Algebra

Poznámka. Právědefinovanéoperaceurčenétermyumožňujízformulovat
následujícíobecnouvětuotom,jakvypadápodalgebraΩ-algebrygenerovanápodmnožinou.Sespeciálnímipřípadytétovětyjsmesejižněkolikrátsetkali,například
propodgrupugrupygenerovanoumnožinou,neboprovektorovýpodprostorvektorovéhoprostorugenerovanýdanoumnožinouvektorů.
Věta5.2.NechťjeuniverzálníalgebratypuΩ,Åpodmnožinanosnémnožiny.PakpodalgebraÅΩ-algebrygenerovanámnožinouÅjetvaru
Å=Ø(1Ò);Ò¾ZÒ0ØjeÒ-árnítermtypuΩ1Ò¾Å
Důkaz. OznačmeÆmnožinu na pravé straně uvedené rovnosti. Nejprve
dokážemeÅÆ, a totak,že ukážeme, žeÆje podalgebra Ω-algebry
obsahující množinuÅ. Pro inkluziÅÆstačí vzítÒ=1 a unární term
Ü1,neboťprolibovolné¾Åje(Ü1)()=.Dokažmetedy,žeÆjepodalgebraΩ-algebry.Zvolmelibovolně-árníoperačnísymbol¾Ωalibovolnýchprvků1¾Æaukažme,že(1)¾Æ.Ovšemprokaždé
=1existujeÒ-árnítermØtypuΩaÒprvků1Ò¾Åtak,
že=(Ø)(1Ò).Potřebujemeprvky1získatjakohodnoty
aproto(1)=((ؼ1ؼ))(111Ò11Ò)
=(Ø)(1Ò)=(ؼ)(111Ò11Ò)
TojealedledefinicemnožinyÆprvekÆ,cožsemělodokázat.
Ò1+¡¡¡+Ò
operacípříslušnýchnějakýmtermůmtypuΩnastejnéÒ-ticiprvkůmnožinyÅ.
ProtopoložmeÒ=Ò1+¡¡¡+ÒauvažmeÒ-tici(111Ò11Ò)
vzniklouposkládánímzmíněnýchÒ-ticzasebe.Označmeؼterm,kterývznikne
ztermuØtím,žeseindexyvšechproměnnýchvněmpoužitýchzvětšíočíslo
1(tedyspeciálněؼ1=Ø1).Platítedyprokaždé=1
DokažmenyníinkluziÅÆ,atotak,žeukážeme,žeprvkymnožinyÆ
ležívkaždépodalgebřeΩ-algebryobsahujícímnožinuÅ.Dledefinicemnožiny
Æje její libovolnýprvek tvaruØ(1Ò),kdeØjeÒ-ární termtypuΩa
1Ò¾Å.NechťÀjelibovolnápodalgebraΩ-algebryobsahujícímnožinu
Åaukažmeindukcípodledefinicetermu,žeØ(1Ò)¾À.
¯Je-litermemØproměnnáÜ,pakØ(1Ò)=¾ÅÀ.
¯Je-litermemØnulárníoperačnísymbol¾Ω,pakpodledefinicepodalgebry
Ø(1Ò)=¾À.
¯Předpokládejme,žejetermØsloženpomocí-árníhooperačníhosymbolu
=(1)¾À
dledefinicepodalgebry.
Větajedokázána.
¾Ω,kde1,ztermůØ1,,ØtypuΩ,prokteréjižbylotvrzení
dokázáno,tedyprokaždé=1platí=(Ø)(1Ò)¾À.Pak
platíØ(1Ò)=((Ø1)(1Ò)(Ø)(1Ò))=
17