Algebra
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Příklad. NechťΩjelibovolnýtyp,=jednoprvkovámnožina.Pak<br />
existujejedinýzpůsob,jaknanosnémnožinědefinovatΩ-algebru.Prolibovolný<br />
Ò-árníoperačnísymbol¾Ωjehodnotaoperacena(jedinéexistující)Ò-tici<br />
()rovna(jedinémožné)hodnotě.<br />
2.Podalgebryahomomorfismy<br />
Definice.NechťjeuniverzálníalgebratypuΩ,Àpodmnožina.Řekneme,žeÀjepodalgebraΩ-algebry,jestližeprokaždýÒ-árníoperačnísymbol<br />
¾Ωaprokaždé1Ò¾Àplatí(1Ò)¾À.<br />
Poznámka.Vpřípaděnulárníhooperačníhosymbolu¾ΩjeÒ=0,tedy<br />
0 =.Obraztohotojedinéhoprvkujsmesedohodliznačitstručněmísto<br />
(možnápřesnějšího)označení().Podmínkuzdefinicejetedytřebachápatve<br />
smyslu¾À.<br />
Poznámka.Obsahuje-litypΩalespoňjedennulárníoperačnísymbol,pakje<br />
každápodalgebralibovolnéΩ-algebryneprázdná.<br />
Příklady.Vjednotlivýchpřípadechpříkladuuniverzálníchalgeberzpředchozíkapitolydostávámetytopodalgebry:1.Podmnožinamnožiny.2.Podgrupoid<br />
grupoidu.3.Podgrupagrupy.4.Podokruhokruhu.5.Podsvazsvazu.6.Booleova<br />
podalgebraBooleovyalgebry.7.Vektorovýpodprostorvektorovéhoprostoru.<br />
Poznámka.Následujícívětujsmevjednotlivýchkontextechdokazovaliněkolikrát.<br />
Věta2.1.NechťjeuniverzálníalgebratypuΩ,Áneprázdnámnožina.Pro<br />
každé¾ÁnechťjedánapodalgebraÀalgebry.Pakjejichprůnik̾ÁÀ<br />
jepodalgebraΩ-algebry.<br />
Důkaz.ZvolmelibovolněÒ-árníoperačnísymbol¾Ωaprvky1Ò¾<br />
̾ÁÀ.Pakprokaždé¾Áplatí1Ò¾À.ProtožeÀjepodalgebra<br />
Ω-algebry,platí(1Ò)¾À.Toovšemznamená,že(1Ò)¾<br />
̾ÁÀ,cožsemělodokázat.<br />
Důsledek.Obsahuje-litypΩalespoňjedennulárníoperačnísymbol,pakje<br />
průniklibovolnéhoneprázdnéhosystémupodalgeberdanéalgebryneprázdný.<br />
Důkaz.Vtomtopřípaděneníprázdnámnožinapodalgebrou.<br />
Důsledek.NechťÈjemnožinavšechpodalgeberdanéuniverzálníalgebry<br />
typuΩ.Pakplatí:(È)jeúplnýsvaz.<br />
Důkaz.Protožeuspořádanámnožina(È)mánejvětšíprvek(jejímcelá<br />
algebrajakosvápodalgebra),dlepříslušnévětyoúplnýchsvazechstačíověřit,<br />
žetéžlibovolnáneprázdnápodmnožinaÅÈmávuspořádanémnožině(È)<br />
infimum.TímtoinfimemjemnožinovýprůnikÌÀ¾ÅÀ,kterýdlepředchozívěty<br />
jeskutečněprvkemmnožinyÈ.<br />
Poznámka.Předchozívěta2.1námumožňujedefinovatpodalgebrugenerovanoumnožinou.<br />
Definice.NechťjeuniverzálníalgebratypuΩ,Åpodmnožinanosné<br />
množiny.PrůnikvšechpodalgeberΩ-algebry,kteréobsahujíÅjakosvoupodmnožinu,značímeÅanazývámepodalgebrouΩ-algebrygenerovanoumnožinouÅ.<br />
3
Change language