Algebra

Tatoteorieurčujevarietuvšechvektorovýchprostorů.
Věta6.1.NechťÌjeteorietypuΩ,ÎvarietaΩ-algeberurčenáteoriíÌ.Pak
prokaždouΩ-algebru¾ÎakaždoupodalgebruΩ-algebryplatí¾Î.
Poznámka.Následujícívětulzestručnězformulovattakto:varietyjsouuzavřenénapodalgebryalgeber.
Důkaz. UvažmelibovolnourovnostØ1 =Ø2 zteorieÌ. Protože¾Î,
platítatorovnostvΩ-algebře.OvšemzřejměprokaždýÒ-árnítermØtypuΩ
alibovolné1Ò¾platíØ(1Ò)=Ø(1Ò).Protorovnost
Ø1=Ø2platíivΩ-algebře.Dokázalijsme,žekaždárovnostteorieÌplatív
Ω-algebřeatedy¾Î.
Poznámka.Následujícívětaukazuje,žedefiničnívlastnosthomomorfismu
platínejenprovšechnyoperačnísymbolytypuΩ,aledokonceprolibovolnétermy
typuΩ.
Věta6.2.Nechť,jsouuniverzálníalgebrytypuΩ,³:homomorfismusΩ-algeber.PakprolibovolnýÒ-árnítermØtypuΩalibovolné1Ò¾
Ø(³(1)³(Ò))=³(Ø(1Ò))
platí
Důkaz.VětudokážemeindukcívzhledemktermuØ.
¯Je-litermemØproměnnáÜ,pakØiØjsou-téprojekce,atedy
³(Ø(1Ò))=³()=Ø(³(1)³(Ò))
podobněØ(1Ò)=((Ø1)(1Ò)(Ø)(1Ò))
=((Ø1)(³(1)³(Ò))(Ø)(³(1)³(Ò))) Ø(³(1)³(Ò))=
¯Je-litermemØnulárníoperačnísymbol¾Ω,pakØ(1Ò) =,
Ø(³(1)³(Ò))=.Ovšem³()=podledefinicehomomorfismu.
¯Předpokládejme,žejetermØsloženpomocí-árníhooperačníhosymbolu
¾Ω, kde1, z termůØ1,,Øtypu Ω, pro které již bylo tvrzenídokázáno,tedyprokaždé=1platí(Ø)(³(1)³(Ò))=
³((Ø)(1Ò)).Podledefiniceoperaceurčenétermemplatí
Podledefinicehomomorfismuaindukčníhopředpokladuplatí
=Ø(³(1)³(Ò))
³(Ø(1Ò))=³(((Ø1)(1Ò)(Ø)(1Ò)))=
=(³((Ø1)(1Ò))³((Ø)(1Ò)))=
=((Ø1)(³(1)³(Ò))(Ø)(³(1)³(Ò)))=
cožsemělodokázat.
Větajedokázána.
21