Algebra
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
ZaměřmesetedynadůkazinkluzeÎÏ.NechťØ1Ø2¾(Ω)jsou<br />
libovolnétermytakové,žeØ1ÎØ2.Proprojekcinafaktoralgebru:(Ω)<br />
(Î)tedyplatí(Ø1) =(Ø2).Podledefinicetermunadmnožinoujepři<br />
tvorběkaždéhotermupoužitojenkonečněmnohoprvkůmnožiny.Označmesi<br />
Ü1ÜÒtyprvkymnožiny,kterébylypoužitypřitvorbětermůØ1aØ2;jsou<br />
tedyØ1aØ2přitomtooznačeníÒ-árnímitermytypuΩ,tj.Ø1Ø2¾Ò(Ω).<br />
Dokažmenejprve,žerovnostØ1=Ø2patřídoteorieÌ,tj.žeplatívevšech<br />
Ω-algebrách z třídyÎ. Zvolme libovolně Ω-algebruztřídyÎa její prvky<br />
1Ò¾aukažme,že(Ø1)(1Ò)=(Ø2)(1Ò).Uvažmezobrazení:takové,žeprokaždéÑ=1Òplatí(ÜÑ)=Ñapro<br />
všechnyostatníprvkyܾrůznéodÜ1ÜÒdodefinujme(Ü)=1(vespeciálnímpřípaděÒ=0všechnyprvkymnožinyzobrazímenanějakýlibovolně<br />
zvolenýprvekzΩ-algebry).Označme:(Î)vnořenígenerátorůdo<br />
volnéalgebry(Î)třídyÎ.Podledefinicejetedy(Ü)=(Ü)provšechny<br />
prvkyܾ.Podlevěty8.4existujehomomorfismusΩ-algeber³:(Î)<br />
splňujícípodmínku³Æ=.Označme=³Æ,jetedy:(Ω)homomorfismus,přičemžprovšechnyprvkyܾplatí(Ü)=³((Ü))=³((Ü))=<br />
(Ü).OvšemÒ(Ω)jepodalgebraΩ-algebry(Ω),protomůžemeuvážithomomorfismus¼:Ò(Ω),kterýjezúženímhomomorfismu.Prokaždé<br />
Ñ=1Òplatí¼(ÜÑ)=(ÜÑ)=(ÜÑ)=Ñ.Zvěty7.4plyne,žehomomorfizmusvycházejícízvolnéalgebryÒ(Ω)jejednoznačněurčensvýmiobrazy<br />
=(Ø2)=¼(Ø2)=(Ø2)(1Ò)<br />
nagenerátorechÜ1ÜÒ,podlevěty7.4tedyprolibovolnýtermؾÒ(Ω)je<br />
¼(Ø)=Ø(1Ò).Připomeňme,že(Ø1)=(Ø2);celkemtedyplatí<br />
(Ø1)(1Ò)=¼(Ø1)=(Ø1)=³((Ø1))=³((Ø2))=<br />
atedyrovnostØ1=Ø2patřídoteorieÌ.<br />
Nechť:(Ω)(Ï)jeprojekcenafaktoralgebrua¼:Ò(Ω)<br />
(Ï)jejízúžení napodalgebruÒ(Ω).Podlevěty7.4jehomomorfismus¼<br />
jednoznačněurčensvýmiobrazynagenerátorechaprokaždýtermؾÒ(Ω)tedy<br />
platí¼(Ø)=Ø(Ï)(¼(Ü1)¼(ÜÒ)).Ovšem(Ï)jeΩ-algebrazvarietyÏ<br />
=(Ø2)(Ï)(¼(Ü1)¼(ÜÒ))=¼(Ø2)=(Ø2)<br />
určenéteoriíÌ,rovnostØ1=Ø2,okteréjsmedokázali,žedoteorieÌpatří,tedy<br />
platíiv(Ï),odkudplyne<br />
(Ø1)=¼(Ø1)=(Ø1)(Ï)(¼(Ü1)¼(ÜÒ))=<br />
Toznamená,žeØ1ÏØ2,cožjsmeprávěpotřebovalidokázat.<br />
Poznámka.Vprůběhudůkazuvěty8.6jsmeodvodilidalšívlastnostvolné<br />
algebry,kterástojízazmínku.Všimnětesi,žeprokaždouvarietuÎtypuΩplatí:<br />
libovolnárovnosttypuΩplatívevolnéalgebře(Î)varietyÎprávětehdy,když<br />
tatorovnostplatívkaždéΩ-algebřevarietyÎ.<br />
35
Change language