æ)(Ò))= =(˜³((1))˜³((Ò)))=
cožjsmemělidokázat.
Jestližejehomomorfismus³surjektivní,pakprokaždé¾existuje¾
tak,že=³()=(˜³Æ)()= ˜³(()),cožznamená,žehomomorfismus ˜³je
surjektivní.Je-linaopakhomomorfismus ˜³surjektivní,paktéž³jakožtosložení
dvousurjekcíjesurjektivní(dokažtesisami).
Předpokládejme,že=,aukažme,žehomomorfismus ˜³jeinjektivní.
Nechť12¾jsoulibovolnéprvkysplňující ˜³(1)=˜³(2).Zvolmelibovolně12¾tak,že(1)=1,(2)=2.Pakplatí
=˜³(2)=˜³((2))=(˜³Æ)(2)=³(2)
³(1)=(˜³Æ)(1)=˜³((1))=˜³(1)=
odkudzdefinicejádrahomomorfismuplyne12,aproto12,cožznamená,
žeprvky1a2ležívtéžetříděrozkladu,kterouje1=2.
Předpokládejmenaopak,žehomomorfismus ˜³jeinjektivní.Stačíověřit,že
kongruencejemenšíneborovnakongruenci,neboťopačnounerovnostmáme
vpředpokladechvěty.Nechťtedyjsou¾takové,že.Pakzdefinice
jádrahomomorfismuplyne³()=³(),tedy ˜³(())= ˜³(()).Protožepředpokládáme,že
˜³jeinjektivníhomomorfismus,plyneodtud()=().Podle
definiceprojekcenafaktorovoualgebrutoznamená,žealežívtéžetřídě
rozkladu,tedy.Důkazvětyjeskončen.
13