Vurderinger og evalueringer i matematikundervisningen

Evaluering af Folkeskolen år 2000
Vurderinger og
evalueringer i
matematikundervisningen
AKF Amternes og Kommunernes Forskningsinstitut
DLH Danmarks Lærerhøjskole
DPI Danmarks Pædagogiske Institut
SFI Socialforskningsinstituttet

Peter Weng
Michael Wahl Andersen
Folkeskolen år 2000
Vurderinger og evalueringer i
matematikundervisningen
AKF, Amternes og Kommunernes Forskningsinstitut
DLH, Danmarks Lærerhøjskole
DPI, Danmarks Pædagogiske Institut
SFI, Socialforskningsinstituttet

Indhold
Forord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Historisk grundlag for udvikling af matematikundervisningen
i folkeskolen - som baggrund for vurdering og evaluering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Tanker, teorier, modeller i tilknytning til vurderinger
og evalueringer af matematikundervisning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Beskrivelse og analyse af udvalgte prøve- og undervisningsmaterialer
i relation til evaluering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
RM 1-7: Interne prøver til regning/matematik 1.-7. klasse
2. reviderede udgave, 1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Matematikevaluering i 1.-3. klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Individuel prøve Matematik 1., 2. og 3. klasse, og Gruppeprøve
Matematik BH.,1., 2. og 3. klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Folkeskolens Afgangsprøve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Prøvesæt i matematikfærdigheder for 9. klassetrin - Færdighedsdelen . . . . . . . . . . 66
Opgavesamling i matematik. Problemløsning. Folkeskolens Afgangsprøve . . . . . . 67
Faktor for første klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Faktor for fjerde klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Faktor for ottende klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Matematik i første . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Matematik i fjerde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Matematik i ottende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Sigma for første . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Sigma for fjerde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Sigma for ottende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Matematik-tak for første klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Matematik-tak for fjerde klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Matematik-tak for ottende klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Sammenfatning af hele kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Model til brug for en løbende evaluering i matematikundervisningen . . . . . . . . . 95
Evalueringsmetoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Vurderinger og evalueringer i relation til matematik
som et almendannende fag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Forord
Denne rapport er en del af Evaluering af programmet Folkeskolen år 2000, der vedrører
udarbejdelse af vejledende materialer og diagnostiske prøver i relation til fokuspunkt 1
og 2 med henblik på at skaffe et grundlag, der kan fremme udviklingen af den løbende
evaluering i matematikundervisningen.
Rapporten omhandler et udvalg af prøver og materialer, der anvendes i matematikundervisningen
i tilknytning til evaluering, samt en beskrivelse af modeller for evaluering
og kompetence, der omfatter forhold, der kan indgå i den løbende evaluering.
Prøvematerialet og modellen er perspektiveret gennem en beskrivelse af nogle teorier
og praksis, der gennem de sidste 30 år har haft indflydelse på udviklingen af matematikundervisningen
både internationalt og nationalt.
Rapporten indeholder ikke nye prøver, men beskriver forskellige forhold, der bør
medtænkes i udviklingen af nye prøvematerialer, herunder eksempler på tanker om
vurderings- og evalueringsmaterialer, der er gjort i andre lande, og som det har interesse
at sammenligne matematikundervisningen i Danmark med.
Det er vores håb, at denne rapport kan være til inspiration i arbejdet med at udvikle
nye veje og materialer i tilknytning til vurdering og evaluering i folkeskolen.
Vurderingen og evalueringer i matematikundervisningen er en af de fire publikationer,
der er skrevet som et led i løsningen af opgave II – Overordnet dokumentaton af den
samlede indsats – i F2000-projektet. Dette blev iværksat af Danmarks Lærerforening,
Kommunernes Landsforening og Undervisningsministeriet. De øvrige publikationer
er som følger:
• Færdigheder i læsning og matematik – udviklingtræk omkring årtusindskiftet.
Peter Allerup, Jan Mejding og Lilli Zeuner.
• Andre mål, nye evalueringsveje – fordringer til skolen, udfordringer for eleverne.
Jens Johansen og Søren Langager.
• Beskrivelse og vurdering af elevernes læsning og stavning – Vejledende materialer og
diagnostiske prøver med henblik på målfastsættelse og planlægning.
Jørgen Christian Nielsen.
5

Danmarks Pædagogiske Institut har ansvaret for de fire rapporter og Forskningschef
Poul Skov har ledet DPI’s samlede engagement i F2000-projektet og har i tillæg koordineret
den rapportering, DPI-medarbejderne har forfattet.
PETER WENG OG MICHAEL WAHL ANDERSEN
Januar 2001
6

Indledning
Indholdsbeskrivelse
Rapporten indeholder fem kapitler. I det første kapitel beskrives nogle træk fra det
historiske grundlag for den nuværende læseplan og nogle af de begreber, der anvendes
i sammenhæng med denne, og som har betydning for vurderinger og evalueringer af
matematikundervisningen.
Det andet kapitel beskriver tiltag, der er gjort i Holland, Sverige, Norge og USA for
at udvikle vurderings- og evalueringsmateriale til brug for og i relation til de respektive
mål med matematikundervisningen.
Tredje kapitel omhandler en beskrivelse og analyse af evalueringsmaterialer, dels af
selvstændige prøvematerialer, dels af evalueringsaspektet i udvalgte lærebogssystemer,
der anvendes i folkeskolen.
I det fjerde kapitel skitseres en model for, hvordan en løbende evaluering af undervisning
kan tænkes gennemført ud fra, sammen med en beskrivelse af forskellige vurderings-
og evalueringsmaterialer, der kan anvendes i denne.
Det sidste kapitel relaterer anvendelse af vurderinger og evalueringer i matematikundervisningen
til faget som et alment dannende fag, indeholdende forslag til tiltag,
der kan støtte den enkelte lærers mulighed for at udvikle den løbende evaluering af
undervisningen og de vurderings- og evalueringsmaterialer, der kan anvendes i denne.
7

Kapitel 1
Historisk grundlag for udvikling af matematikundervisningen
i folkeskolen – som baggrund for vurdering og
evaluering
Grundlaget for en aktuel vurdering af, hvilke evalueringsredskaber der bliver anvendt i
folkeskolen i matematik, kan perspektiveres ved at gå tilbage til 60erne, hvor faget i
folkeskolen fik en ny betydning med begrebet “den nye matematik”. Det er med “den
nye matematik”, der sker en fokusering på faget på alle niveauer i uddannelsessystemet.
Denne fokusering har på folkeskoleniveau været bevaret lige siden. Nye teorier om undervisning
og læring har været med til at præge arbejdet i faget, så meget er forandret i
forhold til 1960erne.
Forandringen af undervisningen er dog sket, uden at vurderinger og evalueringer
af denne har ændret sig i samme grad siden 1960erne. Nogle af de teorier, der har
haft betydning for forandringen af undervisningen, vil blive beskrevet i nærværende
kapitel.
Læseplanen for matematik
Rammerne for faget matematik er i dag fastlagt i folkeskoleloven af 1993 og af de af
Undervisningsministeriet udsendte bestemmelser vedrørende formålet med matematik,
sammen med beskrivelsen af de kundskaber og færdigheder, der anses som centrale i
faget. Indholdet i matematikundervisningen er beskrevet i den vejledende læseplan,
som Undervisningsministeriet udsendte i 1995. Det er de centrale kundskaber og færdigheder
set i relation til fagets indholdsbeskrivelse, der bør være grundlaget for vurderinger
og evalueringer i faget (Faghæfte 12, Matematik, 1995, se side 8).
Nedenfor er gengivet nogle af de mål, som enten er nye, eller som der lægges mere
vægt på i den nuværende vejledende læseplan i forhold til de tidligere læseplaner i faget,
der nu hedder matematik i stedet for regning eller regning/matematik, som det har heddet
før. Til disse nye eller mere vægtede mål for undervisningen er der kun langsomt ved
at blive udviklet nye vurderings- og evalueringsredskaber. Disse redskaber skal dels kunne
anvendes i den daglige undervisning til at fremme implementeringen af læseplanernes
visioner, dels skal de kunne give informationer om den enkelte elevs udbytte af undervisningen
i form af matematisk viden og kunnen samt holdninger til matematik. Sidst-
9

nævnte er et aspekt, der hidtil ikke har været fokuseret meget på i evalueringer af matematikundervisningen.
Beskrivelsen af målene i de centrale kundskabs- og færdighedsområder for faget
matematik, i den såkaldte CKF (centrale kundskaber og færdighedsområder, herefter
kaldet CKF) (Faghæfte 12, Matematik, 1995), er meget bredt beskrevet. Eleven skal
have mulighed for at udvikle matematisk viden og kunnen i form af at
• behandle et emne på forskellige abstraktionsniveauer,
• anvende forskellige arbejdsmetoder,
• arbejde formaliseret med faget ud fra bestemmelser af antal og størrelser,
• opnå indsigt i faget ved at kunne hente støtte i sin problemløsning gennem
geometriens visualiserende muligheder,
• anvende lommeregner og datamaskiner som hjælpemidler,
• opleve matematikkens rolle i samfundet,
• se sammenhængen mellem sproget, der anvendes i hverdagen, og matematikkens
sprog,
• opleve, at undervisningen knytter sig til dagligdagen og omverdenen,
• arbejde med konkrete problemstillinger, hvor matematikken anvendes som et
fagligt beskrivelsesmiddel og til erkendelse af generelle sammenhænge,
• opleve, at undersøgelser, systematisering og ræsonnementer er noget centralt i
undervisningen,
• anvende matematikken i mange forskellige sammenhænge,
• beskæftige sig med det matematiske modelbegrebs muligheder og begrænsninger,
• få belyst matematikkens historie og dens betydning for samfundet.
Ifølge CKF’en skal eleven opnå færdigheder i at
• anvende tal,
• beskrive størrelser ved måling og beregning,
• bruge grafiske fremstillinger,
• arbejde med geometri i plan og rum,
• benytte variable og formler,
• anvende og vurdere statistik,
• forholde sig til sandsynligheder,
• benytte datatekniske hjælpemidler og vurdere anvendelsen af disse ved problemløsning.
10

Tilsvarende når det drejer sig om problemløsning og arbejdsmetoder, skal eleven kunne
• analysere givne informationer for matematisk indhold,
• formulere og løse problemer ud fra informationer med matematisk indhold,
• benytte ræsonnementer og faglige begrundelser i argumentationen for et løsningsforslag
på et problem,
• vurdere og tage stilling i tilknytning til de sammenhænge, et problem indgår i,
• vise opnåelse af et handleberedskab over for problemer der ikke er af rutinemæssig
karakter,
• vise fortrolighed med eksperimenterende arbejdsformer,
• anvende en sproglig beskrivelse gennem sit selvstændige arbejde og samtale, hvori
indgår faglige udtryksformer,
• veksle mellem praksis og teori i arbejdet med faget.
Ovennævnte punkter er mål indeholdt i beskrivelsen af de centrale kundskaber og færdigheder
for matematik og bør derfor alle kunne gøres til genstand for vurderinger og
evalueringer for at kunne indhente informationer om undervisningens resultater i form
af læring af matematik hos den enkelte elev.
Disse mål er, som det fremgår, meget bredt beskrevet, så bredt at de vakte bekymring
blandt undervisere i ungdomsuddannelserne allerede ved deres fremkomst. Således skriver
Jens Carstensen i artiklen “De nye læseplaner i matematik – en gymnasielærers betragtninger”.
“Jeg skal gøre opmærksom på nogle færdigheder, som vi i gymnasiet sætter stor pris på,
at eleverne er udrustet med, når vi modtager dem ... Lad mig sammenfatte. Fra gymnasieskolens
side kunne vi godt tænke os, at de elever, vi modtager fra folkeskolen –
havde et rimeligt niveau i brøkregning – formåede at regne med parenteser med rimelig
sikkerhed – havde en beskeden forståelse for, at matematik kræver beviser. Er det for
meget forlangt?” (Carstensen, 1995).
At denne bekymring stadig gælder, tyder fremkomsten af følgende udtalelser i en artikel
med overskriften “Dumpekarakter til matematik” i Berlingske Tidende den 2.10.2000
på:
“Folkeskolen gør børn glade for matematik, men de lærer ikke at regne ... en massiv
kritik fra eksperter både ind- og udland. ... Når eleverne starter i 1.g. har de problemer
med at regne og forstå brøker og procent-regning. Jeg tror kun, at det bliver værre
fremover, når den nye læseplan for alvor slår igennem” (A. W. Petersen, formand for
matematiklærerne i gymnasiet).
11

“Vi er inde på en katastrofekurs” (J. P. Hansen lektor Aarhus Universitet).
En anden opfattelse af læseplanen end den, disse citater giver udtryk for, kommer til
udtryk i en artikel af Hans Nygaard Jensen. Han peger på, at folkeskolens formål angiver,
at undervisningen skal tilrettelægges, så den lever op til dette på en så varieret måde,
at den tilgodeser den enkelte elevs behov og forudsætninger. Han skriver, at
“med dette krav kan læseplanen naturligvis ikke blive en “check-liste” for den faglige
viden, som skal indgå i undervisningen for alle elever. Udgangspunktet er nemlig ikke
faget og undervisningen. Udgangspunktet er eleven!” (Jensen, 1995).
Det er vigtigt at understrege, at undervisningsvejledningen i Faghæfte 12 for matematik
beskrives som værende “et inspirationsmateriale”. Det medfører, at der ikke er ét bestemt
undervisningsgrundlag for vurderinger og evalueringer af målene beskrevet i CKF’en, og
at graden af opfyldelse af disse hos den enkelte elev derfor bør relateres til den undervisning,
eleven har haft mulighed for at modtage.
Der er generelt og, som ovennævnte viser, forskellige syn på og forskellige fortolkninger
af læseplanens indhold, og hvad den skal føre frem til. Dermed også for, hvad der er
værdifuldt i matematikundervisningen. Lærerens tolkning af læseplanens indhold danner
grundlaget for det undervisningsudspil, som læreren kommer med til eleverne, og
som de udvikler sammen. De fokusområder i matematikken og den måde, hvorpå der
arbejdes med disse, bliver grundlaget for evalueringer og vurderinger.
I den nævnte artikel peger Hans Nygaard Jensen på nogle af de grundlæggende aspekter
ved udviklingen af – og holdninger til – undervisning og læring i matematik, som
har haft indflydelse på læseplanens indhold. Læseplanen har fra at være videnskabsorienteret,
hvor udgangspunktet for undervisningen er selve faget, og hvor læringssynet er
præget af et behavioristisk syn på læring, ændret sig i en retning, hvor udgangspunktet
for undervisningen er den enkelte elev, og hvor synet på læring er præget af den opfattelse,
at læring er en konstruktiv proces, der optimeres i sociale sammenhænge. Undervisningsdifferentiering
er blevet et intenderet princip for undervisningen og den teknologiske
udvikling afspejles mere og mere i fagets arbejdsmetoder. Endvidere er faget
blevet mere orienteret mod anvendelse i den praktiske virkelighed, og sammenhængen
mellem sproget i hverdagen og det matematiske sprog er central for både læring og
undervisning i matematik. Alle disse aspekter har betydning for indholdet af nye materialer
til brug ved vurderinger og evalueringer af matematikundervisningen.
På baggrund af det ovennævnte bør læseplanen for folkeskolen ikke opfattes som
en pensumliste indeholdende målelige størrelser, der kan knyttes direkte til et elevud-
12

ytte, skønt dette på nuværende tidspunkt stadigvæk forsøges gjort ved mere eller mindre
traditionelle prøver, der således kan komme til at stå som en slags varedeklaration for
kvaliteten af folkeskolens matematikundervisning. Nogle af disse traditionelle prøver
vil blive beskrevet i kapitel 3. Læseplanen skal måske snarere opfattes som et redskab
til at forstå den brede og mere komplekse opfattelse af matematikkens funktion i folkeskolen
i dag, hvor læseplanen med udgangspunkt i den enkelte elev lægger op til en
formal dannelse. Dette medfører, at undervisningens fokus er den generelle påvirkning
af eleven, for eksempel ved at eleven udvikler sin tænkning og problembehandling
generelt ved hjælp af matematikken, i modsætning til en material dannelse, hvor det
centrale er, at eleven tilegner sig en bestemt viden og kunnen inden for bestemte matematiske
områder (Rasmussen, 1996).
At der er forskellige syn på den nuværende læseplan, antyder de mange forskellige
udsagn, der ser dagens lys, om hvad matematik i folkeskolen er, og hvad målet med
faget er. Dette sker ofte uden at tænke på, at den nye identitet, som faget er på vej til
at få med den nuværende læseplan, kun har været undervejs i omkring fem år. Derfor
vil det tage nogle år, før fagets nye kendetegn bliver kendt og forstået blandt politikere
og forældre, der for manges vedkommende har oplevet faget på en noget anderledes
måde end det, den nuværende læseplan lægger op til. Læseplanen er først nu er ved at
blive implementeret, efter at den har haft en nødvendig forberedelsestid på 20 år, som
Hans Nygaard Jensen udtrykker det (Jensen, 1995).
Historiske baggrundstræk for den nuværende læseplan for
matematik
For at kunne få en bedre baggrund for forståelse af den udvikling, der har ført til læseplanens
nuværende indhold og de vurderings- og evalueringsredskaber, der anvendes i
dag, samt af hvilke vurderings- og evalueringsredskaber, der bør udvikles i fremtiden
for at sikre implementeringen af denne læseplan, kan det være af værdi at se på nogle
historiske træk ved fagets udvikling, fra det hed regning (1958-loven), til det hed regning/matematik
(1975-loven) og nu matematik (1993-loven).
“Sputnikchokket” med Sovjetunionens opsendelse af en satellit i kredsløb om Jorden
i 1957 nævnes ofte som årsagen til de reformer af læseplaner, der blev sat i værk i de
vestlige lande inden for matematik og de naturvidenskabelige fag. Denne politisk-teknologiske
årsagsforklaring til starten på “den nye matematik”er dog langt fra dækkende.
Ole Skovsmose (1990) peger på, at mindst tre perspektiver må inddrages i en forklaring
af udviklingen, nemlig et sociologisk, et epistemologisk og et pædagogisk. Allerede før
opsendelsen af “sputnikken” var der en teknologisk udvikling i gang i den vestlige verden,
en udvikling, der krævede en anden slags arbejdskraft end den hidtidige. I en
situation, hvor velfærden skulle sikres gennem økonomisk vækst, og dette i høj grad
13

via den teknologiske udvikling, blev målet en investering i “intelligensreserven” af mennesker
fra samfundsgrupper, der ikke tidligere fik en “boglig” uddannelse. Uddannelse
inden for matematik og de naturvidenskabelige fag af en meget større del af befolkningen
end tidligere blev noget centralt i uddannelsestænkningen i hele den vestlige verden.
Sovjetunionens tekniske formåen var således nok mere en forstærkende faktor for den
udvikling, der allerede var i gang. Den koldkrigstilstand, der var gældende på daværende
tidspunkt, gav anledning til det øgede pres på politikerne til at bevillige ressourcer til
at øge den “matematiske kapacitet” hos befolkningen. Der var altså både sikkerhedspolitiske
og økonomiske perspektiver i de reformer af læseplanerne for matematik, der
fremkom i starten af 1960erne.
Et møde om matematikuddannelse, Royamont Seminaret (ibid.), der blev afholdt i
Frankrig i 1959, fik stor betydning for udviklingen af læseplanerne for matematik i den
vestlige verden. På mødet blev behovet for en revurdering af det indhold og de metoder,
der blev anvendt i faget matematik, understreget i flere af indlæggene på seminaret. Især
fik indlægget fra Jean Dieudonné betydning med dets påpegning af, at forskellen mellem
matematik på universitetet og matematikken på de ungdomsuddannelser, der gav adgang
til universitetet, var blevet for stor. Den gamle matematik, symboliseret ved den euklidske
geometri, skulle erstattes af et indhold, hvor nyere matematiske områder blev inddraget.
“Euclid must go!” (Dieudonnné, ibid.). Blandt disse var områderne logik, mængdelære
og algebra, hvor især mængdelærens tilsynekomst i lærebøgerne gav anledning til megen
debat om “den nye matematik”, idet “mængdelæren” på det nærmeste blev synonymt
med “den nye matematik”. En del af baggrunden for den nye måde at anskue matematikken
på var, at der siden starten af 1900-tallet var gjort flere forsøg på at beskrive matematik
som et ikke-empirisk fag. Begrebet meta-matematik blev introduceret, hvor det er
matematikken selv, der gøres til genstand for undersøgelse i et forsøg på at give en konsistent
beskrivelse af den. Disse filosofiske tanker om matematikkens natur fik alle betydning
for “struktur-matematikken”, som “den nye matematik” også blev kaldt, og som
Bourbaki-gruppen (ibid.) var blandt de mest fremtrædende fortalere for. Denne gruppe af
matematikere, heriblandt ovennævnte Jean Dieudonné, forsøgte at beskrive matematikken
ved hjælp af nogle “moderstrukturer”, der skulle erstatte det hidtidige “kludetæppe”,
der havde været anvendt til beskrivelse af matematikken. De enkelte klude bestod af de
forskellige matematiske områder, såsom aritmetik, geometri, differientalregning, m.v.
Tanken om i stedet at kunne beskrive matematikken ved hjælp af disse “moderstrukturer”
fik stor betydning for det pædagogiske syn, der prægede de læseplaner, der beskrev den
nye matematik.
Jean Piaget havde, uafhængigt af Bourbaki-gruppen, udarbejdet en teori om udviklingen
af erkendelse, hvori han blandt andet beskriver tre operationelle strukturer i et
barns manipulering med objekter. Disse strukturer viste sig at have nogen lighed med
14

de tre “moderstrukturer”, Bourbaki-gruppen havde beskrevet matematikken ud fra,
hvilket førte til, at læring af matematik blev knyttet nærmere til træk ved den generelle
kognitive udvikling. At dette strukturalistiske syn på matematikken fik betydning for
læseplanstænkningen i Danmark fremgår af følgende citat fra 1976 af Hans Nygaard
Jensen:
“Af særlig interesse i forbindelse med matematikken er det, at nyere pædagogisk-psykologiske
forskningresultater synes at vise, at barnet i sin intellektuelle udvikling betjener
sig af bevidsthedsstrukturer som for eksempel mængde, ordning, relation m. fl. Ikke at
forstå på den måde, at man derfor skal indlære disse begreber i begynderundervisningen,
men at man ved tilrettelæggelsen af undervisningen bør være i overensstemmelse med
det “funktionelle” i disse begreber”. (Jensen i Skovsmose, 1981).
Denne tro på, at man kunne forbedre læring og undervisning i matematik med læseplaner,
hvor teoretiske strukturbeskrivelser inden for matematik og epistemologi udgjorde
det videnskabelige grundlag på tværs af kulturer, viste sig hurtigt ikke at kunne holde.
Således skriver Jens Høyrup:
“Ude fra verden forlyder det, at matematikundervisningen i USA’s skoler er på vild baglæns
flugt fra tressernes “nye matematik” til den gammelkendte regning. Helt så voldsomt
går det ikke til i Europa, og da slet ikke i Danmark. Også hos os er det dog klart, at
tingene er i skred: De mennesker, der drøfter, udformer eller planlægger skolens matematikundervisning,
forfægter i dag bestemt ikke helt de samme ideer som for 15 år siden,
og de skolebøger, som i dag repræsenterer “ny matematik”, er ganske andre end dem, der
kom på markedet for ca. 10 år siden.” (Høyrup, 1979, p. 49).
Nogle af de tanker, som også har haft betydning for den nuværende læseplan for matematik
i den henseende, at undervisningen skal tage udgangspunkt i den enkelte elevs
erfaringsgrundlag, og at undervisningen skal lægge op til problembehandling, er mere
eller mindre direkte med i de tanker om matematikundervisningen, som Bent Christiansen
allerede i 1984 gav udtryk for i artiklen “Selvvirksomhed og erfaringer i matematikundervisningen”:
“Efter den første bølge i de verdensomspændende reformer af matematikundervisningen
i tresserne har brugen af begreber fra mængdelæren som pædagogisk hjælpemiddel fundet
en beskeden placering, som svarer til en almindelig erkendelse af, at “mængdelærens
sprog” først på de senere klassetrin har en hensigtsmæssig funktion over for indlevelsen i
fagets begreber og brugen af disse.
15

Fra sidst i tresserne ses en hastigt voksende tilslutning til, at arbejdsprocessen og i tilknytning
hertil elevernes selvvirksomhed må være de bærende elementer i matematikundervisningen.
Matematikken opfattes i stigende grad også som aktivitet, og “matematiske
aktiviteter” betragtes yderligere som en hensigtsmæssig forberedelse til opnåelse
af “den sædvanlige” faglige rutine og viden”. (Christiansen, 1984, p. 40).
Med “den nye matematik” begyndte inddragelsen af matematik allerede ved skolestarten;
“matematik for alle” blev et slogan, og udviklingen skulle vendes, så matematik
fra at være et område, som kun en del af eleverne i folkeskolen fik undervisning i, blev
et område, alle skulle undervises i. Dette gav anledning til bekymring for, om denne
bredere og mere praktiske tilgang til matematik ville medføre en forringelse af læringen
af matematik.
Bekymringen skyldtes blandt andet, at matematiske aktiviteter, hvor elevens selvvirksomhed
blev noget centralt, ofte i debatten “glemte”, at selvvirksomheden skulle
sikre læring af matematikkens faglige kvaliteter og anvendelsen af disse og ikke alene
være et mål i sig selv. Denne bekymring, som måske stadig kan siges at være aktuel af
samme grund, skyldtes den tendens, som kom til udtryk i nedenstående citat af K.F.
Hansen, som B. Christiansen henviser til i sin artikel. I citatet peges der på flere af de
elementer i matematikundervisningen, der er indeholdt i den nuværende læseplan fra
1995. Selv om B. Christiansen så de positive sider i denne udvikling, pegede han på,
at denne udvikling kunne føre til store vanskeligheder med at sikre den faglig viden
og faglige færdigheder. Den nuværende debat tyder på, at disse forudsete vanskeligheder
stadig ikke er ryddet af vejen.
“Dette betyder, at man ud fra de erfaringer og oplevelser, som eleverne i forvejen er i
besiddelse af, giver dem mulighed for at gøre yderligere erfaringer, giver dem nye oplevelser
som gerne skulle resultere i, at de foretager nye overvejelser. Samspillet mellem
erfaringer/oplevelser og overvejelser danner basis for dannelse af viden. ... Det er en
undervisningsform, hvis mål er det er at sætte eleverne i situationer, som åbner op for
deres egne muligheder og som fremmer deres lyst til at arbejde og udvikles. Det er en
undervisningsform, som giver eleverne mulighed for at påvirke deres egen arbejdssituation,
at mindske styringen fra såvel lærer som lærebogsmaterialer, at øge mulighederne
for løsning af selvstillede og selvformulerede problemer, af muligheden for selvstændig
stillingtagen og for at tænke kreativt”. (Hansen i Christiansen, 1984, p. 41).
Dette citat, som stammer fra 1982, indeholder for det første mange af de aspekter ved
undervisningen både generelt og mere specifikt for matematik, som er med i den beskrivelse
af faget, der kom med 1993-folkeskoleloven. For det andet indeholder citatet ele-
16

menter fra den kritiske pædagogik inden for matematik, som gennem Ole Skovsmose
(1980-81) og Mogens Niss (1980) har haft indflydelse på det matematiksyn, der har
været dominerende i Danmark de sidste 20-25 år.
De tanker om matematikundervisning, der er kommet til udtryk i de nuværende
læseplaner, er altså ikke helt nye, og ny er heller ikke bekymringen for, om en undervisning
med vægt på elevens selvvirksomhed i sociale sammenhænge vil føre til den
ønskede matematiske viden og kunnen, som er målet med faget i folkeskolen.
Internationalt blev der med publikationen “New Trends in Mathematics Teaching”
udsendt af UNESCO i 1979 fokuseret på flere af de centrale aspekter, der har betydning
for det syn på matematik, der kommer til udtryk i den vejledende læseplan i Danmark,
hvor betydningen af en udforskende holdning hos eleven som grundlag for læring bliver
fremhævet sammen med samtalens betydning i undervisningen (UNESCO, 1979).
Følgende citat er fra rapportens afsnit om begynderundervisningen i matematik:
“Udviklingen af en udforskende holdning er et mål, som både har en samfundsmæssig
og en psykologisk baggrund. Samfundet, fordi mangfoldigheden af spørgsmål, i hvilke
matematik indgår, gør det umuligt at give barnet adgang til arbejdsmidler, der kan
være af betydning over for alle de problemer, som de vil møde senere i livet. Og psykologisk,
fordi eleven ikke lærer matematik ved at overveje den samlede matematiske struktur,
men ved en gennemtænkt dialog, som det er lærerens opgave at fremkalde.”
(Christiansen, 1984, p. 43).
Matematik- og læringssyn i relation til læseplanen for matematik
Synet på, hvilken kontekst et fag skal knyttes til, og hvordan faget læres, er af betydning for
udviklingen af evaluerings- og vurderingsredskaber i faget og bør derfor medtænkes ved udarbejdelse
af disse. Derfor vil der nedenfor blive redegjort for nogle fremtrædende synspunkter
på, hvilken kontekst matematikken bør knyttes til, og hvordan matematik læres.
Da matematik måske mere end nogensinde tidligere i vores historie har betydning
for samfundets udvikling i en verden, hvor teknologien er synlig overalt, er der af samfundsmæssige
grunde et stort behov for at få uddannet borgere, der med en naturvidenskabelig
eller teknisk uddannelse kan matche den internationale teknologiske udvikling.
Matematikken finder i dag ikke kun anvendelse inden for naturvidenskaben, men også
inden for humanistisk og samfundsvidenskab. Derfor er der i indholdet af matematikken
lagt vægt på, at læringen sker i relation til matematikkens anvendelse. Matematik i
anvendelse er et hovedområde i den vejledende læseplan. Dette skal ud over at være
knyttet til den økonomisk-teknologiske værdi for samfundet også ses som et led i den
personlige udvikling af det enkelte menneske i et demokratisk samfund. Således at
den enkelte borger ud fra en basisviden og -kunnen vil være i stand til at vurdere og
17

ytre sig, når han eller hun møder beskrivelser, argumenter og ræsonnementer, der bygger
på matematik. Udviklingen i samfundet afspejler sig således i, hvad det er, der regnes
for værdifuldt at lære for eleven i folkeskolen. I forbindelse med det samfundsmæssige
aspekt er det værd at være opmærksom på, at et mål for undervisningen er, at eleven
får sådanne oplevelser med faget, at det giver mulighed for at udvikle en positiv holdning
til at lære matematik. Et mål, der endnu ikke systematisk er blevet forsøgt evalueret.
Udgangspunktet for tilrettelæggelsen af undervisningen er den enkelte elev, der kommer
i skolen med personlige forståelser og forudsætninger for matematiske begreber
erhvervet uden for skolen. Denne forståelse skal eleven have mulighed for at kunne give
udtryk for. Det er lærerens arbejde at skabe situationer, hvor eleven kan få denne mulighed
for at formulere sig, situationer, der så af læreren kan anvendes som grundlag for en
undervisning, der kan danne grundlag for udvikling af den enkelte elevs matematiske
begreber ud fra dennes forudsætninger og potentiale.
Den behavioristiske læringsfilosofi bygger på, at eleven lærer mentalt at reagere på
forskellige typer af problemstillinger, traditionelt opgaver, der skal løses ved at anvende
bestemte procedurer, det vil sige i en stimulus-responsproces. Dette syn på læringsprocessen
har gennem mange årtier været den dominerende for tilegnelse af matematiske
begreber og findes stadig mere eller mindre direkte i dele af de tekster, der findes i de
forskellige matematik-lærebogssystemer. Dette syn er dog med større eller mindre hastighed
ved at vige for kognitive læringsfilosofier, der alle bygger på et konstruktivistisk
syn på erkendelse. Ifølge Ole Björkqvist gælder:
“Konstruktivism i undervisningssammanhang berör den centrala frågan hur en individ
erhåller kunskap. Dess rötter ligger dels i filosofin och dels i den kognitiva psykologin.
Inom matematikens och naturvetenskapernas didaktik har konstruktivistiska synsätt
erhållit stor uppmärksamhet och påverkat läroplansarbetet i olika länder. Så inflytelsesrika
är de konstruktivistiska ideerna i dag, att det kan vara svårt att finna matematikdidaktiker
som inte i någon utsträckning omfatter dem.” (Björkqvist, 1993, p.8).
Af de forskellige konstruktivistiske retninger er den socialkonstruktivistiske den, der har
fået den største betydning, da den understreger betydningen af, at matematikundervisningen
finder sted i en social sammenhæng, som har betydning for den enkelte elevs
læring. Matematikdidaktikeren P. Ernest udtrykker i 1991 dette i følgende citat:
18
“Mathematics and science are both social constructs, and like all human knowledge
they are connected by shared function, the explanation of human experience in the
context of a physical (and a social) world.” (ibid.).

Det vil sige, at matematikken opfattes som en social konstruktion, opbygget gennem
generationer ved en proces, der stadig pågår.
I ovennævnte artikel formulerer Ole Björkqvist en række konsekvenser, som han
mener, et socialkonstruktivistisk læringssyn må have for matematikundervisningen.
Nedenfor er nogle af disse konsekvenser sammenlignet med beskrivelser af faget i
Undervisningsministeriets Faghæfte nr. 12 Matematik:
• Matematiken som individuel konstruktion bör ha ett eget värde för eleven.
Folkeskolens opgave er ..., der medvirker til den enkelte elevs alsidige, personlige
udvikling. (§1 i Lov om folkeskolen.)
• Det är viktigt för en elev att ha konkreta upplevelser av situationer som kan
matematiseras. Begreppsbildning bygger på strukturella likheter i erfarenheter.
Variation av de kontexter som utnyttjas i undervisningen befrämjar livskraft i föreställningar
som uppstår. Upplevelsen av att en viss kunskap är allmängiltig baserar sig mer
än något på att den testats mot en stor mängd sinnesintryck. Brist på variationer kan
leda til en förstärkning av speciella rutiner. Matematiken stelnar i sådana fall i sin form
vid alttför tidig ålder.
Anvendelse af matematik i mange forskellige sammenhænge indgår i undervisningen.
(CKF’en for matematik)
• Matematiska tillämpningar är ett viktigt element vid planering av undervisning i
matematik.
“Matematik i anvendelse” er overskrift i den vejledende læseplan på begynder-, mellemog
afsluttende trin.
• Effektiv representation av kollektiv kunskap är viktig. Matematik bör vara kommunicerbar
på alla nivåer.
Matematikens möjlighet till successiva abstraktioner är ett unikt kännetecken. Abstraktioner
har stort värde vid kunskapsförmedling och förmåga att abstrahera utgör ett
viktigt mål vid matematikundervisning.
Ræsonnementer og abstraktioner præger i stigende grad arbejdet med faget, og mere
præcise faglige og sproglige beskrivelser kan benyttes til at redegøre for tankegange og
som led i kommunikation. (Vejledende læseplan afsluttende trin).
• Läraren är med sin yrkesskicklighet den som har samhällets förtroende att förmedla
kulturellt kapital. Det bör inte ses som indoktrinering. Läraren är inte en absolut,
men väl en provisorisk auktoritet.
Hovedopgaven for læreren er at få skabt et undervisningsmiljø i klassen, hvor den
enkelte elev føler medansvarlig for sin egen læring (Faghæfte 12, Matematik, side 25).
19

• Språklig variation ingår som en del av den kontextuella variationen.
I sådanne sammenhænge indgår hverdagssprog i samspil med matematikkens sprog i
form af tal, tegninger og andre fagudtryk (CKF’en for matematik).
• Läraren bör förmedla inte bara matematik utan också sin syn på matematikens
plats i samhället och sin egen personliga värdering av matematiken och dess delar.
Detta utökar de kontextuella aspekterna och hjälper eleven att se kritiskt på sin
egen kunskap.
Fagmatematikeren ... Matematiklæreren i skolen skal derimod i høj grad selv vælge det
faglige indhold inden for læseplanenes rammer, så det lever op til skolens og fagets formålsbeskrivelse.
(Faghæfte 12, Matematik, side 20).
• Växelverkan med andra elever i matematiska sammanhang hjälper eleven att testa
sin kunskap i avseende på livskraft.
Det er nødvendigt, at eleverne opnår forståelse for, at de indgår i et fællesskab, der
tilbyder fordele, men som også kræver hensyntagen. Dialogen med andre kan være af
betydning for den enkelte elevs læring,...(Faghæfte 12, Matematik, side 25).
• Matematiska problem, paradoxer och tankenötter är viktiga element vid undervisningsplanering.
Eleverne skal opnå et handleberdskab over for problemer, der ikke er af rutinemæssig
art,...(CKF’en for matematik)
• Individens matematiska logik är också en konstruktion. Den utvecklas ur kontextuell
variation (inklusive social växelverkan), och kan ha stora inslag av icke-matematisk
logik. Att förutsätta att en elev skall resonera i enlighet med bestämda logiska principer
är oförenligt med varje variant av konstruktivism.
• En ökande förmåga att reflektera över det egna tänkandet kan befrämjas genom att
man gör eleven uppmärksam på hur han tänkar och på att andra personer kan tänka
på ett annat sätt.
I alle sammenhænge – det gælder både rent faglige forløb og ved arbejdet med tværgående
emner og problemstillinger – er det af betydning, at eleverne samarbejder med
andre elever. (Faghæfte 12, Matematik, side 25).
• Egna konstruktioner (“kreativitet”) kan uppmuntras som någonting centralt vid
matematikinlärning.
Undervisningen skal give eleverne mulighed for indlevelse og fremme deres fantasi og
nysgerrighed (CKF’en for matematik).
• I matematiken är det ofta möjligt att ställa sig frågan “Vad skulle hända om vi inte
accepterar ett visst tänkesätt?” i stället för att hänvisa till sanningar genom att säga
“Så är det jo inte!”
Gennem beskæftigelse med det matematiske modelbegreb opnås erfaring om matematikkens
muligheder og begrænsninger i praktiske situationer. (CKF’en for matematik).
20

• Läraren analyserar elevtänkandet och förutser effekterna då det konfronteras med i
samhället rådande sätt att tänka. Uppfattninger som kan kommuniceras noggrant
till andra har potentiellt större livskraft. Precision i den matematiska kommunikation
som eleverna förmedlar är ofta viktig.
I elevernes selvstændige arbejde og gennem samtaler skal de kunne benytte sproglige
beskrivelser, hvori indgår faglige udtryksformer med forskellig grad af præcision.
(CKF’en for matematik).
• Läraren bedömar elevernas uppfattningar i avseende på deras kvalitet, utgående från
sin egen kunskapssyn och sin vision av matematikens plats i samhället i framtiden.
Desuden vil bestemmelserne i loven om, at der i samarbejdet mellem læreren og den
enkelte elev løbende skal fastlægges mål for undervisningen – og som følge heraf også
foretages en løbende evaluering – lægge op til nye og mere nuancerede vurderingsformer
over for elevens faglige produkter og arbejdsformer. Den traditionelle “facit-orienterede”
bedømmelse vil ikke længere være tilstrækkelig. (Faghæfte 12, Matematik, side 20).
Sammenligningen af teksterne viser, at mange af de konsekvenser af didaktisk art, som
et konstruktivistisk læringssyn bør have ifølge Ole Björkqvist, er mere eller mindre
indeholdt i folkeskoleloven, CKF’en og den vejledende læseplan for matematik. Derfor
kan ovennævnte konsekvenser i forskellig grad og sammenhæng anvendes af læreren
som pejlemærker i undervisningen. Desuden kan de i forbindelse med den løbende
evaluering af undervisningen opfattes som mål, der kan gøres til genstand for vurderinger
i forbindelse med en evaluering af undervisningen med hensyn til, om denne
har givet eleven de muligheder for læring, som et socialkonstruktivistisk syn på læring
kan siges at lægge op til. Dette bør derfor medtænkes ved udarbejdelsen af nye vurderings-
og evalueringsmaterialer, så disse giver eleverne mulighed for at vise læring af
det af læreren intenderede.
Sproget, undervisningsdifferentiering og løbende evaluering i
matematikundervisningen
Da sproget, undervisningsdifferentiering og løbende evaluering er begreber, der bør
have stor betydning i relation til matematikundervisningen og dermed vurderinger og
evalueringer af denne, vil disse begreber kort blive omtalt i det følgende som baggrund
for udvikling af vurderings- og evalueringsredskaber.
Sprogets betydning for læring af matematik har gennem de sidste årtier fået større
og større opmærksomhed dels gennem opfattelsen af, at matematik som et sprog med
tal, tegn og symboler udgør et sprog i sig selv, dels i arbejdet med den matematiske
begrebsudvikling, hvor begreberne skal knyttes til hverdagssproget.
Sprogets rolle er, som det er understreget af Vygotsky (1971) og Høines (1987) af
21

stor betydning, ikke alene for kommunikationen i og om matematik, som henholdsvis
fagsprog og hverdagssprog, men også som redskab til at udvikle begreber. Eleven skal
gennem anvendelse af matematikken i situationer, der er meningsfulde for eleven, få
tillid til, at han eller hun kan udvikle sin viden og kunnen ved at deltage i de samtaler,
der er en del af grundlaget for den matematiske begrebsudvikling, som det blev
understreget i forrige afsnit om socialkonstruktivisme.
De to sidste begreber, der skal omtales i dette kapitel, er undervisningsdifferentiering
og løbende evaluering, som hænger sammen, idet en løbende intern evaluering er et nødvendigt
grundlag for undervisningsdifferentiering. Undervisningsdifferentiering er det
princip, som i folkeskolelovens §10 er omtalt ved differentierede undervisningsforløb,
og den løbende evaluering af den enkelte elevs udbytte er omtalt i § 13.
Undervisningsdifferentiering er defineret af Vagn Rabøl Hansen m.fl. som:
Et princip for undervisning, der bygger på samarbejde. Her indgår elevernes forskellige
forudsætninger, potentialer og motiver med henblik på at nå såvel almene som specielle
mål. (Hansen m. fl., 1998, p. 67).
Denne definition peger på, at der bør arbejdes med forskellige mål i relation til de enkelte
elever, hvilket er en naturlig følge af, at udgangspunktet for undervisningen er den enkelte
elev, og at dennes læring udvikles gennem konstruktivistiske processer. Når målene for
forskellige elever kan være forskellige, er det nødvendigt for læreren at have flere forskellige
redskaber til rådighed, når den enkelte elevs udvikling skal vurderes og evalueres. Grundlaget
for en undervisningsdifferentiering, der kan fremme den enkelte elevs udvikling
mod bestemte mål, er en løbende intern evaluering. Denne evaluering omhandler både
udviklingen hos den enkelte elev og udviklingen af undervisningen, idet den løbende
evaluering skal ses som en integreret del af undervisningen til at fremme kvaliteten af
undervisningen generelt.
Dette kommer til udtryk i Poul Skovs formulering af følgende hovedformål med
en løbende intern evaluering:
At give viden om elevernes forudsætninger, muligheder, behov og interesser fagligt og på
andre områder samt at give viden om elevernes udvikling på disse områder.
At give viden om undervisningens fortrin, mangler og muligheder i forhold til den
aktuelle elevgruppe. (Skov, 1993, p. 2).
Ud over i dette kapitel at have beskrevet træk ved den historiske baggrund for den nuværende
læseplan er begreberne socialkonstruktivisme, sproget, undervisningsdifferentie-
22

ing og den løbende evaluering blevet omtalt, fordi de alle direkte eller indirekte indgår i
beskrivelsen af folkeskolens formål, matematikundervisningens formål, CKF’en eller
den vejledende læseplan og derfor bør inddrages i perspektiveringen af de nuværende vurderings-
og evalueringsmaterialer og -former såvel som ved udviklingen af disse.
23

Kapitel 2
Tanker, teorier, modeller i tilknytning til vurderinger og
evalueringer af matematikundervisning
Når der i overskriften indgår både begrebet vurdering og begrebet evaluering, sker det
ud fra et syn om, at disse begreber ikke er synonyme, men beskriver to forskellige processer,
som de er beskrevet i Assessment Standards for School Mathematics, NCTM:
Vurdering: Assessment is the process of gathering evidence about a student’s knowledge
of, ability to use, and disposition toward mathematics and making inferences from that
evidence for a variety of purposes.
Evaluering: Evaluation refers to the process of determining the worth of, or assigning
a value to, something on the basis of careful examination and judgement. (NCTM,
1996).
Vurderinger indgår derfor i disse definitioner i grundlaget for en evaluering af elevernes
udbytte, som dette kommer til udtryk gennem viden, kunnen og holdninger. Evalueringen
bygger på en bestemt målsætning ud fra et bestemt værdigrundlag. Herved får
evaluering en mere overordnet betydning i forhold til vurdering.
Den voksende interesse for matematikkens didaktik internationalt har medført
meget store ændringer i fagets indhold og de metoder, der anvendes i undervisningen
for at fremme læringen hos den enkelte elev, uden at der er sket en tilsvarende ændring
i de vurderings- og evalueringsformer, der anvendes i faget. “Education is slow to change,
but testing is slower” (McLean, 1990, i Van den Heuvel-Panhuizen, 1996).
Problemet har været erkendt i flere årtier, og der er internationalt blevet igangsat
mange projekter for at udvikle alternative redskaber til vurdering og evaluering af både
udbytte med henblik på udvikling af læringen hos den enkelte elev og det samlede udbytte
af undervisningen hos en bestemt population af elever.
En af grundene til at der generelt ikke blev udviklet vurderings- og evalueringsredskaber
parallelt med den nye matematik fra 1960erne, var måske, at der inden for psykometrien
var sket en udvikling af testinstrumenterne, der gjorde, at der på dette tidspunkt var
stor optimisme med hensyn til mulighederne for, at disse ville kunne give valide informa-
24

tioner om elevers præstationer ved besvarelsen af disse test. Dette kommer til udtryk i følgende
citat fra rapporten om undersøgelsen, FIMS, First International Mathematics
Study, den første store internationale undersøgelse af elevers matematik-præstationer
udført af IEA 1 .
“There is one field in which a considerable sophistication has developed since 1920:
The field of achievement testing. It is possible now to study the degree and nature of a
student’s understanding of school subjects with a subtlety not previously available.
Modern objective achievement tests, when properly developed and interpreted, offers
one of the most powerful tools available for educational research. Findings been made
through their use that rise far above common sense” (Bloom og Foskay in T. Husén
(ed.), 1967, p. 65).
Denne tro på anvendelse af “achievement test” i store internationale komparative undersøgelser,
hvor opgaverne i testen ud over indhold er valgt ud fra kriterier, der er stillet på
baggrund af psykometriske og statistiske overvejelser anvendes stadig. Et eksempel er
TIMSS, The Third International Mathematics and Science Study, en international
undersøgelse om matematik og naturvidenskabelige fag fra 1995, som Danmark deltog
i. Men udarbejdelse og anvendelse af test alene på denne baggrund er ikke tilstrækkeligt
til at kunne indhente informationer om alle de mål, der er opstillet for matematikundervisningen
i dag. Om dette vidner en række tiltag, der internationalt er gjort for at udvikle
vurderings- og evalueringsmaterialer og former, der kan belyse i hvor høj grad de mange
forskellige mål for matematikundervisningen er opfyldt. Eksempler på sådanne tiltag
vil blive beskrevet i det følgende.
“Realistisk matematikundervisning” i Holland
I sin doktorafhandling “Assessment and Realistic Mathematics Education”, 1996 beskriver
Marja Van den Heuvel-Panhuizen de projekter, der blev sat i gang med “den nye
matematik” i både grundskolen og ungdomsuddannelserne i Holland. Afhandlingen
beskriver vurderinger og evalueringer samt hvorledes disse begreber kan knyttes til
implementeringen af “realistisk matematikundervisning”, det vil sige den nye matematik
i Holland. “Realistisk matematikundervisning” blev udviklet dels på grund af de
generelle internationale tendenser inden for faget i 1960erne, dels som et alternativ til
de retninger, matematikundervisningen tog i lande som USA (“New math”), Frankrig
og Belgien (“Structuralistic”) og England (“Practical mathematics”).
1) The International Association for the Evaluation of Educational Achievement.
25

Panhuizens afhandling fokuserer på udvikling af vurderings- og evalueringsværktøjer,
der kan anvendes i en løbende evaluering, der har til formål at støtte undervisnings- og
læringsprocesser på begyndertrinnet og mellemtrinnet i grundskolen. Dette gøres gennem
en nytænkning af indholdet af skriftlige prøveopgaver, hvor det centrale er kort formulerede
problemstillinger, hvor den enkelte elev opfordres til at nedskrive det, han eller hun
tænker på i forsøget på at løse problemet.
Inspirationen til afhandlingen var den hollandske matematik-didaktiker Hans
Freudenthals syn på matematikundervisning, et syn, der blev bestemmende for udviklingen
af faget i Holland og dermed for implementeringen af “realistisk matematikundervisning”,
som kort kan karakteriseres ved, at matematik opfattes som en menneskelig
aktivitet, hvor “matematisering” er noget centralt, hvilket kommer til udtryk i
følgende citat af Freudenthal:
“What humans have to learn is not mathematics as a closed system, but rather as an
activity, the process of mathematizing reality and if possible even that of mathematizing
mathematics” (Van den Heuvel-Panhuizen, 1996, p. 10).
Begrebet “matematisering”, beskrives i tilknytning til den “realistiske matematikundervisning”
ved to dimensioner. Som en “horisontal matematisering”, hvor matematikken
anvendes til at skabe sammenhæng og løse problemer i situationer, som den enkelte
elev oplever eller får kendskab til i sin dagligdag, også uden for skolen. Matematisering af
denne art handler om, at eleven skal kunne “oversætte” fra hverdagssproget til matematikkens
symbolsprog og vice-versa. For eksempel gennem at kunne repræsentere matematiske
begreber på forskellig måde og i forskellige kontekster samt kunne opstille og kritisere
matematiske modeller, som de kommer til udtryk i hverdagssammenhænge. Tilsvarende
er der en “vertikal matematisering”, hvor matematiseringen sker inden for selve
matematikken, det vil sige, hvor eleven skal kunne “kommunikere” i “matematikkens
verden” ved hjælp af det matematiske symbolsprog. Distinktionen mellem den horisontale
og den vertikale matematisering er væsentlig at have for øje i forbindelse med vurderinger
og evaluering af matematik specielt ved konstruktion af opgaver til brug ved vurderinger
i folkeskolen. Det er den horisontale matematisering, der er den primære i folkeskolens
matematikundervisning, hvor matematikken skal knyttes til eleven og dennes
erfaringsverden, hvilket ikke er ensbetydende med, at der ikke skal arbejdes med den
vertikale matematisering med henblik på at skabe grundlag for udvikling af denne i
ungdomsuddannelserne.
For at få informationer om i hvilken grad en elev har tilegnet sig en viden og kunnen,
der kan komme til udtryk i en “matematiserings-kompetence”, er det nødvendigt at have
et bredt spektrum af vurderings- og evalueringsredskaber, hvilket bliver understreget i føl-
26

gende citat af Freudenthal, som Panhuizen har oversat fra hollandsk til engelsk:
“He who wishes to impact something to someone else will also want to find out what the
other already knows, in order to build further upon this. And, if he has taught something,
he will want to find out whether this has taken root(...) and whether something in the
instruction should be altered. (...) one would be blind to the reality of the world and
society should one contend that assessment is unnecessary. By this I mean assessment in the
very broadest sense: questioning, individual oral testing, class written test and exams, as
well as the strict, so-called objective multiple-choice test. The point is to test sensibly. (...)
to test better and more efficiently with each experience, and this means that the function,
rather than the form of assessment is of primary importance” (Freudenthal 1976 i Van
den Heuvel-Panhuizen, 1996, p. 16).
Dette citat understreger behovet for en løbende evaluering, hvor vurdering og evaluering
af elevers matematiske viden og kunnen er en del af grundlaget for lærerens tilrettelæggelse
af matematikundervisning. Der peges endvidere på den alsidighed, der må
være i vurderings- og evalueringsredskaberne for at få troværdige informationer om
elevens faglige forudsætninger og potentiale. Problemet var dengang og er i dag, at de
redskaber, der anvendes til vurdering og evaluering i matematikundervisningen, er af
tvivlsom værdi med hensyn til validiteten af det, de skal informere om. For at få forbedret
validiteten er det nødvendigt at udvikle en række af vurderings- og evalueringsredskaber,
der giver eleverne muligheder for at demonstrere viden og kunnen på en
meget bredere og dybere måde, end de traditionelle skriftlige opgaver, der ofte anvendes
i dag, giver mulighed for.
Det følgende er en række af de tiltag, der i Panhuizens afhandling bliver peget på i
forbindelse med “realistisk matematikundervisning” som veje, man kan gå i forsøget
på at gøre vurderinger og evalueringer vedrørende matematikundervisningen mere
kvalificeret. Der peges på:
• Observering af eleverne er en nødvendighed for at få indsigt i matematiserings-processerne.
For at kunne blive opmærksom på den enkelte elevs “afstikkere” i læringsprocessen
fra den af læreren planlagte vej er det nødvendigt, at læreren kan se mulige
indikatorer på elevens tænkning.
• Vurdering og evaluering skal være en integreret del af undervisningen.
• Konstruktionen af vurderings- og evalueringsredskaber skal kædes sammen med en
øget opmærksomhed på de specielle krav, en løbende evaluering stiller til læreren,
idet de to første punkter understreger lærerens vigtige og centrale rolle i evalueringsprocessen.
27

• Vurderinger og evalueringer skal ikke kun fokusere på elevernes faglige præstationer,
men også på hvilke opfattelser, forestillinger og dermed afledte holdninger til
matematik, eleverne har erhvervet i eller uden for skolen, aspekter, der alle har betydning
for elevens tilgang til undervisningen.
• Hvis informationer om elevens matematiserings-formåen er målet for evalueringen,
må anvendte opgaver og problemstillinger være åbne, så eleven får mulighed for
selv at konstruere en besvarelse. Det åbne format er en nødvendighed, når vurderingen
og evalueringens mål er informationer om, hvad eleven er parat til at lære,
inden for den af Vygotsky beskrevne “zone for nærmeste udviklingstrin”. Ved det
åbne format er der også mulighed for at kategorisere elevernes løsningsstrategier og
hermed få et bedre grundlag for den fremtidige undervisning end det mere traditionelle
grundlag, der i stor udstrækning bygger på elevernes besvarelse af lukkede
opgaver.
• Opgaver og problemstillinger, der skal anvendes i vurderings- og evalueringsøjemed,
skal være motiverende i den betydning, at eleven skal kunne involvere sig og
ikke opleve opgaven eller problemstillingen som tekstopgaver, hvor et matematisk
begreb er “pakket ind” i en sammenhæng, som eleven oplever som kunstig. Traditionelle
tekstopgaver af denne type fremmer måske snarere en negativ holdning til
matematikken end giver informationer om elevens evne til at matematisere en problemstilling.
På baggrund af ovennævnte syn på matematik ud fra “realistisk matematikundervisning”
er der i Panhuizens afhandling en række forslag til udvikling af vurderingen og evalueringen
af denne. Således peger hun på, at lærerne skal lære at observere, så observationerne
kan danne udgangspunkt for anvendelse og udvikling af diagnostiske problemstillinger
eller anden form for prøvemateriale til anvendelse i den løbende formative evaluering,
i hvilken samtalen med den enkelte elev er central. Endvidere skal formålet med
vurderinger og evalueringer være klart for alle i samarbejdet omkring undervisningen af
eleven, det vil sige, at ud over læreren og eleven skal elevens forældre og samfundets
repræsentanter præsenteres for målet med vurderinger og evalueringer.
Af konkrete ideer i forbindelse med udvikling af skriftligt prøvemateriale skal nævnes
ideen med at anvende problemstillinger, der kan informere om elevernes tænkning,
begreber m.v. i forbindelse med introduktion af et nyt begreb. Dette bør ses som et
alternativ til traditionelle opgaver, der ofte har til formål at vise, om eleverne har faktuel
viden og færdigheder i at anvende standard-algoritmer. Til forskel fra dette bør læreren
stille problemstillinger, der giver mulighed for at få informationer fra elevens aktuelle
erfaringsverden. Herigennem får læreren et solidt udgangspunkt for introduktionen af
et nyt begreb. Elevernes produktion af deres egen “matematikbog” nævnes også som en
28

informationskilde til brug ved vurdering af elevens udvikling og elevernes samlede
produktion i en generel evaluering af undervisningen. “Matematikbogen” vil kunne
indeholde elevernes “mellemregninger” i stillede prøver i “hovedregning” (som understreges
i den danske læseplan). Dette ikke for at gøre hovedregningsprocessen til en
skriftlig prøve, men for at få informationer om den strategitænkning, der ligger til
grund for elevens svar.
I tilknytning til de tanker, Panhuizen fremkommer med, skal nævnes, at denne er
inspireret af Freudenthals arbejde med at udvikle observations- og interviewteknikker,
der kan anvendes i naturlige sammenhænge som en del af undervisningen. Dette er et
alternativ til de mere kliniske observationer og interview, som Piaget for eksempel byggede
sin teori på.
Som det fremgår af ovennævnte, er mange af de tiltag, “realistisk matematik” medførte,
stadig aktuelle i forbindelse med vurderinger og evalueringer af matematikundervisning.
Formålet med vurderinger og evaluering er primært didaktisk i form af indsigt
i elevens evne til matematisere “ægte” problemstillinger.
Afsluttende skal det nævnes, at Panhuizens tanker om prøver til brug for vurderinger
og evalueringer på begynder- og mellemtrinnet tager udgangspunkt i følgende tre erkendelser
vedrørende behandling af problemer. At et problem kan løses på flere måder, at
problemer kan have mere end et korrekt svar, og at der ikke kan gives et korrekt svar på
alle problemer. Dette kan synes banalt, men en banalitet, der måske burde medtænkes
ved konstruktionen af vurderingsredskaber i en højere grad, end det har været tilfældet
indtil nu.
I et opgør med traditionelle opfattelser i forbindelse med behandling af problemer
og “realistisk matematikundervisning” har Panhuizen udviklet problemstillinger til brug
ved skriftlige prøver, der har været inspirationskilde for udvikling af evalueringsmateriale
på begynder- og mellemtrinnet i både Sverige og Danmark. Endvidere er det de samme
tanker, der ligger til grund for opgaverne, der blev konstrueret til brug for en international
undersøgelse, undersøgelsen Applying Mathematics International, som blev gennemført
i 1998, og som Danmark deltog i, men hvis resultater endnu ikke er blevet rapporteret.
PRIM-projektet i Sverige
I Sverige udsendte Skolverket i 1996 et diagnostisk materiale, der skulle konkretisere
læseplanen fra 1994 (Lpo 94) og være et redskab i vurderingen af den enkelte elevs
færdigheder og kundskaber som et led i en analyse af elevens forudsætninger og behov
for undervisning. Materialet blev udarbejdet af PRIM-gruppen (PRov I Matematik,
Institutionen för pedagogik, Lärarhögskolan i Stockholm) og kan ses som et udviklingsarbejde,
der løbende skulle revurderes gennem justeringer, ændringer og tilføjelser
29

i takt med den erfaringsdannelse, materialets anvendelse giver anledning til. Grundlaget
for materialet er et kundskabssyn, som beskrives ved de fakta-, forståelses-, færdighedsog
fortrolighedskundskaber, som skal ses i sammenhæng, ikke som fire enkelte områder,
der kan ordnes i et hierarki efter vigtighed.
Faktakundskaber er kundskaber, der i nogen udstrækning kan vurderes kvantitativt,
da de består i at kunne huske og gengive informationer.
Forståelseskundskaber er af kvalitativ art, hvor kvaliteten af den matematiske forståelse
kommer til udtryk i sproget, “sprogspillet”, som Wittgenstein knytter matematikken
til (Dahl, 1995).
Færdighedskundskaber kommer til udtryk ved, at eleven ved, hvordan hun eller han
skal løse et problem både på det teoretiske og praktiske niveau, som for eksempel når
eleven har tænkefærdigheden “at halvere” og praksisfærdigheden at kunne dividere et
firecifret tal med to.
Fortrolighedskundskaber kommer til udtryk, når eleven kan anvende matematikken,
matematisere, i forskellige situationer, hvis kontekst ligger uden for matematikken.
Dagmar Neumann, som er medlem af PRIM-gruppen, beskriver i artiklen Diagnoser
i matematik år 2 (Neumann, 1997), det overordnede syn på kundskaber på følgende
måde:
“När det gäller kunskapens natur, framhåller man i betänkandet att kunskap inte er
en avbildning af världen, utan något vi själva har skapat för att kunna förstå och
hantera världen.”
“Kunskap är på det viset inte sann eller osann, utan något som kan argumenteras för
och avprövas. Kunskap är diskuterbar” (Betänkandet, 1992, p. 76).
Dette syn på kundskaber, sammenholdt med indholdsbeskrivelsen i den svenske læseplan
(Lpo 94) gjorde det klart for PRIM-gruppen, at de diagnostiske prøver, der skulle
udvikles :
30
“... inte skulle kunna bli av den traditionella, kvantitativa modell, där man bedömar
eleverna utifrån antalet korrekt lösta uppgifter. De problem som skulle formuleras måste
vara sådana som gjorde det möjligt att upptäcka de unga elevernas mer eller mindre
kvalificerade sätt att förstå på. “Nakna sifferuppgifter”, avsedda att pröva förmågan at
använda algoritmerna för de fyra räknesätten, eller tabellkunskaper, var således inte av
intresse” (ibid.).

Konstruktionen af skriftlige opgaver, der kan motivere eleven til at udtrykke sig, så
hendes eller hans tænkning kommer til udtryk i form af mere end fakta- og færdighedskundskaber,
er meget vanskelig, da det erfaringsmæssigt er meget vanskeligt for
elever at redegøre for, hvad de har tænkt selv på det afsluttende trin i folkeskolen.
Endvidere er det generelt et problem, at eleverne i den nuværende matematikundervisning
ikke arbejder tilstrækkelig meget med problemer, der giver anledning til matematisering,
hvilket er nødvendigt, hvis man vil indhente informationer om elevens
fortrolighedskundskaber. Det er et problem, hvis skriftlige matematikprøver kun giver
informationer om elevens evne til at reproducere kontekstløse opgavetyper, der ikke
giver anledning til en horisontal matematisering. For at løse disse problemer i udviklingen
af diagnostiske prøver tog PRIM-gruppen kontakt til Marja Van den Heuvel-
Panhuizen, hvis arbejde med vurderinger og evalueringer i forbindelse med Realistic
Mathematics Education (RME) er omtalt i det foregående. Modellen for udviklingen
af de svenske diagnostiske prøver er således inspireret af Panhuizens tanker om, hvordan
design af kort og præcist formulerede kontekstbundne problemstillinger, der formodes
at involvere eleven, kan være et redskab til vurderinger af elevens tænkning og
problemløsningsmetoder.
Grundlaget for vurderingen er et “scratch paper”, hvor en problemstilling er givet i en
stor ramme, inden for hvilken eleven opfordres til at nedskrive, tegne, eller på anden
måde nedfælde alle sine tanker i forsøget på at løse problemet. Disse problemstillinger
er tænkt som situationer, der er genkendelige for eleven som værende hverdagsproblemer,
der kan matematiseres, og som giver mulighed for at indhente informationer om
de fire f’er, til beskrivelse af elevens kundskaber.
Ideen er, at denne type af skriftlige diagnostiske problemstillinger skal anvendes
kontinuerligt og følges op med observationer og samtaler. Dette kræver selvsagt meget
af den enkelte lærer, der, selv om der er udarbejdet manualer til støtte for fortolkningen
af mulige elevbesvarelser, selv skal være i besiddelse af en vis indsigt i elevtænkning
i forbindelse med matematiske problemstillinger. Dernæst skal der ske en opfølgning
af “diagnosen” ud fra de skriftlige informationer, hvilket kræver tid. Dette peger på et
generelt problem, nemlig lærerens faglige og pædagogiske professionalitet. Det er nødvendigt,
at læreren har en baggrund for at vurdere og evaluere læring og undervisning
– et aspekt, der bør have mere opmærksomhed i læreruddannelsen og efteruddannelsen
af lærere.
De første nationale diagnostiske prøver blev udsendt i Sverige 1996 og bestod af prøver
med fokus på 2. og 7. klassetrin. Materialet består af seks opgavehæfter, der hver
indeholder individuelle opgaver og en gruppeopgave. Der er indbygget en vis progres-
31

sion i hæfterne, således at hæfterne er en række varierede situationer, der kan give anledning
til belysning af de fire typer af kundskaber. Der er udarbejdet lærervejledninger til
anvendelse af materialet med tilhørende “udviklingsskema”, så læreren løbende kan nedskrive
observationer om elevens udvikling inden for de matematiske områder, hæfterne
omhandler. Målet med det diagnostiske materiale er, at lærerne skal kunne anvende den
rigdom, der ligger i elevernes bevidste eller ubevidste anvendelse af matematiske begreber,
som den kommer til udtryk ved problembehandling af situationer der lægger op til
“matematisering”. Dagmar Neumann formulerer målet med det diagnostiske materiale
således:
“Förhoppningsvis kommer lärare som använder diagnoserna att upptäcka den ”knoppande
kunskap” som tar sig uttryck dels i de diskussioner som förs i grupp- och helklasssamtal,
dels i redovisningar eleverna gör, när de skriva ner sina sätt att tänka.”
(Neumann, 1997, p. 54).
KIM-projektet i Norge
I Norge udkom i 1995 de første publikationer i KIM-projektet (Kvalitet I Matematikundervisningen).
Et projekt, der blandt andet havde som formål at udvikle både prøvemateriale
og andet støttemateriale til lærere, til brug ved interne vurderinger og evalueringer.
Der er i projektet udviklet diagnostisk materiale til flere klassetrin, som kan
danne grundlag for specifikke tiltag i undervisningen, herunder kortlægning af elevernes
opfattelser og holdninger til matematik og til undervisningen i faget samt diagnostiske
prøver til at beskrive elevernes præstationer generelt inden for forskellige områder af
faget.
Projektet kan ses som en reaktion på en matematikundervisning, hvor indlæring af
fakta og færdigheder er det centrale, og hvor elevens dannelse af matematiske begreber
har haft en pauver tilværelse, da en fokusering på fakta og færdigheder sjældent giver
eleven mulighed for eller tid til at reflektere og samtale om målet med undervisningen.
Matematiksynet, der ligger til grund for arbejdet i KIM-projektet, er konstruktivistisk.
Handling og erfaring, der reflekteres, danner grundlag for læring. Det vil sige, at undervisningen
skal tilrettelægges ved
32
“- å legge til rette aktiviteter der eleverne kan vinne erfaringer som de kan bygge kunnskapen
på,
- å gi elevene anledning til å stoppe opp underveis i arbeidet sitt for å reflektere over
det de har utført, og det de har lært/funnet ut gjennem dette arbeidet.” (Introduksjon
til diagnostisk undervisning i matematik, Nasjonalt Læremiddelsenter, 1995).

En undervisningstilrettelæggelse ud fra ovennævnte kaldes diagnostisk undervisning, som
Brekke & Rosen beskriver baggrunden for og indholdet af i en artikel om “Diagnostisk
undervisning”:
“En mängd forskningsresultater om undervisning och läring pekar på att det är bättre
att arbeta grundligt med ett fåtal väl valda uppgifter än att lösa en mängd rutinuppgifter,
om man vill utveckla matematiska begrepp” (Brekke & Rosen, 1996, p. 36).
Disse få “vel valda” opgaver skal indeholde ideer, der reflekterer det begreb, eleven skal
lære og samtidig stilles i en kontekst, der kan give anledning til refleksion og samtale, for
herigennem at belyse og udfordre elevens tænkning omkring det pågældende begreb. I
ovennævnte artikel beskrives diagnostisk undervisning på følgende måde.
“Schematiskt kan man peka på följande faser i diagnostisk undervisning:
- Kartläggning av missuppfattningar eller ofullständiga uppfattningar hos eleven.
- Planering av undervisningen så att eleven blir medveten om sin missuppfattning.
Dette kallas att skapa en kognitiv konflikt.
- Lösning av den kognitiva konflikten genom diskussioner och reflektioner.
- Användning av nya eller utvidgade begrepper i olika sammanhang” (ibid., p. 36).
De i projektet udviklede diagnostiske prøver har til formål at kunne give informationer
om direkte misforståelser og lignende aspekter i tænkningen, der hæmmer eller forhindrer
begrebsdannelsen hos den enkelte elev. Samtidig kan disse informationer være grundlaget
for lærerens konstruktion af problemstillinger, der kan tydeliggøre en misforståelse
eller lignende over for eleven. Derved kan der skabes en kognitiv konflikt hos eleven, som
kan afføde en reflekterende tænkning, der i sidste ende kan føre til en positiv løsning
af konflikten og dermed udvikling af begrebsdannelsen.
Det teoretiske grundlag for udvikling af matematisk kompetence hos den enkelte elev,
som ovennævnte syn på undervisning skal fremme, tager udgangspunkt i overvejelser
om, hvad faktakundskaber, færdigheder, begrebsstrukturer, strategier og holdninger har af
betydning for læring af matematik.
Faktakundskaber opfattes som værende informationer i form af navne, notationer,
konventioner, definitioner osv., som både kan give en selvstændig information og
indgå i sammenhænge eller være knyttet til et begreb.
Færdigheder defineres som veletablerede procedurer, der for manges vedkommende
skal automatiseres for at kunne være et redskab for den enkelte elevs læring af matematiske
begreber og deres anvendelse.
Begrebsstrukturer gør det muligt at anvende begreber og dertil knyttede procedurer
33

i forskellige sammenhænge, forskellige repræsentationer, og dermed udvikle elevens evne
til at matematisere. Da problembehandling er central i al matematikundervisning, er
elevens kendskab til generelle problemløsningsstrategier og anvendelsen af disse centralt
i matematikundervisningen.
Til forskel fra færdigheder, hvor det gælder anvendelse af specifikke procedurer, benævnes
de generelle strategier ofte i litteraturen Higher Order Thinking Skills, hvilket dækker
over en række matematiske kompetencer som for eksempel ræsonnement-, matematisk
tankegangs-, modellerings- , repræsentations- og kommunikationskompetence.
Det sidste af de fem aspekter, som KIM-projektet inddrager, er holdningsaspektet, et
aspekt, der bør inddrages mere i evaluering af matematikundervisning. De forskellige
prøvehæfter med diagnostiske opgaver har således til formål
• å identifisere og framheve missopfatninger som eleven har utviklet, også uten at det
trenger å ha været noen formell undervisning i det en vil undersøke,
• å gi læreren informasjon om løsningsstrategier eleven bruker for ulike typer av oppgaver,
• å rette undervisningen mot å framheve missoppfatningene, for på den måten å overvinne
dem og de delvise begreberne,
• å utvikle elevenes eksisterende løsningsstrategier,
• å måle hvordan undervisningen har hjulpet elevene til å overvinne missoppfattningene
ved å bruke de samme opgavene både før og etter undervisningssekvensen. (Brekke,
1995, p. 16.)
For at opnå disse mål er det nødvendigt, at lærer såvel som elev forstår, at opgavernes
mål ikke er at indplacere eleven på en skala, men derimod at afdække elevens forskellige
tanker om matematiske begreber. Derved kan der indhentes informationer om vanskeligheder
såvel som muligheder for videreudvikling af elevens læring, ved at læreren får et
“værktøj” til brug ved planlægningen af den fremtidige undervisning.
I konstruktionen af diagnostiske opgaver har det været centralt, at den problemstilling
eller det spørgsmål, der skal arbejdes med, ikke giver mulighed for et svar, der er korrekt
ud fra en forkert opfattelse af et begreb. De diagnostiske prøver kan anvendes både som
klasseprøve, individuel prøve og som grundlag for en samtale mellem lærer og elev. Det
norske arbejde med at udvikle diagnostiske opgaver og vejledningsmateriale til 2., 5., 7.
og 9. klassetrin og den videregående skole blev færdigt i år 2000. Der er til disse klassetrin
konstrueret opgaver inden for områderne tal, talregning, algebra, funktioner, geometri,
samt måling og enheder. Ud over de diagnostiske opgavehæfter er der udsendt vejledende
materiale om diagnostisk undervisning, læreres og elevers tanker om og holdninger til
matematik og matematikundervisning, samt om matematik på småskoletrinnet, hvortil
der dog ikke er udarbejdet diagnostiske opgaver.
34

Assessment Standards for School Mathematics i USA
I USA har NCTM, the National Council of Teachers of Mathematics, udarbejdet kriterier
for vurderinger af matematikundervisningen, som er beskrevet i “Assessment Standards
for School Mathematics”, NCTM, 1996. Denne publikation er en opfølgning på publikationen
“Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics”, NCTM,
1989. Baggrunden for de to publikationer var et behov for nye strategier for og praktiske
forslag til gennemførelse af vurderinger og evalueringer af de visioner for matematikundervisningen,
som NCTM har formuleret. Vurderings- og evalueringskriterierne
har først og fremmest som mål at give lærere både grundlag for og redskaber til at vurdere
og evaluere, for det første om eleven har lært den matematik, der var målet, for det
andet læringsprocessen og progressionen i denne. De nye kriterier er en bevægelse væk fra
tidligere tiders anvendelse af vurderinger og evalueringer til at placere elever på en skala
efter deres præstationer hen mod en anvendelse af kriterier til støtte for den enkelte elev i
dennes egen udvikling mod de fælles mål, der er for undervisningen i matematik. Der
lægges op til anvendelse af mange forskellige tilgange til at indhente de informationer, der
skal danne grundlag for vurderinger og evalueringer af disse mål. Grundlaget for NCTMs
visioner for matematikundervisningen er, at alle elever kan lære matematik, og at udbyttet
af denne læring kan gøres til genstand for vurdering og evaluering, der skal anvendes
til at fremme den enkelte elevs muligheder for at tilegne sig matematisk viden og kunnen.
Grundlaget for “The Assessment Standards” er blandt andet følgende:
• Vurderingen og evalueringen af elevernes arbejde med matematik og udbyttet heraf
er en integreret del af undervisningen.
• Vurderingen og evalueringen skal ske gennem anvendelse af en mangfoldighed af
informationskilder.
• Validiteten af de anvendte vurderings- og evalueringsmetoder skal være i orden.
Vurderingsredskaber og målet for vurderingen skal hænge sammen.
• Alle aspekter af den matematiske viden og kunnen, som undervisningen tilsigter,
skal vurderes og evalueres.
Grundlaget for en implementering af ovennævnte punkter er nødvendigvis en ændring
af undervisningens indhold fra en fokusering på procedurefærdigheder til en fokusering
på forståelse opnået gennem arbejdet med problemsituationer, der giver mulighed for
mangesidet refleksion. Læringen af matematik og dens anvendelse skal ske gennem
udforskning, anvendelse af det matematiske sprog, dannelse af repræsentationer af begreber,
ræsonnering og udvikling af problemløsningsstrategier ud fra den kulturelle baggrund,
den enkelte elev har. Det vil sige ændringer, der formindsker udenadslæren og
reproduktion. Lærerens rolle skal være spørgende og lyttende i det fælles læringsmiljø;
han skal støtte den enkelte elevs læring, altså væk fra den docerende undervisning. Vur-
35

deringer og evalueringer skal være mangfoldige og være konstruerede til at informere om
forståelse af begreber og færdigheder på rutine- såvel som ikke-rutineopgaver. Derved
opnås informationer om, hvorvidt elevernes viden er af en sådan art, at eleven er i stand
til og har selvtillid til at anvende matematikken i situationer, der ligger uden for skolen.
Som redskab til implementering af vurderinger, der kan indgå i en evaluering, har
NCTM(Assessment Standards for School Mathematics, NCTM, 1996) opstillet en
simpel model for assessment, som indeholder fire faser:
Figur 1: Four Phases of Assessment
Modellen er ikke tænkt som værende lineær, men som faser, der er vigtige at have
med i tænkningen, når begreber eller lignende skal vurderes. Som en hjælp i denne
planlægning er der udarbejdet en række spørgsmål, der er knyttet til de fire faser,
hvoraf nogle er gengivet nedenfor.
Ved planlægningen af en prøveaktivitet (skriftlig, praktisk eller lignende):
• Hvad er prøveaktivitetens formål?
• Hvilken struktur og kontekst skal være prøveaktivitetens fokuspunkt?
• Hvilke metoder skal anvendes til brug for indsamling og fortolkning af mulige
indikatorer?
• Hvilke kriterier skal ligge til grund for bedømmelsen af prøveforløbet?
• Hvordan kategoriseres og systematiseres evalueringen og formidlingen af prøvens
resultater?
36
Use
Results
Plan
Assessment
Interpret
Evidence
Gather
Evidence

Indsamling af mulige indikatorer:
• Hvordan skal prøveaktiviteten vælges eller konstrueres?
• Hvad er der gjort for at motivere eleverne i de aktiviteter, prøven tilsigter?
• Hvilke metoder er anvendt til at vise indikatorer på det, der ønskes vurderet?
Fortolkning af mulige indikatorer:
• Hvilke kvalitetskrav er der stillet til de informationer, der skal begrunde indikatorer?
• Hvordan kan eleven indgives forståelse af prøveaktivitetens resultat?
• Hvilke specifikke kriterier skal anvendes i bedømmelsen af prøveaktiviteten?
• Er kriterierne blevet anvendt på passende vis?
• Hvordan skal resultatet af fortolkningen udtrykkes som et resultat?
Handlinger på baggrund af prøveaktivitetens resultater:
• Hvordan skal prøveaktivitetens resultater fremlægges?
• Hvordan skal fortolkningen af resultaterne udtrykkes?
• Hvilke tiltag vil finde sted på grundlag af de slutninger, der drages?
• Hvordan sikres det, at prøveaktivitetens resultater bliver en del af grundlaget for
den fremtidige undervisning.
Modellens faser og de deraf afledte spørgsmål, som er gengivet ovenfor, viser, hvor komplekse
de situationer, der har til formål at vurdere bestemte sider af matematikundervisningen,
er. Det er derfor ikke muligt at give en opskrift på, hvordan der skal vurderes og
evalueres, men kun at angive mulige veje og spørgsmål, som kan inspirere til refleksioner,
der er nødvendige, hver gang man ønsker at vurdere og evaluere aspekter ved matematikundervisningen.
Beskrivelsen af The National Council of Teachers of Mathematics’
visioner for matematikundervisningen i form af indhold, implementering og evaluering
er beskrevet i de to publikationer, der blev nævnt i dette afsnits begyndelse, og de indeholder
en meget detaljeret beskrivelse af de aspekter fra visionerne, der har været fokuseret
på i det ovennævnte.
Denne simple model for vurderinger af elevers udbytte af undervisningen med en beskrivelse
af, hvad de enkelte dele i modellen indeholder, udtrykt gennem spørgsmål, der
kan stilles inden for disse, er et eksempel på, hvordan man kan støtte den enkelte
lærer i dennes tænkning omkring vurderinger og evalueringer af egen undervisning.
De ovennævnte eksempler på internationale tiltag i forbindelse med vurderinger og
evalueringer kan tjene som inspiration for lignende danske tiltag i forbindelse med
implementeringen af den løbende evaluering af matematikundervisningens mål. Der
37

er et synligt behov for udvikling af materialer, der kan støtte den enkelte lærer i arbejdet
mod gennemførelse af en løbende evaluering. En præcisering af målene og redegørelse
for indholdet i de enkelte begreber, der indgår i målbeskrivelsen, vil sammen
med eksempler på, hvordan læreren i praksis kan arbejde mod disse mål, som er vist i
nogle af de internationale eksempler, kunne styrke implementeringen af folkeskolens
– og fagets – formål.
38

Kapitel 3
Beskrivelse og analyse af udvalgte prøve- og
undervisningsmaterialer i relation til evaluering
Dette kapitel indeholder beskrivelser og analyser af udvalgte prøve- og undervisningsmaterialer,
der bliver anvendt ved vurderinger og evalueringer i matematikundervisningen.
De udvalgte prøve- og undervisningsmaterialer er:
• RM 1-7. Interne prøver til regning/matematik 1.-7. klasse. Merete Andersen, Kim
Foss Hansen & Poul Erik Jensen. (Andersen m.fl., 1990-1999)
• Matematikevaluering i 1.-3. klasse. Michael Wahl Andersen & Kristine Jess.
(Andersen m.fl., 2000)
• Individuel Prøve Matematik 1., 2. og 3. klasse, og Gruppeprøve Matematik BH., 1., 2.
og 3. klasse. Anne-Grete Christensen, Ann Bjernå & Søren Sej. (Christensen m.fl.,
1998)
• Prøvesæt i matematikfærdigheder for 9. klassetrin. Færdighedsdelen. Hilmar Pedersen.
(Pedersen, 1998)
• Opgavesamling i matematik. Problemløsning. Folkeskolens Afgangsprøve. Prøvesæt majjuni
1995 – december 1997. Palle Kroman Clausen & Jens Christian Jensen.
(Clausen & Jensen, 1997)
• Faktor for første klasse. Silla Baltzer Petersen & Arne Mogensen. (Petersen &
Mogensen, 1995)
• Faktor for fjerde klasse. Arne Mogensen. (Mogensen, 1995)
• Faktor for ottende klasse. Marianne Holmer & Svend Hessing. (Holmer & Hessing,
1997)
• Matematik i første. Mathias Bruun Pedersen, Margit Krejlund Pedersen og Lislotte
Krogshøj. (Pedersen m.fl., 1992)
• Matematik i fjerde. Hans Jørgen Beck, Mathias Bruun Pedersen, Margit Krejlund
Pedersen og Lislotte Krogshøj. (Beck m.fl., 1995)
• Matematik i ottende. Hans Jørgen Beck, Lona Graff og Niels Jacob Hansen. (Beck
m.fl., 2000)
39

• Sigma for første. Henry, Schultz, Benny Syberg og Ivan Christensen. (Schultz m.fl.,
1993)
• Sigma for fjerde. Henry Schultz, Benny Syberg og Ivan Christensen. (Schultz m.fl.,
1996)
• Sigma for ottende. Henry Schultz og Ivan Christensen. (Schultz & Christensen,
1998)
• Matematik-tak for første klasse. Jonna Høegh, Else Merete Benedict-Møller og Bo
Bramming. (Høegh m.fl., 1994)
• Matematik-tak for fjerde klasse. Jonna Høegh, Else Merete Benedict-Møller, Carsten
Andersen og Esben Esbensen. (Høegh m.fl., 1996)
• Matematik-tak for ottende klasse. Johan Frentz, Jonna Høegh og Mikael Skånstrøm.
(Frentz m.fl., 1997)
De enkelte materialer er, hvor det er muligt, beskrevet med hensyn til formål, prøveform,
vurderingskriterier, indhold, opgavetyper, elevaktiviteter, kompetencerelationer
og perspektiv i relation til CKF’en og den vejledende læseplan.
I beskrivelsen er der lagt vægt på at beskrive, hvilket mål der fokuseres på i prøven
eller undervisningsmaterialet samt de kriterier, der tænkes anvendt til at afgøre, i hvilket
omfang målet er opfyldt:
• Er der anvendt en opgavetype, der er konstrueret til at få indblik i elevens
tænkning i processen, der har ført frem til en besvarelse af opgaven?
• Under hvilke omstændigheder tænkes prøven eller opgaverne anvendt?
• Skal materialet anvendes som led i en løbende evaluering med den enkelte elev eller
ved en klasseprøve som led i en summativ evaluering?
• Hvilke kriterier anvendes ved vurderingen af elevens præstation?
• Ønskes der en beskrivelse af en præstation, der er af rent kvalitativ karakter?
• Skal der indhentes informationer, der kan anvendes i relation til en point-skala, der
kan indplacere elevens præstation på en skala?
• Hvilke faglige områder fokuserer prøven eller opgaverne på?
• Er opgaverne åbne eller lukkede?
• Kræver den enkelte opgave en faktuel viden, færdigheder og/eller anvendelse af problemløsningsstrategier?
• Skal opgaverne besvares skriftligt på traditionel vis, eller er der lagt op til alternative
evalueringsmetoder?
• Kan informationerne, der indhentes ved elevbesvarelserne, knyttes til en problembehandlings-kompetence
eller anden form for kompetence?
• Er det centrale områder i den vejledende læseplan, som materialet giver mulighed
for at indhente informationer om?
40

Det er ovennævnte spørgsmål, beskrivelserne og analyserne i dette kapitel prøver at
besvare. Analysen af materialerne med hensyn til indhold og elevaktiviteter er sket ud
fra de kategorirammer der blev anvendt i TIMSS 1 (Weng, 1996).
Hovedkategorier for indholdet er:
• Tal
• Måling
• Geometri: position, visualisering, form ...
• Geometri: symmetri, mønster, flytninger ...
• Proportionalitet
• Funktioner, relationer og ligninger
• Datarepræsentation, analyse og sandsynlighed
• Elementær analyse
• Logik
Hovedkategorierne for elevaktiviteter i TIMSS betegnet som proces-aspekter:
• Paratviden
• Brug af rutineprocedurer
• Undersøgelse og problemløsning
• Matematisk ræsonnering
• Kommunikation
Hvor det er muligt at beskrive kompetencer i relation til materialet, er der anvendt de
kompetence-beskrivelser, der er omtalt i kapitel 4 i forbindelse med den af Mogens
Niss opstillede kompetencemodel.
RM 1-7: Interne prøver til regning/matematik
1.-7. klasse 2. reviderede udgave, 1990
Udgiver: Dansk Psykologisk Forlag. 1. oplag 1990. 5. oplag 1999.
Forfattere: Merete Andersen, Kim Foss Hansen og Poul Erik Jensen.
Materialet
Syv diagnostiske prøver (1.-7. klasse) og lærervejledning med facitliste.
2) The Third International Mathematics and Science Study.
41

Formål
Prøverne, RM 1-7, er konstrueret til interne diagnosticeringer af elevers matematiske
færdigheder på det “almindeligste” stofområde på 1.-7. klassetrin. Ud fra en empirisk
undersøgelse af, hvad der kan forventes af eleverne på de syv klassetrin, er der fastsat
normer for, hvad der kan forventes lært af færdigheder på hvert af klassetrinene 1 til 7.
Prøverne er et redskab til intern evaluering, ikke til karaktergivning eller nogen
form for sanktion over for eleven.
Prøvernes mål er dels at kunne anvendes til at diagnosticere mangelfulde færdigheder
hos den enkelte elev, dels gennem anvendelse som gruppeprøve til at justere undervisningen
gennem den systematisering, der opnås ved anvendelse af prøverne, hvilket
giver læreren mulighed for at få et overblik over elevernes læring af stoffet og tilrettelægge
en undervisning ud fra disse informationer.
Prøverne kan ud over at anvendes internt af matematiklæreren, bruges af specialundervisningslærere
og psykologer med henblik på at hjælpe elever med specielle behov.
Prøvetagningen
Prøverne, RM 1-7, er tænkt som gruppeprøver, hvor hele klassens elever prøves samtidig.
En diagnostisk anvendelse af prøverne anbefales ved starten af skoleåret, hvor anvendelse
af prøven for det foregående år kan være med til at påvise stofområder, der bør fokuseres
på ved tilrettelæggelsen af undervisningen for den enkelte elev. Ved forårets begyndelse
anvendes prøven, der er konstrueret til klassetrinnet, idet den således kan anvendes til at
justere undervisningen, inden skoleåret er slut.
De enkelte prøver er ikke “hastighedsprøver”. De består ikke af lige svære opgaver,
hvor antallet af løste opgaver inden for et bestemt tidsrum kunne postuleres at være et
mål for den enkelte elevs læring. Opgaverne i prøverne er af forskellig sværhedsgrad
inden for forskellige stofområder. Prøverne er derfor tidsuafhængige, og det anbefales,
at der afsættes 1-2 timer til gennemførelsen af prøven, hvilket skulle være tilstrækkeligt
til, at alle elever har tilstrækkelig tid til at arbejde med samtlige opgaver.
Prøverne tages på bestemte tidspunkter, og de er således ikke tænkt som en integreret
del af undervisningen.
Ved prøvetagningen må eleven ikke modtage anden hjælp fra læreren end hjælp til
at læse og forstå teksten. Læreren skal tillade, at eleverne anvender de hjælpemidler, de
er vant til at bruge. Eleverne skal tilskyndes til at forsøge at løse alle opgaverne og ikke
springe opgaver over.
Grundlaget for prøvetagningen
De enkelte prøver, RM 1-7, er lærebogsuafhængige, men ikke-tilfredsstillende besvarelser
ved en prøve bør relateres til det lærebogssystem, der har ligget til grund for undervis-
42

ningen. Der er til de enkelte prøver udarbejdet en lærebogsafhængig vejledning for de
på udgivelsestidspunktet mest anvendte lærebogssystemer.
Vurdering af elevbesvarelser
Opgaverne i de enkelte prøver, RM 1-7, er opdelt i 15 stofområder. For hvert stofområde
er det muligt at vurdere den enkelte elevs besvarelse efter en standardiseret opdeling.
Denne grupperer besvarelserne inden for det enkelte stofområde i tre grupper
svarende til, hvad 80%, 15% og 5% af eleverne på det pågældende klassetrin ville formodes
at kunne have besvaret på landsplan. Der gives i lærervejledningen anbefalinger
til handling, hvis en elev på mange af stofområderne ligger i de to dårligste grupper.
Der er i lærervejledningen gengivet standardiserede normer, der gør det muligt at
sammenligne en klasses samlede resultat med en “standardklasse” på hvert af de syv
klassetrin, prøverne omfatter. Denne sammenligning er knyttet til udvalgte lærebogssystemer
gennem en standpunktsskala, der angiver, i hvilken grad indlæringen af
“klassetrinnets pensum” er nået.
I lærervejledningen gives der støtte til vurderingen af resultaterne af elevernes besvarelse.
Støtten omfatter en diskussion af grundlaget for henvisning til specialundervisning,
mulig materialestøtte til enkelte elever, eller hvis behovet for støtte gælder en større del af
en klasse, at sætte ind med deciderede regnekurser for hele eller dele af klassen. Endelig
gives der også en vejledning i at ændre undervisningen i en klasse på grundlag af resultaterne
ved en RM- prøve, hvor vejledning sker på baggrund af de udvalgte lærebogssystemer,
som RM-prøverne kan relateres til.
Beskrivelse af de enkelte prøver RM1-RM7
Opgaverne er som tidligere nævnt delt op i 15 stofområder eller discipliner, som forfatterne
kalder opdelingerne. Disse er:
• Talkendskab
• Pladsværdi
• Relationer
• Addition
• Subtraktion
• Multiplikation
• Division
• Udsagn
• Problemregning
• Mål og omsætning
• Funktioner
• Statistik
43

• Kombinatorik
• Geometriske aktiviteter
• Målestoksforhold
Til hver prøve er der en vejledning, der angiver, hvor relevante de forskellige opgaver
inden for et stofområde er for de elever, der ligger blandt de 20%, hvor stofområdet er
usikkert – eller ikke indlært – i forhold til de udvalgte lærebogssystemer, som RM-prøverne
relaterer sig til. Det vil sige, at der inden for hvert af de stofområder, der bliver
afprøvet på det pågældende klassetrin, er beskrevet, hvordan lærebogssystemets behandling
på området har været til og med dette klassetrin, og på denne baggrund angives,
om der er grund til foretage sig yderligere på nuværende tidspunkt ud fra elevbesvarelsen.
Vejledningen sker ved et hjælp af et kategoriseringssystem i fem kategorier, dels
om opgaverne i RM-prøven er relevante i forhold til, hvad der må formodes at være
arbejdet med, dels om stofområdet bliver eller ikke bliver behandlet senere i lærebogssystemet,
og hvilke tiltag der er anbefalelsesværdige alt efter svaret.
I det følgende er de syv RM-prøver beskrevet enkeltvis. Kortlægning af opgavernes
matematiske indhold og den aktivitet, der lægges op til, at eleven udfører, er foretaget
på grundlag af den kategoriramme, der blev anvendt i TIMSS.
RM1
Ved denne prøve er indholdet i opgaverne begreber inden for følgende stofom råder:
• Talkendskab: Lige – færre – flest – den naturlige talrækkes(N) ordning indtil 73.
• Pladsværdi: Antalsbestemmelse (“tier-stave”).
• Relationer: Symbolerne , og = – N’s repræsentation ved tallinjen.
• Addition: Addition af to encifrede tal i vandret og lodret opstilling.
• Subtraktion: Subtraktion af encifrede tal fra tal op til 10 i vandret og lodret op stilling.
• Udsagn: Sand/falsk for udsagn om =, > og

RM2
Ved denne prøve er indholdet i opgaverne begreber inden for følgende stofområder:
• Talkendskab: Ordningen af talrækken(N) indtil 301 – lige/ulige.
• Pladsværdi: “100”, “10” og “1” (penge).
• Relationer: Symbolerne , og =.
• Addition: Addition af op til trecifrede tal i vandret og lodret opstilling.
• Subtraktion: Subtraktion af op til trecifrede tal i vandret og lodret opstilling.
• Multiplikation: Multiplikation af encifrede tal op til “3·8, 3·9”.
• Udsagn: Sand/falsk for udsagn om =, > og og

Generelt lægger opgaverne op til at informere om faktuel viden inden for de naturlige tal
op til 10000, symboler, diagramtyper, geometriske former, areal, omkreds og flytninger.
Af operationelle handlinger er det kun færdigheder i simpel talbehandling (+/-/·), estimation,
måling med lineal, geometrisk konstruktion (linje) og symmetritegning, eleven
har mulighed for at vise.
RM4
Ved denne prøve er indholdet i opgaverne begreber inden for følgende stofområder:
• Talkendskab: “ 1 /2” – “ 1 /4” – relation mellem N og Q (rationale tal).
• Pladsværdi: “10000”, “100”, “10” og “1” i decimaltal (17836,45 kr.).
• Relationer: Symbolet < og variabler (x og = anvendt på brøker og decimaltal.
• Addition: Addition af decimaltal og brøker på kvadreret papir.
• Subtraktion: Subtraktion af decimaltal og brøker på kvadreret papir – negative tal.
• Multiplikation: Multiplikation for decimal (eksempler med 10 og 100) op til
“4,6·6,7”.
46

• Division: Division af firecifrede tal op til “3453:3”- symbolerne “:” og “-”.
• Udsagn: Ligninger og uligheder som åbne udsagn – symbolerne N 0, L, og {}.
• Problemregning: Begreberne deling og gennemsnit i en kontekst.
• Mål og omsætning: Omsætning(m/cm, km/m, kg/g.).
• Funktioner: Additions-/subtraktions-/multiplikations-/divisionsfunktioner med
variabel (x) vist ved pilediagram og additionstabel indeholdende variabel i parentes
(x-5).
• Statistik: Søjlediagram.
• Kombinatorik: Multiplikationsprincippet.
• Geometriske aktiviteter: Koordinatsystemer, konstruktion/tegning af trekant, cirkel,
spids og stump vinkel, vinkelrette og parallelle linjer, areal- og omkredsbestemmelse.
Generelt lægger opgaverne op til at informere om faktuel viden inden for de naturlige
tal, simple brøker og decimaltal, symboler, diagramtyper, areal, omkreds og multiplikationsprincippet
i kombinatorik. Af operationelle handlinger er det kun færdigheder
i simpel talbehandling (+/-/·/:), aflæsning af diagram, måling med lineal og vinkelmåler
og geometrisk konstruktion/tegning, eleven har mulighed for at vise.
RM6
Ved denne prøve er indholdet i opgaverne begreber inden for følgende stofområder:
• Talkendskab: Brøk-repræsentation på tallinje – procent/brøk relation – “procent
af”.
• Pladsværdi: “100000”,...,“1”, ..., 1/10000 i decimaltal (9948,8702).
• Relationer: Symbolet < ,> og = anvendt på blandet tal og omsætning af enheder
(80 mm 7cm).
• Addition: Addition af decimaltal og blandet tal på kvadreret papir.
• Subtraktion: Subtraktion af decimaltal og blandet tal på kvadreret papir.
• Multiplikation: Multiplikation af decimaltal op til “2,3·13,56”.
• Division: Division af decimaltal op til “ 367,2:8”.
• Udsagn: Ligninger som åbne udsagn (6x + 2x =24).
• Problemregning: Deling, procent og begrebet dobbelt i en kontekst.
• Mål og omsætning: Omsætning (m/cm, dm/cm, cm/mm, kg/g, m2/cm2). • Funktioner: Additions-/subtraktions-/multiplikations-/divisionsfunktioner med
variabler (x, y) vist ved tabel.
• Statistik: Søjlediagram/pindediagram.
• Kombinatorik: Multiplikationsprincippet.
• Geometriske aktiviteter: Konstruktion/tegning af trekant, cirkel(diameter), diagonaler
og areal- og omkredsbestemmelse.
47

Generelt lægger opgaverne op til at informere om faktuel viden inden for de naturlige
tal, simple brøker, decimaltal og procent, symboler, diagramtyper, areal, omkreds og
multiplikationsprincippet i kombinatorik. Af operationelle handlinger er det kun færdigheder
i simpel talbehandling (+/–/·/:), fremstilling af diagram, måling med lineal
og vinkelmåler og geometrisk konstruktion/tegning, eleven har mulighed for at vise.
RM7
Ved denne prøve er indholdet i opgaverne begreber inden for følgende stofområder:
• Talkendskab: Potens – primtal – brøker (fællesnævner og forlænge).
• Procent: Grafisk repræsentation af procent og “procent af”.
• Relationer: Pilediagrammer, der viser relationerne “% af x”og “x går op i y”.
• Addition: Addition af blandede og negative tal på kvadreret papir – reduktion.
• Subtraktion: Subtraktion af blandede og negative tal på kvadreret papir – reduktion.
• Multiplikation: Multiplikation af decimaltal på kvadreret papir og multiplikation af
parenteser med variable.
• Division: Division af decimaltal og negative tal (-49:7).
• Udsagn: Ligninger som åbne udsagn (2y +(4 +2y) = 20).
• Problemregning: Deling, procent, fortjeneste og kurs i en kontekst.
• Mål og omsætning: Omsætning(dm/cm, dl/l, m/cm) i kontekst.
• Funktioner: Sammensatte funktioner med variable (x,y) vist ved tabel x(y+1).
• Statistik: Søjlediagram – hyppighed – middelværdi/gennemsnit.
• Kombinatorik: Multiplikationsprincippet.
• Geometriske aktiviteter: Konstruktion/tegning af trekant, spejling, koordinatsystemer,
areal og målestoksforhold.
Generelt lægger opgaverne op til at informere om faktuel viden inden for de naturlige
tal, simple brøker, decimaltal og procent, potens, primtal, symboler, diagramtyper,
areal, middelværdi, hyppighed, multiplikationsprincippet, spejling, målestoksforhold
(ligedannethed). Af operationelle handlinger er det kun færdigheder i simpel talbehandling
(+/-/·/:), fremstilling af diagram, måling med lineal og vinkelmåler og geometrisk
konstruktion/tegning, eleven har mulighed for at vise.
Sammenfattende beskrivelse af materialet
Opgavetypen
Opgaverne er i overvejende grad lukkede og kontekstfri. Stort set alle opgaver lægger
op til at anvende simple færdigheder i rutinemæssige opstillinger. De til opgaverne
angivne stofområder behandler generelt entydig aktuel viden eller simple begreber
inden for stofområdet. Opgaverne indeholder relativt lidt tekst, hvilket gør, at opga-
48

verne opleves som meget abstrakte og kun konkrete ved en opfattelse af matematik
som anvendelse af standard-algoritmer. Den manglende kontekst gør, at opgaverne
holder sig til matematikkens verden. Progressionen i indholdet af matematiske færdighedsbegreber
er synlig fra 1. til 7. klassetrin.
Elevaktiviteter
Den overvejende lukkede opgavetype, der er anvendt i prøverne, lægger ikke op til, at eleverne
selv skal vise, hvilken proces/strategi der ligger bag deres løsningsforsøg. Elevaktiviteten
indskrænker sig til forsøg på at reproducere standardprocedurer, hvilket ikke
giver eleverne mulighed for at vise forståelse af de færdigheder, der afprøves. Således må
elevaktiviteten betegnes som ren symbolmanipulation, med en fokusering på resultatet
uden inddragelse af løsningsprocessen.
Formål og perspektiv
Materialet er konstrueret før beskrivelsen af de kundskaber og færdighedsmål, der er
gældende nu. I relation til disse kan materialet godt relateres til afsnittet i CKF’en om
Færdigheder og faglige redskaber, hvor der står, at eleverne skal opnå færdigheder i at
anvende tal, at beskrive størrelser ved måling og beregning, at bruge grafiske fremstillinger,
at arbejde med geometri i plan og rum, at benytte variable og formler, at anvende og vurdere
statistik samt at forholde sig til sandsynligheder. Men disse afprøves i materialet i en
aktivitet og kontekst, der ikke kan siges at relatere til den enkelte elev, og færdighederne
indgår ikke i en anvendelse som beskrivelsesmiddel og som redskab ved forudsigelse af en
udvikling eller en begivenhed. (Faghæfte 12, p. 11).
Kommentarer til materialet
Materialet må på ovennævnte baggrund siges at være ude af trit med de syn på undervisning
og læring af matematik, der ligger til grund for beskrivelsen i fagets CKF og i
de vejledende læseplaner. Dermed har materialet meget begrænset værdi som redskab i
en løbende intern evaluering.
Matematikevaluering i 1.-3. klasse
Udgiver: Alinea, 1. udgave 1. oplag 2000.
Forfattere: Michael Wahl Andersen og Kristine Jess. 3
3) Da Michael Wahl Andersen er medforfatter af både denne rapport og Matematikevaluering i 1.-3. klasse, er
beskrivelsen og analysen foretaget af Peter Weng.
49

Materiale
Tre opgavesæt (1.-3. klasse), tre lærervejledninger (1.-3. klasse), tre kopimapper med
cd-rom (1.-3. klasse) og hjemmeside www.alinea.dk.
Formål
Prøveopgaverne i hvert af de tre opgavesæt og i det mere omfattende opgavemateriale,
der er knyttet til hvert sæt, er konstrueret i relation til de faglige områder beskrevet i
ministeriets vejledende læseplan for begyndertrinnet. Materialet er tænkt som en støtte
til læreren i den løbende evaluering af matematikundervisningen. Målet med opgaverne
er derfor at opnå information om elevernes læreprocesser, således at læreren kan få
indsigt i den enkelte elevs tankeprocesser og tilgang til de faglige områder på begyndertrinnet
1.-3. klasse.
Opgavesættene er konstrueret meget bredt fagligt, således at det skulle være muligt
for alle elever at vise, hvad de kan inden for de faglige områder. Opgavesættene er således
ikke konstruerede til at være udtryk for en normgivende standard på de enkelte klassetrin.
Der er lagt vægt på, at elevens mulighed for at udtrykke sine forsøg på at løse en
opgave så sprogligt bredt som muligt med papir og blyant, det vil sige gennem ord,
symboler og tegning uden faste tabeller eller opstillinger, der skal udfyldes. Materialet
har også som mål at kunne være et grundlag for lærerens samarbejde med elevernes
forældre gennem de informationer, der indhentes gennem elevernes arbejde med et
opgavesæt.
Prøvetagningen
Opgavesættene er tænkt som gruppeprøver, hvor der er lagt vægt på, at eleverne får
mulighed for at forstå ord og formuleringer gennem en drøftelse i klassen, inden de
begynder at løse opgaverne. Det er vigtigt, at eleverne inden prøven bliver bevidstgjort
om, at de skal vise, hvordan de forsøger at løse opgaven for eksempel ved at vise forskellige
forslag til besvarelser med henholdsvis ord, symboler og tegning. Selve prøvetagningen
skal indgå som et naturligt led i undervisningen og ikke opleves af eleverne
som en traditionel prøvesituation. Således opfattes det som meningsløst, hvis ikke eleverne
under arbejdet med opgaverne får den hjælp, de har behov for, idet det er lærerens
ansvar at få tolket besvarelserne og herunder at have observeret og noteret, hvilke
hændelser, herunder hjælp, der har kan have haft indflydelse på en elevs besvarelse. Det
er ved prøvetagningen tilladt at anvende konkrete materialer og andre materialer, der er
en naturlig del af den daglige undervisning. Under prøvetagningen opfordres eleverne
til at reflektere over deres anvendte løsningsstrategier og de deraf følgende resultater.
Prøvetagningen bygger på en undervisning, hvor der har lagt vægt på værdien af at stille
spørgsmål, “hvad nu hvis ...”, der udbygger opgaven eller problemstillingen.
50

Grundlaget for prøvetagningen
I lærervejledningen til materialet redegøres der for begreberne summativ og formativ evaluering.
Med baggrund i matematikfagets CKF fokuseres i prøvesættene på evaluering af
kundskaber og kompetencer hos de enkelte elever ud fra en opfattelse af, at elevens opgavebesvarelse
er en synliggørelse af den enkelte elevs viden og kunnen. Kundskaber bliver i
materialet beskrevet ud fra en model, der indeholder fire kategorier: Fakta, færdigheder,
forståelse og fortrolighed. I modellen er fakta og færdigheder beskrevet som dele af de
kundskaber, der overordnet kan karakteriseres ved at være grundlagt gennem udenadslære
af for eksempel algoritmer og definitioner på begreber m.v. Erhvervelse af disse kundskabsdele
kan ske uden refleksion og dermed indsigt i, hvad det er for en type viden, og hvorfor
en af eleven anvendt procedure eller lignende virker. Den del af kundskaber, der kun
kan erhverves gennem refleksion, karakteriseres ved forståelse og fortrolighed. Denne
refleksion kan muliggøre en indsigt i de matematiske strukturer, der gør eleven i stand til
at anvende de matematiske begreber i sammenhænge uden for faget.
I Matematikevaluering i 1.-3. klasse er der sat fokus på forståelse og fortrolighed som
det centrale i en løbende evaluering.
Kompetence defineres af materialets forfattere som “en personlig kapacitet, der indebærer
vilje og evne til at handle, hvor grundlaget for handlingen er viden og erfaring kombineret
med en stigende grad af refleksion”. Ligesom ved kundskaber defineres denne ved fire
kompetencekategorier: Gengivelse og gæt, procedureregning, problemhåndtering og kritisk
vurdering. De to første kategorier knytter sig til de ureflekterede kundskaber, mens de to
sidste kategorier knytter sig til de reflekterede kundskaber, der gør en handling mulig i
en problemløsningssituation.
De to beskrivelsesmodeller for kundskaber og kompetencer knyttes sammen i en
model for handling, der som de to første modeller beskrives ud fra fire handlingsmåder:
Illudere, beskrive, forklare og argumentere. Disse fire kategorier beskrives ved, at
• fakta og gengivelse og gæt knyttes til handlingen at illudere,
• færdighed og procedureregning knyttes til handlingen at beskrive,
• forståelse og problemhåndtering knyttes til handlingen at forklare, og
• fortrolighed og kritisk vurdering knyttes til handlingen at argumentere.
Vurderingen af elevbesvarelserne
Opgaverne i de tre prøvesæt beregnet til 1.-3. klasse er fordelt over 12 stofområder.
Ved hver opgave er der vist et skema bestående af de fire “handlings-felter”, illudere,
beskrive, forklare og argumentere, hvor læreren i direkte tilknytning til opgavebesvarelsen
kan notere sin fortolkning af, hvilken type kundskab og kompetence der ligger til grund
for den handling, der kommer til udtryk gennem elevens besvarelse. Skemaet er tænkt
anvendt som et “huskeredskab” for læreren i forsøget på at følge elevens udvikling på en
systematisk måde.
51

I hver opgave er der angivet, hvilket stofområde opgaven tænkes hørende til, men der
er ikke i lærervejledningen givet en uddybende forklaring på, hvilke begreber opgaven har
til formål at evaluere. Dette står i skarp kontrast til de kopi-opgaver, der er tænkt anvendt
til opfølgning på prøveresultaterne. Disse opgaver er beskrevet ved stofområde, hvilke
begreber inden for stofområdet opgaven omhandler samt mulige indikatorer, der kan
tænkes knyttet til de fire handlingskategorier. I stedet for en tilsvarende beskrivelse af
opgaverne i prøvesættet er der i lærervejledningen til det pågældende klassetrin gengivet
en række eksempler på elevbesvarelser og fortolkninger af disse i form af udfyldte
handlingsskemaer.
Foruden de kopi-opgaver og den til materialet hørende cd-rom, der giver læreren
mulighed for at ændre konteksten eller selv at konstruere opgaver, der passer til de elever,
hun eller han underviser, er der udarbejdet kopi-opgaver, der kan anvendes til en evaluering
af samarbejdet. Der er i lærervejledningen vist en model, der knytter samarbejdet
sammen med faglighed. Modellen gør det muligt at systematisere observationer gennem
brug af et observationsskema, der er udviklet for at fastholde lærerens observationer af
elevernes samtaler og samarbejde, når de arbejder i grupper.
Som en understregning af, at materialet er tænkt anvendt i en løbende evaluering,
der skal inddrage både læreren og eleven, er der udarbejdet et “dagbogsblad” og en
“refleksions”-side, som henholdsvis læreren og eleven kan anvende i den fælles evaluering
af elevens læring på grundlag af den gennemførte undervisning.
Beskrivelse af de enkelte prøver på 1.-3. klassetrin
Opgaverne i de tre opgavesæt er stillet inden for følgende stofområder:
• Talforståelse
• Titalssystemet
• Addition
• Subtraktion
• Multiplikation
• Division
• Ordninger/funktioner
• Form og figurer
• Mønstre
• Måling
• Sandsynlighed
• Statistik
I lærervejledningen er der angivet, hvilke kopi-opgaver der kan anvendes i en evaluering
af det enkelte stofområde. Desuden er der angivet, hvor i de seks mest anvendte
matematiklærebogssystemer de enkelte stofområder er behandlet.
52

Prøvesættet til 1. klasse
Dette opgavesæt består af 12 opgaver, hvis indhold er:
• Talforståelse: Del-helhed (antalsbestemmelse), de naturlige tals (N’s) ordning.
• Titalsystemet: Grupperinger i tiere og enere (tegn beløb).
• Addition: 18+25 i kontekst. 12+7 og 29+15 uden kvadreret papir eller lignende
indikering af forventet opstilling eller anvendelse af algoritme.
• Subtraktion: 20-7 givet i en kontekst.
• Ordninger: Systematisk optælling.
• Form og figurer: Geometriske former (cirkel, trekant, firkant).
• Mønster: Mønstergenkendelse( 2-1-2-1-2-1-2-1-2).
• Måling: Arealoverslag.
• Sandsynlighed: Kombinatorik.
• Statistik: Søjlediagram. .
I princippet er det muligt for eleven at repræsentere kundskaber og kompetencer på
alle de niveauer, der er beskrevet i den teoretiske baggrund for opgaverne, da opgaverne
på nær nogle få er åbne.
Prøvesættet til 2. klasse
Dette opgavesæt består af 14 opgaver, hvis indhold er:
• Talforståelse: Del-helhed (færre/flest-relation), ordningen af N (fra 3. til 5. etage).
• Titalsystemet: Pladsværdier trecifrede tal (størst/mindst), antalsbestemmelse.
• Addition: 13+16 og 56+57 uden kvadreret papir eller lignende indikering af forventet
opstilling eller anvendelse af algoritme.
• Subtraktion: 34-29, 34-8 og 29-8 givet i en kontekst. 56-7 og 32-28 uden kvadreret
papir eller lignende.
• Multiplikation: Finde sum af 55 “2”-taller i 5·11skema af to-taller.
• Ordninger: Fordobling.
• Form og figurer: Geometriske former (cirkel, trekant, firkant).
• Mønster: Mønstergenkendelse og spejling.
• Måling: Arealmåling med arealenhed.
• Sandsynlighed: Sum af to terninger, kombinatorik.
• Statistik: Søjlediagram.
Også i dette prøvesæt er det muligt for eleven at repræsentere kundskaber og kompetencer
på alle de niveauer, der er beskrevet i den teoretiske baggrund for opgaverne, da
opgaverne på nær nogle få er åbne.
53

Prøvesættet til 3. klasse
Dette opgavesæt består af 14 opgaver, hvis indhold er:
• Talforståelse: Ordningen af N(1

at vise, hvordan de forsøger at løse opgaven, fremmes en elevaktivitet, der viser forståelsesfærdigheder
frem for procedurefærdigheder.
Formål og perspektiv
Materialet er konstrueret i relation til de kompetencer, der er beskrevet i fagets CKF, hvor
det fordres, at eleverne udvikler kompetencer, der gør dem i stand til at handle ved at formulere
og løse problemer, at benytte ræsonnementer og give faglige begrundelser, at vurdere
og tage stilling og håndtere problemer, der ikke er af rutinemæssig art. På denne
baggrund og med problemhåndtering som pejlemærke for undervisningen kan materialet
ses som et evalueringsmateriale, der kan give informationer om basis for en udvikling hos
den enkelte elev i ovennævnte perspektiv.
Kommentarer til materialet
Systematiseringen af elevbesvarelserne ud fra de teoretiske overvejelser om kundskaber
og kompetencer, der er grundlaget for evalueringsmaterialet, er problematisk på grund
af den meget subjektive vurdering, de få enkelte opgaver inden for et stofområde kan
give anledning til i de enkelte prøver.
Individuel prøve Matematik 1., 2. og 3. klasse, og
Gruppeprøve Matematik BH.,1., 2. og 3. klasse
Udgiver: Græsted-Gilleleje Kommune.
Forfattere: Anne-Grete Christensen, Ann Bjernå og Søren Sej.
Materiale
Tre prøvesæt (1.-3. klasse), lærervejledning til individuel testning. Fire gruppeprøver
bh.-3. klasse, og målbeskrivelse-hæfte for fagene dansk og matematik fra børnehaveklassen
til 3. klassetrin (Et politisk mål, 1998).
Formål
Materialet er blevet udviklet på baggrund af en kommunal beslutning i Græsted-Gilleleje
Kommune i 1997 om at styrke de grundlæggende færdigheder i dansk og matematik i
begynderundervisningen. En arbejdsgruppe bestående af repræsentanter fra kommunens
skoler, børnerådgivningen, Danmarks Lærerforening og skolelederne blev nedsat med det
formål at udarbejde forslag til handle- og evalueringsplaner, der på grundlag af et forøget
timetal til fem timers undervisning om dagen fra børnehaveklasse til 3. klasse skulle
styrke indlæringen af de grundlæggende færdigheder i de to fag samt sætte fokus på
55

undervisningens kvalitet. Opdraget til gruppen var endvidere, at handleplanen skulle
“indeholde entydige og målbare kvalitets- og resultatmål” (Et politisk mål, 1998).
Udvalgets arbejdede ud fra standpunktet “ikke alt kan måles og vejes – men alt
kan evalueres” på at opfylde denne målsætning ved at
• formulere præcise mål for gundlæggende færdigheder i dansk og matematik i de
yngste klasser,
• fastlægge evalueringsmetoder for færdigheder,
• fastlægge evalueringsmetoder for kvalitet,
• informere om disse initiativer til forældre, lærere og politikere. (Et politisk mål,
1998).
Nedenfor er gengivet udvalgets mål for undervisning på de yngste trin ved indlæringen
af de grundlæggende færdigheder i matematik i løbet af et skoleår.
I børnehaveklassen er målet, at eleven får oplevelser med tal og begreber fra dagligdagen,
der kan udvikle og styrke den gundlæggende matematiske parathed ved at
• anvende tal fra 1 til 10,
• tælle op og addere,
• måle,
• illustrere matematiske begreber ved hjælp af for eksempel centicubes,
• kende begreberne firkant, trekant og rund,
• sortere og gruppere.
I 1. klasse er målet, at eleven får lyst til at arbejde med matematiske begreber og problemstillinger
ved at
• anvende tal fra 0 til 20,
• kende tallene fra 0 til 100,
• tælle, addere og subtrahere,
• måle længde, vægt og temperatur,
• kende ugedagene,
• illustrere og aflæse matematiske begreber og størrelser ved hjælp af for eksempel
centicubes og tegninger,
• tegne firkanter, trekanter og kende cirkler,
• gætte løsninger på simple ligninger,
• sortere efter forskellige kriterier,
• addere og subtrahere ved hjælp af lommeregner.
56

I 2. klasse er målet, at eleven får lyst til at arbejde med og anvende matematiske problemstillinger
i hverdagen ved at
• anvende tallene fra 0 til 100,
• kende tallene fra 0 til 1000,
• tælle, addere, subtrahere,
• begynde på multiplikation,
• måle arealet af simple figurer,
• måle ved hjælp af ur og penge,
• kende måneder og årstider,
• illustrere og aflæse matematiske begreber og størrelser,
• kende og tegne kvadrater, rektangler og trekanter,
• finde løsninger til simple ligninger,
• illustrere resultatet af en undersøgelse,
• multiplicere ved hjælp af lommeregner.
I 3. klasse er målet, at eleven får lyst til og interesse for at opsøge, udforske og anvende
matematiske problemstillinger – også på tværs af fagene ved at
• anvende tallene fra 0 til 1000,
• bestemme areal af figurer,
• opnå kendskab til penge,
• tegne skitser,
• illustrere matematiske begreber og størrelser og begynde fortolkning ved hjælp af
søjle- og pindediagram,
• kende og tegne simple polygoner og cirkler,
• opstille enkle ligninger,
• tilrettelægge, gennemføre og tolke simple undersøgelser,
• finde et antal muligheder i meget enkle problemstillinger,
• dividere ved hjælp af lommeregner.
Ovennævnte mål er udvalgets fortolkning og forslag til udmøntning af indholdet af
CKF-beskrivelsen for begyndertrinnet.
I slutningen af skoleåret evalueres undervisningen og elevernes læring af de grundlæggende
færdigheder. Kvalitetsmålet er, at elevens præstation ligger i pointgrupperne
1 til 6 ud af 8 grupper. Hvis eleverne klarer gruppeprøven tilfredsstillende, og elever
og forældre er tilfredse med undervisningen ved afslutningen af skoleåret, er kvalitetsmålene
opfyldt. Med hensyn til succeskriterium, er et af disse, at 80% af klassen klarer
resultatmålet!
Materialet er konstrueret til anvendelse i en løbende intern evaluering. I målbeskri-
57

velsen understreges det, at evalueringen ikke skal anvendes for at kunne udøve kritik af
den gennemførte undervisning, men som et redskab, der kan perspektivere undervisningen
og dermed danne grundlag for tilrettelæggelsen af den fremtidige undervisning
gennem lærerens refleksion over egen praksis i relation til de resultater, prøverne viser.
Lærerens refleksioner er centrale i tilrettelæggelsen af en undervisning, der har princippet
om undervisningsdifferentiering som en af de bærende støttepiller.
Prøvetagningen
Den individuelle prøvetagning skal ske i april/maj, således at skolens koordinator for
matematik kan få de rettede opgaver i uge 25. Eleverne får 45 minutter til at besvare
opgaverne, og det er tilladt, at læreren oplæser teksten, hvis eleverne har behov for
dette. Tilladte hjælpemidler er tallinje, 100-tavle, kugleramme, målebånd og farver.
Når eleven når til den sidste opgave, der indgår i vurderingen af præstationen, skal
hun eller han have udleveret en lommeregner.
Gruppeprøverne skal som den individuelle prøve gennemføres i april/maj, og skolens
koordinator skal være til stede under prøvetagningen. Eleverne får 90 minutter til at
besvare opgaverne, dog er det tilladt at indlægge en kortere pause, hvis der er behov
for det. Eleverne skal arbejde sammen i grupper på to-tre elever, og det anbefales, at
der ikke er mere end fem grupper ved prøvetagningen.
Læreren skal læse opgaverne op og forklare dem for at sikre, at gruppen har forstået
opgaven. Materialet, der skal anvendes ved arbejdet, udleveres successivt til gruppen, så
den kun arbejder med én opgave ad gangen.
Grundlaget for prøvetagningen
Prøverne er en del af et større projekt, som Græsted-Gilleleje Kommune har iværksat for
at styrke dansk og matematik i begynderundervisningen, hvor en matematik-basissamling
af hjælpemidler opbygges, og en generel matematikmaterialesamling udvikles på skolerne,
samtidig med at der sker en opkvalificering af matematiklærerne og ny organisering af
deres samarbejde omkring undervisningen. For de individuelle prøvers vedkommende er
grundlaget de tidligere nævnte mål for matematiske færdigheder. For gruppeprøvens vedkommende
er det ønsket om at indhente informationer om den enkelte elevs arbejde/
samarbejde i en gruppesammenhæng, der er målet. Gennem observation og samtale med
eleverne skal læreren forsøge at observere tegn, der kan beskrive elevens opgave/problembehandling
og dermed give et kvalificeret bud på elevens læringsproces(ser). Fokuspunkter
i den generelle proces er elevens engagement, evne til at samarbejde, behov
for støtte og gruppepræstation.
58

Vurderingen af elevbesvarelserne
De individuelle prøver vurderes ud fra en rettevejledning, der indeholder en pointfordeling
og en gruppeinddeling af disse, der anvendes til at placere elevens præstation på en
skala fra 1 til 8 svarende til gruppeinddelingen. For eksempel er der ni pointgivende
opgaver, der i rækkefølge kan give 3, 3, 4, 16, 16, 4, 4, 3, og 8 point, det vil sige, at eleven
i alt kan opnå 61 point. De otte skalagrupperinger er 1: 61-59,2: 58-54, 3: 53-48, 4:
47-41, 5: 40-34, 6: 33-27, 7: 26-20 og 8: 19-0.
For eksempel vil en elev, der kan addere og subtrahere korrekt med standardalgoritmer,
med og uden lommeregner få 40 point på opgaverne, der vægtes til 16, 16 og 8
point og dermed blive placeret med 5 på skalaen, mens en elev, der ikke kan besvare disse
opgaver, men præsterer korrekt på de seks resterende opgaver omhandlende talkendskab,
pladsværdi, relationer, tier-venner, geometri og logik, med de 21point, en korrekt besvarelse
af disse giver, vil blive placeret med 7 på skalaen! Hvilket tydeligt viser den vægt, der
er lagt på indlæringen af standardalgoritmerne ved addition og subtraktion.
Vurderingen af gruppeprøven sker ved, at klassens matematiklærer og skolens
matematik-koordinator ud fra hver deres observationer af og samtaler med eleverne,
vurderer eleven på følgende fire områder: arbejdsprocesserne/tænkemåden, engagementet/motivationen
og samarbejdet samt elevbesvarelserne og støtten til disse.
Elevens præstation på disse områder bedømmes efter en skala fra 1 til 10, hvor 1
betyder, at færdigheden ikke beherskes, og 10 betyder, at færdigheden beherskes.
Arbejdsprocesserne/tænkemåden vurderes ud fra et spørgsmål om, hvordan eleven griber
opgaven an, og et spørgsmål om de overvejelser, både den enkelte elev og gruppen har.
Engagementet/motivationen vurderes ud fra den interesse, koncentration, målrettethed
og vedholdenhed, eleven udviser.
Samarbejdet vurderes ved, om alle inddrages i gruppen, den enkelte elevs evne til at
lytte til de andre i gruppen, og om gruppen på egen hånd kan samarbejde.
Elevbesvarelserne og støtten til disse vurderes ved, om en acceptabel løsning sker uden
hjælp, med lidt hjælp eller med megen hjælp.
Beskrivelse af de enkelte individuelle prøver til 1., 2. og 3. klasse,
samt gruppeprøver til bh., 1., 2. og 3. klasse
De tre individuelle prøvesæt indeholder ud over de opgaver, der skal anvendes til vurderinger,
også en ekstra opgave beregnet til at beskæftige eventuelle hurtigregnere. Til
den sidste opgave i alle sættene får eleven lommeregner til rådighed.
1. klasse individuel prøve
Prøven består af ni opgaver plus ekstra-opgaven. Indholdet er:
• Talkendskab: Indsættelse at tal på tallinjen op til 22.
59

• Pladsværdi: Optælling og markering af kvadrater ud fra kvadratsøjler.
• Relationer: Symbolerne >,,

subtraktion. Lommeregnerens anvendelse på multiplikation informerer kun om anvendelse
af lommeregner-tastaturet ikke om multiplikation.
Der gives heller ikke i denne prøve mulighed for, at eleven kan vise sider af sin
tænkning, der ligger uden for den traditionelle faktuelle og proceduretænkning. Så de
informationer, der kan indhentes, omhandler faktuel viden og færdigheder knyttet til
standardprocedurer.
3. klasse individuel prøve
Prøven består af otte opgaver plus ekstra-opgaven. Indholdet er:
• Talkendskab: Indsættelse at tal på tallinjen op til 1001.
• Relationer: Symbolerne >,

Opgaverne kan alle ses som en introduktion til at arbejde med ræsonnementer og konstruering
af matematiske begreber ud fra elevernes hverdagsbegreber og hverdagssprog.
Der er ikke givet noget specifikt fokusbegreb på opgaverne. Så de kan ses som et
udtryk for en begyndende begrebsdannelse, der kan indgå i forudsætningerne for 1.
klasses matematikundervisning.
Gruppeprøven til 1. klassetrin
Prøven indeholder fire opgaver:
Opgave 1:
I denne opgave skal eleverne “aflæse” en tegning på isometrisk papir af figurer sammensat
af centicubes, hvorefter en af figurerne skal fremstilles ved hjælp af centicubes og tegnes
set fra en på tegningen angivet side.
Opgave 2:
Eleverne skal i denne opgave sortere logik-brikker efter størrelse, form, farve og tykkelse
i det størst mulige antal bunker.
Opgave 3:
Eleverne får udleveret en række forskellige beholdere, en vægt og et litermål. Opgaven
er går ud på at sortere beholderne efter kriterier, som gruppen selv skal formulere.
Opgave 4:
Gruppen får udleveret nogle påbegyndte mønstre og skal så færdiggøre disse.
Kun opgave 3, der omhandler en sortering af forskellige beholdere, kan siges at være
en åben opgave, der lægger op til eksperimentering; de andre opgaver er lukkede eller
delvis lukkede.
Gruppeprøven til 2. klassetrin
Prøven indeholder fire opgaver:
Opgave 1:
I denne opgave skal eleverne “aflæse” en tegning på isometrisk papir af figurer sammensat
af centicubes, hvorefter en af figurerne skal fremstilles ved hjælp af centicubes og
tegnes set fra en på tegningen angivet side.
Eneste afvigelse fra 1. klassetrin er en opfordring til, at gruppen selv bygger en figur
og tegner denne.
62

Opgave 2:
Gruppen får udleveret en pose penge samt forskellige ting, hvor der et påsat et
prismærke. Eleverne skal så vurdere forskellige indkøb og indkøbsmuligheder.
Opgave 3:
Sortering af logik-brikker, der har form som rektangler, trekanter og kvadrater.
Resultatet skal vises i et søjledigram, der er for-tegnet.
Opgave 4:
I denne opgave skal eleverne dække en given figur ved hjælp af et bestemt antal
brikker, der har form som trekanter, rektangler og kvadrater.
Alle opgaverne er lukkede eller delvis lukkede opgaver, der omhandler procedurefærdigheder
og kun i nogen grad lægger op til en undersøgende aktivitet, men ikke i en
grad, der kan siges at gøre dem til åbne opgaver.
Gruppeprøven til 3. klassetrin
Prøven indeholder som de foregående fire opgaver:
Opgave 1:
Centicubes: Eleverne skal bygge tvillinger, trillinger og firlinger med centicubes, beskrive
antallet ved hjælp af fortrykt søjlediagram samt undersøge antallet af figurer med
“arealet” større end 6, der kan bygges med centicubes.
Opgave 2:
Penge: Optælling af forskellige pengebeløb og ordning af disse efter beløbets størrelse.
Opgave 3:
Mængder: Sortering af logik-brikker i mængde-boller efter begreber som “store cirkler”,
“tynde små cirkler”, “blå figurer”, “trekanter”, “store kvadrater” og “små rektangler”.
Opgave 4:
Konstruktion: Ved hjælp af centicubes og arbejdstegninger, hvor figuren er set fra
oven, fra siden og forfra, skal eleverne bygge tre figurer.
De to opgaver om “penge” og “mængder” er lukkede opgaver, hvor den første omhandler
færdigheder og den anden ikke-veldefinerede matematiske begreber som “tynde små cirkler”.
I modsætning til disse to opgaver er opgaverne “centicubes” og “konstruktion” åbne
og lægger op til en mere udforskende aktivitet i gruppen med mulighed for flere forskellige
strategier, der kan føre til en acceptabel besvarelse.
63

Sammenfattende beskrivelse af materialet
Opgavetypen
Opgaverne i de individuelle opgaver er stort set traditionelle færdighedsopgaver, der
handler om anvendelse af standard-algoritmerne ved addition, subtraktion og multiplikation.
De er alle kontekstfrie, hvilket gør prøverne til ren manipulation med symboler
og procedureregning. Der er en lille progression i opgavernes indhold. Lommeregneropgaven
er noget nyt i forhold til indholdet i andre prøver. Hvilken information denne
opgavetype kan give andet end om anvendelse af lommeregner-tastaturets aflæsning er
ikke til at sige, men er i sig selv en vigtig færdighed.
Opgaverne i gruppeprøverne er alle praktiske eller “hands on”-opgaver, hvor eleverne
skal anvende materialer i en eller anden udstrækning i deres arbejde med opgaven.
Praktiske opgaver kan konstrueres mere eller mindre “kogebogs-lignende”. Der er flest
opgaver af denne type i prøverne, men der er dog også eksempler på åbne opgaver, der
lægger op til, at eleverne arbejder eksperimenterende. Opgaverne giver ikke eleverne
mulighed for at beskrive den tænkning, de bringer i anvendelse i forsøget på at løse
opgaven.
Elevaktiviteter
De individuelle prøver giver kun eleven mulighed for at vise bestemte procedureregninger.
Der er ingen mulighed for at få indsigt i elevens tænkning, der kan indikere forståelse af
de begreber, der ligger til grund for anvendelsen af symbolerne og standard-algoritmerne.
Gruppeprøverne med deres udgangspunkt i en manipulering med materialer, i de
fleste tilfælde konstruerede matematiske materialer og ikke ting fra hverdagen, giver
en ikke-traditionel tilgang til opgaver, der anvendes i vurderingsøjemed.
Selv om gruppeopgaverne for de fleste vedkommende ikke er åbne opgaver, giver de
alligevel anledning til en tænkning, der helt adskiller sig fra den, der kan komme til
udtryk hos eleven ved den individuelle prøve. Denne information skal dog indfanges ved
lærernes observationer og samtaler med eleverne, da eleven selv har meget ringe muligheder
for at demonstrere/beskrive sin arbejdsprocestænkning skriftligt.
Formål og perspektiv
Både den individuelle prøve og gruppeprøven må siges i det store hele at informere om
de emner, der er nævnt i den kommunale målsætning. Men i hvilket omfang denne
stemmer overens med de overordnede hensigter, som er beskrevet i CKF’en og den vejledende
læseplan, kan diskuteres.
64

Kommentarer til materialet
Materialets individuelle prøver ser umiddelbart ud til at have to formål, dels afprøvning
af traditionelle færdigheder, som elever er blevet prøvet i gennem århundreder, og som
ikke lægger op til nogen form for ræsonnering, kommunikation eller andre af de områder,
der bliver lagt vægt på i læseplanen, dels er der i prøverne en enkelt opgave, der skal
informere om, hvorvidt eleverne kan anvende lommeregneren. Med hensyn til indhold
må det siges, at dette er domineret af tre ud af de fire regningsarter, og det er tvivlsomt,
hvilken værdi spredte opgaver gennem de tre år med geometri, logik osv. kan give af
information på disse områder. Dette er der heller ikke lagt op til ved bedømmelsen af
elevpræstationerne. Bedømmelsen af elevpræstationerne foregår ved en sammentælling
af antal rigtigt besvarede opgaver ud fra et rationale, der, som eksemplificeret tidligere,
ikke er beskrevet, men som lægger vægt på basisfærdigheder.
Gruppeprøverne er i deres udgangspunkt et led i den påbegyndte udvikling af alternative
evalueringsredskaber, væk fra de traditionelle papir- og blyantsopgaver. Men anvendelsen
af opgaverne til at indplacere en elev på en skala med hensyn til samarbejde, motivation
etc. er af tvivlsom karakter.
Der er blandt andet ikke gjort rede for, hvilket rationale der ligger til grund for de
enkelte opgaver med hensyn til matematiske indholdsbegreber og aktiviteter. Dermed
er der lagt op til en subjektiv vurdering af, hvad der skal fokuseres på i elevernes proces
i forsøget på at besvare opgaven.
Folkeskolens Afgangsprøve
For at perspektivere beskrivelsen af de forudgående prøver er der nedenfor medtaget
to eksempler på prøvesæt fra Folkeskolens Afgangsprøve. Prøvesættene er færdighedsog
problemløsningsdelen fra sommerprøven 1997. De to prøvesæt er analyseret og
beskrevet ved indholdet og de kundskaber og færdigheder, eleverne skal demonstrere
ved besvarelsen af opgaverne. Det, der er fokuseret på i denne sammenhæng, er en
vurdering af, hvad sådanne prøvesæts indhold i form af opbygning og opgavetyper
kan have på den enkelte elevs opfattelse af faget matematik. Det er ikke utænkeligt, at
en anvendelse af tidligere års prøvesæt på de afsluttende trin kan have endog en meget
styrende funktion i undervisningen, hvis de anvendes kritikløst eller kun til at give
eleven en bedømmelse i form af et tal på karakterskalaen. Det vil sige, at det mere er
de forskellige opgavers form end det matematiske emne, der behandles i disse prøvesæt,
der er kommenteret nedenfor.
65

Prøvesæt i matematikfærdigheder for 9. klassetrin
– Færdighedsdelen
Udgiver: Alinea, 1997. 2. udgave, 1. oplag 1998.
Forfatter: Hilmar Pedersen.
Materiale
15 prøvesæt à 1 time. Kan anvendes til alle matematiksystemer.
Formål
Øvehæfte til træning og evaluering af elevens færdigheder og brug af redskaber med
henblik på Folkeskolens Afgangsprøve.
Prøvetagningen
De 15 prøvesæt består hver af 50 opgaver, der er fordelt på 25 opgaver pr. side, så én
side kan bruges til en halv times prøve.
Beskrivelse af færdighedsdelen FA maj-juni 1997
Indholdet i prøven omfatter følgende større kategorier:
• Analyse af data-repræsentationer
• Måling
• Proportionalitet
• Procent
• Ligninger og formler
• Omkreds – areal – rumfang
• De fire regningsarter
Vurderingen af elevbesvarelserne
Vurderingen af en elevs præstation sker ved simpel optælling af rigtige besvarelser og
bedømmes i relation til en given skala.
Opgavetypen
Alle opgaver er lukkede kortsvars-opgaver, og langt de fleste er kontekstfrie.
Elevaktiviteter
Eleverne skal i den overvejende del af opgaverne demonstrere, at de kan gennemføre rutinemæssige
procedurer og i mindre grad mere komplekse procedurer samt faktuel viden.
Der er kun mulighed for at vurdere tekniske/procedurefærdigheder, ikke-forståelse og
indsigt.
66

Opgavesamling i matematik. Problemløsning.
Folkeskolens Afgangsprøve
Prøvesæt maj-juni 1995 – december 1997.
Udgiver: Alinea 1998. 3. udgave, 1.oplag 1998.
Forfattere: Ved Palle Kroman Clausen og Jens Christian Jensen.
Materiale
Seks ogavesæt, folkeskolens afgangsprøver i problemløsning. Sommerprøven 1995 –
Vinterprøven 1997.
Formål
Anvendelse i den daglige undervisning med henblik på forberedelse til den afsluttende
prøve.
Vurderingen af elevbesvarelserne
Der findes point-fordelingsskala hvis prøverne anvendes ved en tretimersprøve, der
kan anvendes til at bedømme elevens præstation.
Beskrivelse af indholdet i problemløsningsdelen sommerprøven 1997
Opgavesættet omfatter fem opgaver, der er konstrueret over temaet “fåreavl”. I samtlige
fem opgaver skal eleverne hente oplysninger til besvarelse af en stor del af delspørgsmålene
ved at aflæse en tabel, graf, arbejdstegning eller lignende.
Derfor bliver en af de dominerende indholdskategorier en analyse af datarepræsentationer.
Andre dominerende kategorier er operationer, de fire regningsarter inden for
de naturlige tal samt i mindre omfang areal/rumfang og ligninger/formler.
Opgaverne omhandler direkte eller indirekte matematiske begreber:
• Tabelaflæsning
• Addition
• Subtraktion
• Multiplikation og division med anvendelse af lommeregner
• Procent
• Grafaflæsning
• Størst/mindst
• Enheder
• Perspektivering
• Måling
• Areal
67

• Arbejdstegning
• Målestoksforhold
• Rumfang
• Rette linjer
• Funktion
• Model
• Optælling
• Mønster
Opgavetypen
Langt de fleste delspørgsmål i de fem opgaver er lukkede. Beregn ..., hvor meget ...,
hvor mange ..., hvor stor ..., hvilket år ..., hvor højt ..., tegn ...., angiv ... . Kun to delspørgsmål
begynder ikke med et af de ovennævnte eksempler. Ét delspørgsmål starter
med beskriv ... og ét med forklar ...! Derfor må langt de fleste opgaver karakteriseres
som værende lukkede. Opgaverne er generelt ikke stilladsopbygget, selv om der er
spørgsmål, der hænger sammen. Opgavesættets tema styrer/begrænser, hvilke matematiske
begreber der kan inddrages.
Elevaktiviteter
Det er stort set de samme færdigheder og kundskaber, eleven skal demonstrere i problemløsningsdelen
som i færdighedsdelen. Eleven skal nu blot demonstrere disse i en
kontekst. Det er meget få spørgsmål, der lægger op til, at eleven kan få lejlighed til at
forholde sig til de matematiske begreber, så det muligt at demonstrere generelle kompetencer
knyttet til ræsonnementer, problembehandling og kommunikation.
Kommentar til sommerprøven 1997
I begge prøvesættene er det iøjnefaldende, at så relativ en stor del af opgaverne tager
udgangspunkt i statistikker, grafer, diagrammer og tabeller, hvor eleven skal aflæse eller
regne på tallene. I begge prøvesæt er det den enkelte elevs faktuelle viden og færdigheder,
der gives mulighed for at indhente informationer om. Forskellen er, sat på spidsen,
at i problemløsningsdelen kræves det, at eleven demonstrerer en læsekompetence, der
ikke er et nødvendigt krav i færdighedsdelen. Problemløsningsdelens opgaver giver nok
eleven mulighed for at anvende matematikken på rutinemæssige opgaver, men det er
tvivlsomt, om eleven har mulighed for at vise, at hun eller han kan formulere problemer,
beskrive løsningsstrategier og løsninger ved hjælp af matematikken.
Det er betænkeligt, at problemløsningsdelen indeholder så mange færdighedsprægede
opgaver og så lidt af udfordringer i form af lidt mere komplicerede problemstillinger.
Endvidere er det flotte layout af prøvesættene og prøvesættets opbygning med
68

lette indgangsspørgsmål i hver opgave med til at opbygge et bestemt syn på skriftlige
“matematikprøver”, der går i modsat retning af problembehandling ved hjælp af matematikken.
Problemløsningsdelen kan ikke anvendes til vurderinger af den enkelte elevs
evne til at behandle matematiske problemstillinger; dertil er indholdet for færdighedspræget.
Det er et spørgsmål, om det overhovedet er muligt og rimeligt at anvende dette prøvesæt,
hvis formål er en summativ evaluering, som er konstrueret til at kunne informere
om elevens udbytte efter ni års matematikundervisning i folkeskolen, til en formativ
evaluering.
Faktor for første klasse
Udgiver: Malling Beck, 1. udgave, 1. oplag, 1995.
Forfattere: Silla Baltzer Petersen & Arne Mogensen.
Beskrivelse
Kopisider i kopimappen.
Faktor for første klasse har et afsnit om evaluering i lærervejledningen på siderne 34 til
36. Evalueringsbegrebet diskuteres med eksempler på forskellige måder at evaluere på.
Her gennemgås Faktorsystemets syn på evaluering, og der gives eksempler på, hvordan
systemets evalueringsmaterialer kan anvendes.
Faktor anvender skemaer, der findes i kopimappen. Forfatterne foreslår, at disse
skemaer kan udvikles til en egentlig logbog.
Formål
Formålet med evalueringen er uddybende beskrevet i materialets lærervejledning på s.
34-36. Formålet med den løbende evaluering er at være et arbejdsredskab for lærer og
elever.
Opgavetypen
Der er ikke knyttet opgaver til evalueringsaktiviteterne.
Elevaktiviteter
Eleverne skal på evalueringsarket markere, hvilke opgaver de har arbejdet med, og hvad
de synes om de enkelte opgaver. Arket skal være et udgangspunkt for en samtale om
de opgaver, eleven har arbejdet med.
69

Andre kommentarer
Der bliver i materialet lagt op til at arbejde med logbogs- og porteføljeevaluering, og
der er henvisninger til, hvor der kan hentes inspiration til arbejdet. Der er ikke i selve
materialet megen konkret støtte, når lærerne skal i gang med at evaluere.
Faktor for fjerde klasse
Udgiver: Malling Beck, 1.udgave 1. oplag, 1995.
Forfatter: Arne Mogensen.
Beskrivelse
Kan du selv og refleksionsider med forskellige overskrifter:
Faktor for fjerde klasse har et afsnit om evaluering i lærervejledningen på siderne 33 til
36. Evalueringsbegrebet diskuteres med eksempler på andre måder at evaluere på. Her
gennemgås Faktors syn på evaluering, og der gives eksempler på, hvordan systemets
evalueringsmaterialer kan anvendes. Faktor for fjerde klasse anvender logbog i begrænset
omfang.
Formål
Formålet med evaluering er uddybende beskrevet i materialets lærervejledning på
siderne 33 til 36. Hver evalueringsdel består af to elementer: en færdighedsdel (Kan
du selv) og en refleksionsdel med forskellige overskrifter. Ud over dette gives der i
lærervejledningen andre forslag til evaluering.
Faktor for ottende klasse
Udgiver: Malling Beck, 2. udgave 1. oplag, 1997.
Forfattere: Marianne Holmer & Svend Hessing.
Beskrivelse
Der er ingen evalueringsmaterialer tilknyttet materialet.
Faktor for ottende klasse introducerer ikke eksplicit evaluering i deres materiale. I lærervejledningen
er der for 8.-9. klasse et større afsnit om den mundtlige prøve på siderne
12-14. På side 12 gives der forslag til opgaver fra forskellige temaer fra arbejdsbogen
for 8. klasse, der er velegnede til træning til den mundtlige prøve.
70

Matematik i første
Udgiver: Gyldendal Uddannelse, 1. udgave, 1. oplag, 1992.
Forfattere: Mathias Bruun Pedersen, Margit Krejlund Pedersen og Lislotte Krogshøj.
Kommentarer
Der er ikke i lærerens bog eller i elevmaterialet beskrevet noget om evaluering i Matematik
i første, ligesom der som konsekvens heraf ikke findes evalueringsredskaber i
materialet.
Matematik i fjerde
Udgiver: Gyldendal Uddannelse, 1. udgave, 1. oplag, 1995.
Forfattere: Hans Jørgen Beck, Mathias Bruun Pedersen, Margit Krejlund Pedersen og
Lislotte Krogshøj.
Beskrivelse
Lærerens bog indeholder to afsnit om prøver (s.15) og evaluering (s. 16-17).
I afsnittet om prøver henvises der til RM-prøverne 1-7 fra Dansk Psykologisk
Forlag og til Fom-prøven, der ikke længere udgives.
I afsnittet om evaluering henvises der til folkeskoleloven krav om løbende evaluering.
Den løbende evaluering skal ses som en del af den daglige undervisning og skal relateres
til elevernes individuelle målsætninger og klassens samlede målsætning.
I Matematik i Fjerde afsluttes faglige emner med nogle skrivelinjer og en opfordring
til at gøre status og kort beskrive “hvad ved du nu om …”. Forfatterne understreger, at
det ikke er op til den enkelte elev alene eller sammen med deres forældre at skrive disse
linjer.
Formål
I lærerens bog beskrives den løbende evaluering som en integreret del af undervisningen.
Der gøres opmærksom på, at den løbende evaluering vedrører både elever og undervisning.
Der gøres ligeledes opmærksom på, at evaluering skal opfattes langt mere nuanceret
end blot og bar måling af de mere færdighedsprægede aspekter i undervisningen.
Der lægges vægt på dagbogen som redskab for den løbende evaluering. Ligeledes
bliver der sat fokus på samtalen som en integreret del af evalueringen.
I lærervejledningen refereres der til Undervisningsministeriets hæfte nr. 2 fra 1991
71

om “Udvikling og kvalitet – skolens undervisning” kapitel 5 “Intern evaluering i faget
regning/matematik” som inspirationskilde i forbindelse med den løbende evaluering.
Siderne
Alle “Hvad ved du nu om ...” er ens i opbygning og er placeret i arbejdsbogen “Hvad
ved du nu om” nederst på den side, der afslutter et fagligt emne. Der er en overskrift,
der for eksempel hedder “Hvad ved du nu om kommatal – skriv:” Herefter følger treseks
linjer, som eleven kan udfylde.
Opgavetypen
Det er meningen, at eleverne skriftligt skal give udtryk for deres forståelser. Der er tale
for en form for logbog/portefølje.
Elevaktiviteter
Udgangspunktet er elevernes egen forståelse.
Formål og perspektiv
Det er ikke tydeligt beskrevet, hvordan der skal arbejdes med materialet. Der er ikke
eksplicit beskrevet noget om formål og perspektiv i evalueringsmaterialet.
Andre kommentarer
Det er svært at finde ud af, om formålet med evalueringen er elevernes forståelse, eller
om det er, hvad læreren gerne vil have, at eleven skal have lært.
Matematik i ottende
Udgiver: Gyldendal Uddannelse, 1. udgave, 1. oplag, 2000.
Forfattere: Hans Jørgen Beck, Lona Graff og Niels Jacob Hansen.
Beskrivelse
Lærerens bog indeholder et lille afsnit om evaluering (s. 11). I afsnittet gøres opmærksom
på, at det er vigtigt at være opmærksom på, hvordan arbejdet skrider frem. Ved fremlæggelser
bør eleverne redegøre for deres arbejdsprocesser. Det foreslås, at klassen evaluerer i
fællesskab. Det er vigtigt, at alle bliver gjort opmærksom på den måde, hvorpå der argumenteres.
I grundbogen lægges der op til at eleverne udarbejder en formelsamling. Der er opgaver
af typen “Hvad ved du nu om ...”. Det er så meningen, at eleverne skal skrive og
tegne i deres formelsamling, hvad de nu ved om det givne emne.
72

Forfatterne til materialet understreger ligeledes, at eleverne skal opfordres til at
skabe overblik over deres viden ved hjælp af deres personlige formelsamling. Der er
ikke skrevet noget om formålet med anvendelse af en elevproduceret formelsamling.
Formål
Det er ikke muligt umiddelbart ud fra, hvad der er skrevet i lærerens bog til ottende
klasse at få en afklaring af forfatternes hensigter med evaluering, da bogen ikke indeholder
eksplicitte overvejelser.
Elevaktiviteter
Evalueringen foregår ved fremlæggelser. Evalueringen af retvinklede trekanter beskrives
på s. 51 på følgende måde: “Opgave 2 i job 32 (det “klippede bevis for Pythagoras’ sætning”)
kan evalueres ved, at en af grupperne fremlægger deres arbejde for resten af klassen,
som derefter kommenterer. Hvis en anden gruppe mener at have angrebet problemet
anderledes, bør de også have lejlighed til at vise deres metode. Resten af opgaverne kan
evalueres på sædvanlig vis”.
Formål og perspektiv
Der udtrykkes ikke umiddelbart i lærerens bog noget om formål og hensigter med
evalueringen.
Andre kommentarer
Der gives ikke i materialet konkrete anvisninger på, hvordan evaluering kan finde sted,
og hvilket der anses som væsentlige elementer.
Der er ikke megen støtte at hente for en lærer omkring teorien bag evaluering og
formålet med evalueringen.
For eksempel skrives om evaluering på s. 51 “Resten af opgaverne kan evalueres på
sædvanlig vis”, uden at der gives nærmere anvisninger af, hvad der forstås ved at evaluere
på sædvanlig vis.
Sigma for første
Udgiver: Malling Beck, 1. udgave 1. oplag, 1993.
Forfattere: Henry Schultz, Benny Syberg og Ivan Christensen.
Beskrivelse og formål
Sigma for første beskæftiger sig ikke specifikt med evaluering. Forfatterne skriver: “Et
73

af de mere karakteristiske træk ved Sigma for første er, at det er nemt at rette for lærerne.
Hvor det er muligt, vil øvelserne være selvinstruerende og selvkontrollerende. Det kan
i visse sammenhænge virke lidt mekanisk, hvilket der er to gode grunde til:
Det selvkontrollerende virker stimulerende på eleverne – med ret god sikkerhed
ved de “med det samme”, om en øvelse er “rigtigt løst” – det er et lille skulderklap og
en opmuntring til at gå videre.
Jo lettere læreren har ved at rette, jo mindre tid spildes der. Mindre tid til rettearbejde
giver mere tid til undervisning.
Først i elevbogen til Sigma for første B er disse kontrolsystemer medtaget.”
Andre kommentarer
Systemet er udgivet i 1993, og det er lidt uklart, om evalueringsaspektet er medtænkt
i systemet. Senere udgivne dele af Sigma-systemet medtænker former for test mere
eksplicit.
Sigma for fjerde
Udgiver: Malling Beck, 1. udgave 1. oplag, 1996.
Forfattere: Henry Schultz, Benny Syberg og Ivan Christensen.
Beskrivelse
Sigma for fjerde har sit testmateriale placeret i lærerens bog som kopisider. Der er i alt
2 gange 8 test i materialet samt en test nr. 0, der samler op på 3. klasses stof.
Testene er to og to identiske i opbygning med samme sværhedsgrad og indhold,
men opgaverne er forskellige.
Testene er nummereret fra 0; 1.1, 1.2 til 8.1, 8.2. De består af mellem syv og 12
forskellige opgaver med tilhørende underopgaver. Testene er opbygget i temaer. Fra test
nummer 5 inddrages emner fra tidligere. Testene indgår derudover som en integreret
del af Sigma for fjerde.
I lærerens bog findes en facitliste til testene. Testene er to og to identiske i opbygning,
men forskellige i indhold. Den første test tages, efter at et emne er blevet bearbejdet.
Mens denne test rettes, og læreren taler med hver enkelt elev, arbejder eleverne
med blandede opgaver. Læreren aftaler derefter, om den enkelte elev skal arbejde på et
niveau 1 eller et niveau 2. Efter dette arbejde tages test 2, og resultaterne vurderes.
Formål
Formålet med testen er at afklare, i hvor høj grad at eleverne har tilegnet sig stoffet i et
givent kapitel.
74

Beskrivelse af de enkelte testsider
Side 53
Test 0.1 indeholder 12 opgaver med tilhørende underopgaver.
Her er ikke beskrevet noget overordnet tema. Men umiddelbart handler denne test om
de fire regningsarter og regningsarternes hierarki. Opgave 6 og 12 er geometriopgaver.
Side 55 og 57
Test 1.1, 1.2 indeholder syv opgaver med tilhørende underopgaver.
Temaet er brøker. Man skal finde brøkdele af … .
Side 55 og 61
Test 2.1, 2.2 indeholder 10 opgaver med tilhørende underopgaver.
Temaet er kommatal.
Opgave 1 og 2 skal eleverne måle på linejestykker.
Opgave 3, 4, 8, 9 og 10 er addition og subtraktion med kommatal.
Opgave 5 er omskrivning fra kroner og ører til kommatal.
Opgave 6 og 7 er afrunding.
Side 63 og 65
Test 3.1, 3.2 indeholder syv opgaver med tilhørende underopgaver.
Temaet er koordinatsystemet.
Opgave 1: Handler om aflæsning af punkter.
Opgave 2 og 4: Eleverne skal afsætte punkter i et koordinatsystem og tegne en linje
gennem punkterne.
Opgave 3: Elevernes skal tegne to linjer og finde linjernes skæringspunkt.
Opgave 5 og 6: Eleverne skal skubbe en figur i et koordinatsystem.
Opgave 7: Eleverne skal finde en fortsættelse af et forløb (multiple choice).
Side 83 og 86
Test 8.1, 8.2 indeholder otte opgaver med tilhørende underopgaver.
Temaet er koordinatsystemet. (Geometri 2)
Opgave 1: Eleverne skal tegne et kvadrat.
Opgave 2: Eleverne skal måle omkreds på et rektangel.
Opgave 3: Eleverne skal skelne mellem rektangler og kvadrater.
Opgave 4: Eleverne skal kunne benytte de matematiske symboler “vinkelret på” og
“parallel med”.
Opgave 5: Eleverne skal tegne trekanter i et koordinatsystem.
Opgave 6: Eleverne skal tegne et kvadrat i en cirkel.
75

Opgave 7: Eleverne skal måle omkreds på et parallelogram.
Opgave 8: Eleverne skal tegne og finde arealer af kvadrater.
Alle opgaverne i de forskellige test er identiske i opbygning og spørgsmålsformulering.
Her er udtaget test 2.2 på side 61 til en nærmere analyse.
Materialet
Side 61: Test nr. 2.1. Kommatal 1 lægger op til at kontrollere, om kommatal er blevet
indlært på en tilfredsstillende måde.
Test nr. 2.2 er identisk med 2.1 i sin opbygning.
Siden omhandler 10 opgaver med underopgaver.
Opgave 1: Eleverne skal måle linjestykker i cm og skrive facit med kommatal (fire underopgaver).
Opgave 2: Eleverne skal måle linjestykker og lave minusstykker (fire underopgaver).
Opgave 3: Addition med tier-overgang med kommatal (seks underopgaver).
Opgave 4: Subtraktion med at “låne” med kommatal (seks underopgaver).
Opgave 5: Omskrivninger fra kroner og ører til kommatal (fire underopgaver).
Opgave 6: Afrunding til hele tal (otte underopgaver).
Opgave 7: Afrunding til hele tal derefter addition og subtraktion (seks underopgaver).
Opgave 8 og 9: Regning med dobler og kommatal (ingen underopgaver).
Opgave 10: Addition og subtraktion med kommatal (seks underopgaver).
Opgavetypen
Lukket/åben
Opgaverne udprægede et-facit opgaver. Opgaverne er lukkede og åbner ikke umiddelbart
for, hvordan eleverne har tænkt, da de løste de givne opgaver. Der kan være tale
om rutineløsninger uden en grundlæggende forståelse.
Konkret/abstrakt
Opgaverne er formuleret i matematisk symbolsprog. Der lægges ikke op til, at eleverne
kan anvende konkrete materialer eller andre hjælpemidler, der kan understøtte deres
besvarelser. Opgaverne er hovedsagelig formuleret i et abstrakt matematisk sprog.
Opgaverne 5, 8 og 9 indeholder dog benævnelser (kroner og ører).
Kontekstbunden/kontekstfri
Opgaverne er med ovennævnte undtagelser kontekstfri, hvor det drejer sig om at mestre
manipulation med matematiske symboler. Der bliver ikke lagt vægt på, om eleverne kan
anvende de matematiske begreber, de bliver præsenteret for i testen, i dagligdags sammenhænge.
76

Algoritmeregning/problemløsning
Alle opgaverne er udprægede færdighedsopgaver, der ikke nødvendigvis kræver indsigt
for at løse opgaverne.
Begrebsprogressionen
Progressionen i opgaverne er styret af den progression, som ligger i bogsystemet.
Elevaktiviteter
Opgaverne på siderne er udformet meget traditionelt; der lægges umiddelbart op til,
at eleverne arbejder individuelt med siderne. Elevens arbejde rettes efter facitlisterne,
der er placeret i lærerens bog for fjerde klasse.
Procedure/forståelse
Umiddelbart se det ud til, at formålet med siden er, om eleven er i stand til at reproducere
bogens indhold. Der lægges op til, at eleverne benytter de regneprocedurer, der
bliver introduceret i materialet. Der er tale om enkle opgavekonstruktioner, der lægger
op til procedureregning. Det er ikke muligt umiddelbart – via opgaverne – at få et
indtryk af, hvilken indsigt eleverne har inden for de testede områder.
Begrebsdannelse
Da opgaverne udelukkende er udarbejdet i matematisk symbolsprog, er det ikke muligt
at danne sig et indtryk af, hvordan den enkelte elevs begreber er repræsenteret.
Simpel/kompleks begrebsanvendelse
Der lægges umiddelbart op til en simpel anvendelse af de matematiske begreber, der
sættes i spil i de enkelte opgaver.
Begreber i og/eller uden for matematikken
Eleverne skal ikke anvende andre materialer end testen, blyant, lineal og passer. Der
lægges ikke op til, at eleverne skal tænke i hverdagsmatematiske termer. Der relateres
ikke til elevernes hverdagserfaringer men kun til, hvordan det matematiske tema er
repræsenteret i elevmaterialet.
Anvendelse af regnetekniske hjælpemidler
Denne side lægger ikke op til, at der arbejdes med regnetekniske hjælpemidler.
Formål og perspektiv
Formålet med siden er angiveligt at kontrollere, om eleverne har indlært temaerne, der
behandles i de enkelte test.
77

Andre kommentarer
Testene er som sagt tematisk orienterede og indeholder emner/temaer, der er nye på
dette klassetrin – nye i dette matematiksystem. De lægger ikke op til en kvalificering
af undervisningen.
Der fokuseres ikke på elevens styrker, og der er ikke lagt op til, at elevernes løsninger
skal pege på handleanvisninger i forhold til den enkelte elevs læring. Der er tale om en
udpræget summativ test.
I lærervejledningen pointeres samtalen, men der gives ingen forslag eller hints til,
hvordan en sådan samtale kan struktureres. Evalueringen kommer på den måde til at
hvile på en teori, der ikke er kommenteret i materialet.
Sigma for ottende
Udgiver: Malling Beck, 1. udgave 1. oplag, 1998.
Forfattere: Henry Schultz og Ivan Christensen.
Beskrivelse
Sigma for ottende har ligesom Sigma for fjerde sit testmateriale placeret i lærerens bog
som kopisider. Der er en test kaldet 0, som er en opsamlingstest for materialet, der er
arbejdet med i 7. klasse. Derefter er der to gange syv test i materialet. Testene er to og
to identiske i opbygning men forskellige i indhold.
Den første test tages, efter at et emne er blevet bearbejdet. Mens denne test rettes,
og lærerens taler med hver enkelt elev, arbejder eleverne med blandede opgaver.
Læreren aftaler derefter om den enkelte elev skal arbejde på et niveau 1 eller et niveau
2. Efter dette arbejde tages test 2, og resultaterne vurderes.
Testene er nummereret fra 0; 1.1, 1.2 til 7.1, 7.2. Testene består af mellem fem og 14
forskellige opgaver med tilhørende underopgaver. Testene er opbygget i temaer. Testene
indgår som en integreret del af Sigma for ottende. I lærerens bog findes en facitliste til
testene. Der er ingen test til afsnit 2 og 6.
Formål
Formålet med testene er at give læreren et godt bud på, hvor godt klassen har tilegnet
sig stoffet i det givne afsnit.
Testene er ikke beregnet som grundlag for en karaktergivning, men skal give lærerne
indsigt i, hvor godt klassen har tilegnet sig stoffet.
78

Beskrivelse af de enkelte testsider
Side 58: Test 0
Denne test indeholder 14 opgaver med tilhørende underopgaver. Opgaverne er hentet
fra syvende klasses stofområde.
Side 61 og 62: Test 1.1, 1.2
Disse test indeholder hver syv opgaver med tilhørende underopgaver.
Temaet er tal og algebra.
Side 63 og 64: Test 2.1, 2.2
Hvor mange.
Disse test indeholder henholdsvis seks og fem opgaver med tilhørende underopgaver.
Alle opgaver handler om at finde linjers skæringspunkter.
Side 65 og 67: Test 4.1, 4.2
Disse test indeholder hver seks opgaver med tilhørende underopgaver.
Temaet er koordinatsystemer.
Side 69 og 70: Test 8.1, 8.2
Disse test indeholder hver fem opgaver med tilhørende underopgaver.
Temaet er penge. Det er dog kun opgaverne 5.1.4 og 3 og 5.2.3, der faktisk handler
om penge. De resterende opgaver handler om omregninger.
Alle opgaverne i de forskellige test er identiske i opbygning og spørgsmålsformulering.
Her er udtaget test 3.1 på side 63 til en nærmere analyse.
Materialet
Side 63: Test nr. 3.1. “Hvor mange” lægger op til at kontrollere, om linjers skæringspunkter
er blevet indlært på en tilfredsstillende måde. Siden omhandler fem opgaver
uden underopgaver.
Opgave 1: Eleverne skal tælle skæringspunkter på tre linjer, der krydser hinanden, og
skrive facit.
Opgave 2: Eleverne skal tælle skæringspunkter på fire linjer, der krydser hinanden, og
skrive facit.
Opgave 3: Eleverne skal tælle skæringspunkter på seks linjer, der krydser hinanden, og
skrive facit.
Opgave 4: Eleverne skal tælle skæringspunkter på ti linjer, der krydser hinanden, og
skrive facit.
79

Opgave 5: Eleverne skal tælle skæringspunkter på n linjer, der krydser hinanden, og
skrive facit.
Opgavetypen
Lukket/åben
Opgaverne udprægede et-facit opgaver.
Opgaverne er lukkede og åbner ikke umiddelbart for, hvordan eleverne har tænkt, da
de løste de givne opgaver. Der kan være tale om rutineløsninger uden en grundlæggende
forståelse.
Konkret/abstrakt
Opgaverne er alle udarbejdet i matematisk symbolsprog.
Kontekstbunden/kontekstfri
Opgaverne er kontekstfri og omhandler udelukkende symbolmanipulation. Der er ikke
tale om at evaluere, i hvilken grad eleverne er i stand til at anvende de matematiske
begreber, de præsenteres for i testen, i hverdagssammenhænge.
Algoritmeregning/problemløsning
Opgaverne minder meget om de opgaver, eleverne præsenteres for i færdighedsdelen
af folkeskolens afgangsprøver. Denne prøveform fordrer ikke nødvendigvis matematisk
indsigt for at løse opgaverne.
Begrebsprogressionen
Progressionen i opgaverne går fra konkret optælling til en algebraisk beskrivelse af samme
tema.
Elevaktiviteter
Opgaverne i de enkelte test er udformet traditionelt; der lægges umiddelbart op til, at
eleverne arbejder individuelt med testene. Elevens arbejde rettes efter facitlisterne, der
er placeret i lærerens bog for ottende klasse.
Procedure/forståelse
Umiddelbart se det ud til, at formålet med siden er, om eleven er i stand til at reproducere
det indlærte stof. Der lægges op til, at eleverne benytter de regneprocedurer, der bliver
introduceret i materialet. Der er tale om enkle opgavekonstruktioner, der lægger op til
procedureregning. Det er ikke muligt umiddelbart – via opgaverne – at få et indtryk af,
hvilken indsigt eleverne har inden for de testede områder.
80

Begrebsdannelse
Da opgaverne udelukkende er udarbejdet i matematisk symbolsprog, og der ikke lægges
op til, at eleverne begrunder deres svar, er det ikke muligt at danne sig et indtryk af,
hvordan den enkelte elevs begreber er repræsenteret.
Simpel/kompleks begrebsanvendelse
Der lægges umiddelbart op til en simpel anvendelse af de matematiske begreber, der
sættes i spil i de enkelte opgaver.
Begreber i og/eller uden for matematikken
Eleverne skal ikke anvende andre materialer end testen, blyant og lineal. Der lægges
ikke op til, at eleverne skal tænke i hverdagsmatematiske termer. Der relateres ikke til
elevernes hverdagserfaringer men kun til, hvordan det matematiske tema er repræsenteret
i elevmaterialet.
Anvendelse af regnetekniske hjælpemidler
Denne side lægger ikke op til, at der arbejdes med regnetekniske hjælpemidler.
Formål og perspektiv
Formålet med siden er angiveligt at kontrollere, om eleverne har indlært de temaer,
der behandles i de enkelte test. Testen lægger ikke op til en kvalificering af undervisningen;
det er snarere en afsøgning af fejl og mangler hos den enkelte elev. Der fokuseres
ikke på elevens styrker, og der er ikke lagt op til, at elevernes løsninger skal pege
på handleanvisninger i forhold til den enkelte elevs læring. Der er tale om en udpræget
summativ test.
Andre kommentarer
Testene er som sagt tematiske orienterede og indeholder emner/temaer, der er nye på
dette klassetrin – nye i dette matematiksystem.
Matematik-tak for første klasse
Udgiver: Alinea, 1. udgave 1. oplag, 1994.
Forfattere: Jonna Høegh, Else Merete Benedict-Møller og Bo Bramming.
Beskrivelse
“Prøv at” er prøver, der er udarbejdet til Matematik-tak systemet.
81

Til bog 1 er der udarbejdet tre prøver; til bog 2 er der udarbejdet fire prøver.
“Prøv at”-prøverne er placeret i lærervejledningen.
Formål
Formålet med prøverne er at teste, hvad eleverne har indlært af det foregående kapitels
stof. Prøverne er blandt andet tænkt som evaluering af undervisningen.
Det understreges, at læreren kun får glæde af evalueringen, hvis den følges op af en
samtale med eleverne om løsningen af de givne opgaver.
Alle opgaverne på de forskellige “prøv at”-sider er identiske i opbygning og spørgsmålsformulering.
Her er udtaget “Prøv at” nr. 5 til en nærmere analyse.
Materialet
“Prøv at” nr. 5 lægger op til at kontrollere, om det gennemgåede stof er blevet indlært
på en tilfredsstillende måde.
Prøven omhandler otte opgaver med underopgaver.
Opgave 1: Eleverne skal arbejde med at placere to tal på en tallinje.
Opgave 2: Eleverne skal arbejde med at placere tal i en taltavle.
Opgave 3: Eleverne skal indsætte de tal, der mangler i to talrækker.
Opgave 4: Eleverne skal indsætte cifre i et tocifret tal.
Opgave 5: Eleverne skal farve tocifrede tal i et 10·10 rudenet.
Opgave 6: Eleverne skal tegne visere på urskiver.
Opgave 7: Addition og subtraktion uden tierovergang.
Opgave 8: Additions- og subtraktionsmatricer.
Opgaverne relaterer sig til det behandlede stof.
Opgavetypen
Lukket/åben
Opgaverne er udprægede et-facit opgaver. Opgaverne er lukkede. Opgaverne lægger
ikke op til, at eleverne skal vise, hvordan de har løst opgaverne, og hvilke overvejelser de
har gjort sig i den forbindelse. Der kan være tale om rutineløsninger uden en grundlæggende
forståelse.
Konkret/abstrakt
Der er hovedsagelig tale om opgaveformuleringer, der er udarbejdet i et matematisk symbolsprog.
Elevernes hverdagserfaringer inddrages ikke i opgaveformuleringerne. Opgaverne
er meget abstrakte i deres formuleringer.
82

Kontekstbunden/kontekstfri
Opgaverne omhandler udelukkende symbolmanipulation. Der er ikke lagt vægt på,
om eleverne kan anvende matematik i en kontekst. Det evalueres ikke, om eleverne
kan benytte de matematiske begreber, de bliver præsenteret for i testen, i hverdagssammenhænge.
Algoritmeregning/problemløsning
Alle opgaverne er udprægede færdighedsopgaver, der ikke nødvendigvis kræver indsigt
for at løse opgaverne.
Begrebsprogressionen
Progressionen i opgavesættene er styret af den progression, som ligger i bogsystemet.
Elevaktiviteter
Opgaverne på “Prøv at”-siderne er udformet meget traditionelt. Der lægges umiddelbart
op til, at eleverne arbejder individuelt med siderne.
Procedure/forståelse
Umiddelbart ser det ud til, at formålet med siden er, om eleven er i stand til at reproducere
bogens indhold. Der lægges op til, at eleverne benytter de regneprocedurer, der
bliver introduceret i materialet. Der er tale om enkle opgavekonstruktioner, der lægger
op til procedureregning. Det er ikke muligt umiddelbart – via opgaverne – at få et indtryk
af, hvilken indsigt eleverne har inden for de testede områder.
Der lægges fra forfatternes side op til en samtale med hver enkelt elev om, hvilke
forståelser der ligger til grund for deres svar.
Begrebsdannelse
Da opgaverne udelukkende er udarbejdet i matematisk symbolsprog, er det ikke muligt
at danne sig et indtryk af, hvordan den enkelte elevs begreber er repræsenteret – med
mindre en samtale afdækker dette.
Simpel/kompleks begrebsanvendelse
Der lægges umiddelbart op til en simpel anvendelse af de matematiske begreber, der
sættes i spil i de enkelte opgaver.
Begreber i og/eller uden for matematikken
Eleverne skal ikke anvende andre materialer end testen og en blyant. Konkretiseringen
er indarbejdet i prøverne. Der lægges ikke op til, at eleverne skal tænke i hverdagsma-
83

tematiske termer. Der arbejdes godt nok med vægt og tid, men der relateres ikke til
elevernes hverdagserfaringer.
Anvendelse af regnetekniske hjælpemidler
Denne side lægger ikke op til, at der arbejdes med regnetekniske hjælpemidler.
Formål og perspektiv
“Prøv at”-prøven afprøver de faglige færdigheder, der er arbejdet med i det foregående
tema, med opgaver, der ligger tæt op ad elevbøgernes. Der bliver fra forfatternes side
lagt op til en samtale med eleverne om deres løsninger.
Der er ikke lagt op til, at elevernes løsninger skal pege på handleanvisninger i forhold
til den enkelte elevs læring. Der er tale om en udpræget summativ test.
Andre kommentarer
Elevernes forståelse af det gennemgåede stof kommer til at stå svagt i denne test, med
mindre samtalen med den enkelte elev afslører dette.
I lærervejledningen pointeres samtalen, men der gives ingen forslag eller hints til,
hvordan en sådan samtale kan struktureres. Evalueringen kommer på den måde til at
hvile på en teori, der ikke er kommenteret i materialet.
Matematik-tak for fjerde klasse
Udgiver: Alinea, 1. udgave 1. oplag, 1996.
Forfattere: Jonna Høegh, Else Merete Benedict-Møller, Carsten Andersen og Esben
Esbensen.
Beskrivelse
Matematik-tak for fjerde klasse indeholder syv temaer. Hvert tema afsluttes med en “Husker
du”-side. “Husker du”-siderne består af mellem otte og 12 forskellige opgaver med tilhørende
underopgaver. Siderne indgår ikke som en integreret del i de temaer, de afslutter.
I vejledningen for fjerde klasse findes en facitliste til disse sider.
Formål
Det er ikke muligt umiddelbart ud fra vejledningen til fjerde klasse at få en afklaring
af forfatternes hensigter med disse sider, da vejledningen ikke indeholder sådanne
overvejelser.
Der er ikke i vejledningen beskrevet noget om anvendelsen af disse sider.
84

Beskrivelse af de enkelte “Husker du”-sider
Side 22:
Denne side indeholder 12 opgaver med tilhørende underopgaver:
• Addition: Der er fire underopgaver til opgaven.
• Subtraktion: Der er fire underopgaver til opgaven.
• Multiplikation: Der er fire underopgaver til opgaven.
• Division: Der er fire underopgaver til opgaven.
• Relationer: Der er fire underopgaver til opgaven.
• Afrunding: Der er fire underopgaver til opgaven.
• Omskrivninger: Der er fire underopgaver til opgaven.
• Tid: Der er fire underopgaver til opgaven.
• Geometri: Opgaver der indeholder begreberne areal, omkreds, cirkel, diameter,
parallelitet.
Side 42:
Denne side indeholder otte opgaver med tilhørende underopgaver:
• Koordinatsystemet: Aflæsning af tre koordinatsæt i et koordinatsystem.
• Geometri: Tegning af vinkler (tre underopgaver).
• Tegning: Tegning af geometriske figurer (tre underopgaver).
• Afrunding: Afrunding generelt og i forbindelse med penge (tre underopgaver).
• Afrunding og addition: Afrunding og addition i forbindelse med penge.
• Brøker: Brøker (tre underopgaver).
• Addition og subtraktion: To underopgaver af hver slags i opgaven.
• Multiplikation og division: To underopgaver af hver slags i opgaven.
Side 64:
Denne side indeholder otte opgaver med tilhørende underopgaver:
• Addition og subtraktion: Addition og subtraktion med fire- og femcifrede tal (fire
underopgaver).
• Division: Division med ti og med rest (fire underopgaver).
• Multiplikation.
• Geometri: Beregning af et rektangels areal og sidelængde (tre underopgaver).
• Geometri: Parallelforskydning.
• Afrunding: Afrunding generelt og i forbindelse med penge (tre underopgaver).
• Afrunding: Afrunding og addition i forbindelse med penge.
• Addition og subtraktion: Addition og subtraktion af decimaltal med benævnelsen cm.
85

Side 76:
Koordinatsystemet: Aflæsning af fire koordinatsæt i et koordinatsystem:
• Omskrivning: Omskrivninger fra km til m og omvendt (fire underopgaver).
• Positive og negative tal: Begrebet forskel illustreret ved hjælp af temperatur (tre
underopgaver).
• Brøker: Brøker med støtte af centicubes (tre underopgaver).
• Brøker: Brøker med støtte af benævnelsen kr. (tre underopgaver).
• Brøker: Brøker med støtte af en tallinje (tre underopgaver).
• Geometri: Drejning, spejling og parallelforskydning (tre underopgaver).
• Tre regningsarter: Addition, subtraktion og multiplikation (en underopgave af hver
type).
Side 88:
Tal: Titalssystemet (to underopgaver):
• Geometri: Radius og diameter i en cirkel (to underopgaver).
• Multiplikation og division: Multiplikation og division (to opgaver med fire underopgaver
til hver hovedopgave).
• Multiplikation og division: Multiplikation og division (fire underopgaver til hver
hovedopgave).
• Geometri: Perspektivtegning.
• Relationer: Relationer mellem brøker (fire underopgaver).
Side 106:
• Multiplikation: Multiplikation (fire underopgaver).
• Måling: Tid (tre underopgaver).
• Subtraktion og addition: Subtraktion og addition med decimaltal og benævnelsen kr.
(fire underopgaver).
• Subtraktion og addition: Subtraktion og addition med hele tal (fire underopgaver).
• Måling: Rumfang.
• Subtraktion og addition: Addition og subtraktion i et skema.
• Funktioner: Multiplikation med “x”. Regnearternes hierarki (addition og multiplikation).
• Tal: Talrækker (tre underopgaver).
Side 119:
• Brøk og procent: Procent og brøk (fire underopgaver).
• Potens: Potenser (fire underopgaver).
• Tal: Talfølger (to underopgaver).
86

• Subtraktion og addition: Subtraktion og addition med decimaltal (der er to opgaver
med fire underopgaver til hver hovedopgave).
• Geometri: Tegninger (to underopgaver).
• Multiplikation: Multiplikation (fire underopgaver).
• Division: Division (fire underopgaver).
Alle opgaverne på de forskellige “Husker du”-sider er identiske i opbygning og spørgsmålsformulering.
Her er udtaget “Husker du”-side 22 til en nærmere analyse. Denne
side afslutter afsnittet, der hedder Fjordby Fritidsklub.
Materialet
“Husker du”-side 22 lægger op til at kontrollere, om det gennemgåede stof er blevet
indlært på en tilfredsstillende måde.
Siden omhandler 12 opgaver med underopgaver:
Opgave 1-4: De fire regningsarter (fire underopgaver til hver hovedopgave).
Opgave 5: Relationer (fire underopgaver).
Opgave 6: Afrunding (fire underopgaver).
Opgave 7: Omskrivninger (fire underopgaver).
Opgave 8: Tid (fire underopgaver).
Opgave 9-12: Geometri (ingen underopgaver).
Nogle opgaver relaterer sig umiddelbart til dele af det behandlede stof. I bogen er der
et afsnit om en bagedag s. 6 og 7. Her kunne for eksempel begreber, der er anvendt i
afsnittet, være reflekteret i opgave 7b og d, der omhandler vægt, men ved en nærmere
analyse ses det, at s. 6 og 7 ikke handler om omskrivninger af vægt – der evalueres på
“Husker du-siden” – men om at kunne følge en bageopskrift og afledede opgaver heraf.
Tid, som opgave 8 for eksempel refererer til, behandles ikke i afsnittet Fjordby
Fritidsklub 4 , ligesom der ikke arbejdes specifikt med geometri (opgave 9-12).
Afsnittet om terningen (s.19-21) evalueres ikke.
Omskrivninger er et centralt tema i afsnittet, hovedsagelig repræsenteret som ren
symbolmanipulation.
Opgavetypen
Lukket/åben
Opgaverne 1 til 8 er udprægede et-facit opgaver.
4) Forskel er et tema i afsnittet om Fjordby Fritidsklub side 18.
87

Opgaverne er lukkede og åbner ikke umiddelbart for, hvordan eleverne har tænkt, da de
løste de givne opgaver. Der kan være tale om rutineløsninger uden en grundlæggende
forståelse. Umiddelbart ser det ud til, at den bagvedliggende tænkning kan udtrykkes på
følgende måde “hvis resultatet er rigtigt, har eleven tænkt kloge tanker”, men hvad disse
tanker omhandler, kommer ikke til udtryk i materialet.
I opgave 9 ser det ud til, at eleverne selv skal tegne en figur og måle på figuren, hvilket
åbner for elevernes egen forståelse og giver mulighed for, at eleverne kan tegne
flere forskellige figurer.
Opgave 10 er lukket. Det er klart, at eleverne skal tegne en cirkel for at kunne måle
diameteren. Samme opgavekonstruktion gør sig gældende for opgave 11 og 12.
Konkret/abstrakt
Opgaverne er alle udarbejdet i matematisk symbolsprog, der gives ikke mulighed for,
at eleverne kan benytte konkrete materialer eller andre hjælpemidler, der kan understøtte
deres besvarelser. Opgaverne er udpræget abstrakt formulerede.
Kontekstbunden/kontekstfri
Opgaverne er kontekstfri og omhandler udelukkende symbolmanipulation. Der bliver
ikke lagt vægt på, om eleverne kan benytte de matematiske begreber, de bliver præsenteret
for i testen, i dagligdags sammenhænge. For eksempel er det i opgave 7 ikke umiddelbart
muligt at afgøre, om eleverne ved noget om kg, g, cm og m; ligeledes behøver
eleverne ikke at have nogen tidsfornemmelse for at løse opgave 8.
Algoritmeregning/problemløsning
Alle opgaverne er udprægede færdighedsopgaver, der ikke nødvendigvis kræver indsigt
for at løse dem.
Begrebsprogressionen
Progressionen i opgaverne er styret af den progression, som ligger i bogsystemet.
Elevaktiviteter
Opgaverne på “Husker du”-siderne er udformet meget traditionelt; der lægges umiddelbart
op til, at eleverne arbejder individuelt med siderne. Elevens arbejde rettes efter
facitlisterne, der er placeret i lærervejledningen for fjerde klasse.
Procedure/forståelse
Umiddelbart ser det ud til, at formålet med siden er at finde ud af, om eleven er i stand
til at reproducere bogens indhold. Der lægges op til, at eleverne benytter de regneproce-
88

durer, der bliver introduceret i materialet. Der er tale om enkle opgavekonstruktioner,
der lægger op til procedureregning. Det er ikke muligt umiddelbart – via opgaverne – at
få et indtryk af, hvilken indsigt eleverne har inden for de testede områder.
Begrebsdannelse
Da opgaverne udelukkende er udarbejdet i matematisk symbolsprog, er det ikke muligt
at danne sig et indtryk af, hvordan den enkelte elevs begreber er repræsenteret.
Simpel/kompleks begrebsanvendelse
Der lægges umiddelbart op til en simpel anvendelse af de matematiske begreber, der
sættes i spil i de enkelte opgaver.
Begreber i og/eller uden for matematikken
Eleverne skal ikke anvende andre materialer end testen, blyant, lineal og passer. Der
lægges ikke op til, at eleverne skal tænke i hverdagsmatematiske termer. Der arbejdes
godt nok med vægt og tid, men der relateres ikke til elevernes hverdagserfaringer.
Anvendelse af regnetekniske hjælpemidler
Denne side lægger ikke op til, at der arbejdes med Regnemaskiner eller IT.
Formål og perspektiv
Formålet med siden er angiveligt at kontrollere, om eleverne har indlært stoffet. Siden
lægger ikke op til en kvalificering af undervisning. Der er snarere tale om en afsøgning
af fejl og mangler hos den enkelte elev. Der fokuseres ikke på elevens styrker, og der er
ikke lagt op til, at elevernes løsninger skal pege på handleanvisninger i forhold til den
enkelte elevs læring. Der er tale om en udpræget summativ test.
Andre kommentarer
Umiddelbart ser det ud til at være tilfældigt, hvad der inddrages på “Husker du”siderne.
Dog ser det ud til, at de mere færdighedsprægede elementer i afsnittet konsekvent
inddrages.
Elevernes forståelse af det gennemgåede stof kommer til at stå svagt i denne test. Det
er ligeledes uklart, ud fra hvilke begrundelser testen er sammensat.
Umiddelbart virker det svært at benytte “Husker du”-siderne i en løbende evaluering,
der som formål har at kvalificere læring og undervisning.
89

Matematik-tak for ottende klasse
Udgiver: Alinea, 1. udgave 1. oplag, 1997.
Forfattere: John Frentz, Jonna Høegh og Mikael Skånstrøm.
Beskrivelse
Lærervejledningen indeholder ikke generelle overvejelser over evaluering.
Matematik-tak for ottende klasse indeholder ni temaer. Hvert tema afsluttes med et
“Tik-tak-tjek”-opgavesæt – temaet op mod jul har ikke en evalueringsside. “Tik-tak-tjek”siderne
er temasider, der består af en overordnet problemstilling med tilhørende underopgaver.
“Tik-tak-tjek”-siderne indgår som en integreret del af de temaer, de afslutter. Der
er facitliste til opgavesættene bag i bogen.
I lærervejledningen findes en række færdighedsopgavesæt.
Formål
Det er ikke muligt umiddelbart ud fra vejledningen til ottende klasse at få en afklaring
af forfatternes hensigter med disse sider, da vejledningen ikke indeholder sådanne overvejelser.
Der er ikke i vejledningen beskrevet noget om anvendelsen af disse sider.
Sammenfattende beskrivelse af materialet
“Tik-tak-tjek”- opgavesættene er traditionelle problemløsningsopgaver. Det er et-facitopgaver.
Alle færdighedstræningsopgaverne – kaldet “Færdigheder” – er traditionelle færdighedsopgaver,
der til forveksling minder om 9. klasses færdighedsprøve. Det drejer sig
om traditionelle et-facitopgaver formuleret i et matematisk symbolsprog.
Opgavetypen
Lukket/åben
Både “tik-tak-tjek”-opgaverne og “Færdigheder” i lærervejledningen er udpræget lukkede
opgaver, hvor et-facit paradigmet hersker.
Opgaverne giver ikke indikationer om, hvordan eleverne har tænkt, da de løste de
givne opgaver. Der kan være tale om rutineløsninger uden en grundlæggende forståelse.
Konkret/abstrakt
Opgaverne er alle udarbejdet i matematisk symbolsprog.
Kontekstbunden/kontekstfri
Opgaverne i “Færdigheder” er kontekstfri og omhandler udelukkende symbolmanipulation.
“Tik-tak-tjek”-opgaverne er traditionelle problemløsningsopgaver.
90

Algoritmeregning/problemløsning
Alle opgaverne er udprægede færdighedsopgaver, der ikke nødvendigvis kræver indsigt
for at løse dem.
“Tik-tak-tjek”-opgaverne er en kontrol af, om eleverne er i stand til at reproducere
forudgående afsnit.
Begrebsprogressionen
Progressionen i opgaverne er styret af den progression, som ligger i bogsystemet.
Elevaktiviteter
Opgaverne er udformet traditionelt; der lægges umiddelbart op til, at eleverne arbejder
individuelt med siderne. Elevens arbejde rettes efter facitlisterne i henholdsvis lærervejledningen
og lærebogen.
Procedure/forståelse
Umiddelbart se det ud til, at formålet med siden er at finde ud af, om eleven er i stand
til at reproducere bogens indhold. Der lægges op til, at eleverne benytter de regneprocedurer,
der bliver introduceret i materialet. Der er tale om enkle opgavekonstruktioner,
der lægger op til procedureregning. Det er ikke muligt umiddelbart – via opgaverne – at
få et indtryk af, hvilken indsigt eleverne har inden for de testede områder.
Begrebsdannelse
Det er ikke muligt umiddelbart at danne sig et indtryk af elevernes kundskaber og
kompetencer.
Simpel/kompleks begrebsanvendelse
Der lægges umiddelbart op til en enkel anvendelse af de matematiske begreber, der
sættes i spil i de enkelte opgaver.
Begreber i og/eller uden for matematikken
I “Tik-tak-tjek” lægges der op til, at eleverne skal tænke i hverdagsmatematiske termer.
I “Færdigheder” er der tale om ren symbolmanipulation.
Anvendelse af regnetekniske hjælpemidler
I “Tik-tak-tjek” kan lommeregner anvendes. I “Færdigheder” giver det ikke mening at
anvende regnetekniske hjælpemidler.
Formål og perspektiv
Formålet med disse opgavesæt er ikke præciseret i lærervejledningen.
91

Andre kommentarer
Ved en umiddelbar betragtning ligner evaluerings/testmaterialet træning til den afsluttende
prøve i 9. klasse.
Færdighedssættene relaterer sig til de enkelte afsnit i lærebogen, i og med at de har
samme overskrifter, men umiddelbart fremtræder denne sammenhæng ikke, når man
sammenligner bestemte afsnit i lærebogen med de tilhørende færdighedssæt.
Elevernes forståelse af det gennemgåede stof kommer til at stå svagt i disse opgavesæt.
Det er ligeledes uklart, ud fra hvilke begrundelser opgavesættene er sammensat.
Umiddelbart virker det svært at benytte disse opgavesæt i en løbende evaluering,
der som formål har at kvalificere læring og undervisning – hvilket heller ikke kommer
til udtryk i lærervejledningen.
Evaluering som eksplicit begreb er ikke et tema, der er taget op på dette klassetrin.
Sammenfatning af hele kapitel 3
Generelt gælder for de i denne rapport beskrevne prøver, at deres anvendelse er begrænset
til at indhente informationer om faktuel viden og færdigheder, der er knyttet til procedureregning.
I RM-prøverne, færdighedsdelen af FA-prøven og den individuelle prøve i
materialet fra Græsted-Gilleleje kommune er dette meget fremtrædende. Det er klart, at
disse prøver kan anvendes til at vurdere elevernes kendskab til simple matematiske
begreber og elevens regnefærdigheder, som er en del af de krav, der stilles i CKF’en, men
problemet er, at disse krav kun udgør en del af de krav, der stilles for at kunne opfylde
målsætningen for matematikundervisningen. De “basis-færdigheder”, som disse prøver
omhandler, er et grundlag for den læring, der skal ske hos den enkelte elev i form af
matematisk viden og kunnen. Men denne viden og kunnen skal komme til udtryk i de
matematiske kompetencer, der indgår i de mere omfattende og generelle kompetencer,
som er en del af folkeskolens formål. Det vil sige, at hvis disse prøver anvendes alene ved
vurderingen af matematisk viden og kunnen hos den enkelte elev, vil grundlaget være
meget mangelfuldt som led i en evaluering af eleven, uanset om denne er tænkt formativt
eller summativt. Med gruppeprøven i Græsted-Gilleleje materialet og prøverne i “Matematikevaluering
i 1.-3. klasse” er der lagt op til anvendelse af prøver, der kan give informationer
om den enkelte elevs udvikling som led i en løbende evaluering. Dels giver
disse større mulighed for at vurdere den enkelte elevs egen måde at beskrive/udtrykke sin
matematiske viden og kunnen på, dels er der til disse prøver knyttet lærer-elevsamtaler og
observationer, som begge er vigtige elementer i vurderinger og evalueringer i matematikundervisningen.
Selv med disse eksempler på positive tiltag i udviklingen af vurderingsredskaber til
92

ug i en løbende evaluering er der med baggrund i ovennævnte og de tiltag, der er sket i
andre lande på dette område, som beskrevet i kapitel 2, behov for at få udviklet en række
nye redskaber, der gør det muligt at få et meget bredere grundlag for at udvikle undervisningen
og læringen hos den enkelte elev i overensstemmelse med det overordnede mål for
folkeskolen og de specifikke mål for faget matematik.
I det udvalg af matematiksystemer, der er blevet analyseret i denne rapport, tegner der
sig ikke noget entydigt billede af, hvordan disse bogmaterialer medtænker den løbende
evaluering.
Kvaliteten af de fagdidaktiske overvejelser, de forskellige lærebogsforfattere har lagt
til grund for evaluering i de forskellige lærervejledninger til lærebøgerne, er meget
svingende.
Det har vist sig gennem analysen, at der inden for de enkelte lærebogssystemer ikke er
nogen konsekvent holdning til, hvordan den løbende evaluering kan inddrages i det daglige
arbejde. Det er derfor ikke muligt at sige noget principielt om, hvordan de enkelte
lærebogssystemer forholder sig til evaluering. Umiddelbart virker det, som om det har
været op til de enkelte forfatterteam, der har skrevet bøgerne til de enkelte klassetrin, at
indtænke evaluering, hvorfor kvaliteten inden for de enkelte systemer ligeledes er meget
svingende.
Faktors lærebøger har i 1. og 4. klasse som de eneste grundige overvejelser over,
hvordan den løbende evaluering kan foregå. Her er der både teoretiske overvejelser
over den løbende evaluerings rolle i undervisningen samt konkrete forslag til, hvordan
evalueringen kan foregå.
I andre lærebøger henvises der til anvendelsen af logbogs- eller porteføljeagtige materialer,
hvor eleverne skal skrive om, hvad de nu har lært, men hvordan disse skriverier skal
gribes an, er ikke tydeligt beskrevet i lærevejledningerne, hvorfor lærerne, der anvender
disse systemer, ikke finder megen støtte til at udvikle den løbende evaluering som metode
i undervisningen
Der tegner sig et billede af, at en del af de bøger, hvor evaluering er medtænkt under
en eller anden form på 4. og 8. klassetrin, lægger sig tæt op af folkeskolens afgangsprøve
i matematik. Denne måde at evaluere på kan have den sikkert utilsigtede konsekvens, at
disse evalueringsmaterialer kommer til at virke som træning til de forskellige afgangsprøver
frem for at blive et led i den løbende evaluering.
Generelt viser analysen af både prøverne og lærebogsmaterialerne, at der er et stort
behov for at få udviklet vurderings- og evalueringsmaterialer, der giver læreren, eleven,
forældrene og uddannelsespolitikerne større mulighed for at få informationer om de
mange mål, der er med matematikundervisningen. Selv om der som nævnt er nogle
93

prøver og lærebogssystemer, hvis indhold kan anvendes til at indhente informationer
om elevernes forståelse og indsigt i på udvalgte områder, der kan anvendes på forskellige
klassetrin, så er der generelt ikke mange muligheder for dette i de materialer, der
er analyseret i denne rapport. Hvis læreren skal have mulighed for reelt at gennemføre
en løbende evaluering af undervisningen og den enkelte elevs læring, hvor resultatet
kan udtrykkes i kompetencer, skal der udarbejdes en række forskellige typer af evalueringsmaterialer
med detaljeret beskrivelser af, hvad materialet kan anvendes til at vurdere,
hvordan materialet kan anvendes, hvilke mulige fortolkning og tiltag forskellige
elevbesvarelser kan give grundlag for, samt hvordan elevbesvarelserne kan indgå i en
mere generel evaluering af elevens læring. Endvidere er der i det analyserede materiale
meget få tiltag til at indhente informationer om den enkelte elevs arbejde med, opfattelse
af og holdning til matematik. Materiale, der mere systematisk kan informere om
disse “bløde” resultater, vil være af stor for betydning, da informationer om disse alene
vil kunne have værdi i en konkret undervisningssituation, men også i generel kortlægning
af udviklingen af disse for at se, hvilken betydning disse “bløde” resultater har
for den enkelte elevs udvikling i uddannelsessystemet efter folkeskolen. Et konkret
forslag til tiltag i den her skitserede retning er beskrevet i kapitel 4.
94

Kapitel 4
Model til brug for en løbende evaluering i matematikundervisningen
Indledning
Nærværende kapitel indeholder en beskrivelse af forskellige vurderings- og evalueringstyper
og -redskaber. Beskrivelsen af disse relateres til en model for en løbende evaluering
af matematikundervisningen. Den bygger på en tænkning, hvor eleven og læreren
samarbejder på grundlag af en løbende intern evaluering, der tager udgangspunkt i en
selvevaluering, som både eleven og læreren skal gennemføre. Den røde tråd i modellen
for en løbende evaluering er “porteføljemappen”, i hvilken det er tanken, at både eleven
og læreren samler eksempler på deres arbejde. Eleven samler sine matematikprodukter
af forskellig art i en portefølje, som hun eller han selv eller sammen med læreren finder
det værdifuldt at bevare for at kunne følge sin egen udvikling og dermed selv være
med til at vurdere sin læring af matematik. Tilsvarende vil det være en hjælp for læreren,
hvis han eller hun systematiserer sine erfaringer med undervisningen og gemmer
sine “gode undervisningsforløb” i en portefølje. Denne Portefølje kan anvendes i det
daglige arbejde, hvor vurderinger og evalueringer bør være integreret i undervisningen.
Denne formative evaluering, der anvendes løbende, har som mål den enkelte elevs udvikling
af viden og kunnen som beskrevet i CKF’en og læseplanen. Den formative
evaluering får betydning for den summative evaluering, der sker af den enkelte elev og
undervisningen generelt ved afslutningen af et større undervisningsprojekt og ved folkeskolens
afgangsprøver. Derfor indeholder modellen en hensyntagen til både de agerende
parters og systemets behov for at få evalueret udbyttet af undervisningen. Den
formative evaluering bør gennemføres ved anvendelse af et bredt spektrum af vurderingsredskaber,
da det ikke er muligt at dække de mange aspekter ved læring og undervisning
knyttet til et fagligt område ved hjælp af en enkel type af vurderingsredskab.
Eksempler på forskellige vurderingsredskaber vil blive omtalt nedenfor. Til en introduktion
til og forståelse af modellens indhold skal begreberne formativ- og summativ
evaluering samt begreberne kompetence og portefølje beskrives, som de er anvendt i
denne sammenhæng.
95

Figur 2
Figuren illustrerer relationen mellem summativ og formativ evaluering i forhold til et
givent mål.
Formativ og summativ evaluering
Som udgangspunkt for evaluering af undervisningen i skolen kan man tale om to former
for evaluering. Michael Scriven (1967) definerer disse positioner – i forbindelse med
curriculumevaluering – som henholdsvis formativ evaluering og summativ evaluering.
De to positioner kan beskrives på en kontinuerlig skala, hvor produkt og proces står
som modpoler i et kontinuum, og hvor fokus skifter fra produkt til proces og vice versa
relateret til en målsætning, som det er illustreret i figuren. Nogle evalueringsformer er
mere produktorienterede, som for eksempel traditionelle færdighedsprøver, andre orienterer
sig mod processen og den enkelte elevs forståelse af en given opgave som for eksempel
den mundtlige prøve i matematik i folkeskolen
Den formative evaluering belyser relationer mellem proces, produkt og mål med
fokus på processen. Den foregår i forbindelse med læreprocessen og har til formål at
belyse og påpege mulige forandringer i denne proces.
Evalueringsformens hovedsigte er her at give information, der skal kunne lede til
en forståelse af, hvordan den enkelte elev tænker, når hun eller han tænker matematik,
og danne grundlag for forandring og tilpasning af undervisningen i relation til den
enkelte elev. Udvikling er det fremherskende fokuspunkt for den formative evalueringsform.
Den summative evaluering belyser relationer mellem produkt, proces og mål med
96
Summativ
MÅL
Formativ

fokus på produktet. Den skal vurdere, hvordan den enkeltes resultat er i forhold til de
opstillede mål. Denne form for evaluering har til formål at indhente information om
den enkelte elevs udbytte af et afsluttet undervisningsforløb og er ofte tæt knyttet til
karaktergivning. Kontrol er det fremherskende element for den summative evalueringsform.
Vurdering og evaluering af kompetencer
Kompetencebegrebets indtog i folkeskolen kan betragtes som en markering af et pædagogisk
opbrud. Per Schultz Jørgensen skriver:
“Når dette pædagogiske kursskifte er nødvendigt, hænger det sammen med det kulturelle
opbrud, vi befinder os i. Det er i dag ikke nok at kunne udfolde sig på en viden fra i
går, det er nødvendigt at kunne inddrage den nyeste viden og være med til at skabe en
ny – personlig – erkendelse. Dette må – da evaluering ifølge § 13.2 i loven om folkeskolen
er en integreret del af undervisningen – få betydning for, hvad der fokuseres på,
når der skal evalueres i grundskolen.” (Jørgensen, 2000, p. 4).
I forbindelse med løbende evaluering betyder det, at fokus flyttes fra at indhente informationer
om elevernes viden og kunnen inden for isolerede matematiske områder, som
de ofte opstilles i pensumlister for eksempel: tal, de fire regningsarter, brøker, ligninger
m.m., til at indhente informationer om elevernes indsigt i matematiske sammenhænge
relateret til mere komplekse matematiske kompetencer, som de for eksempel beskrives
af Niss (1999).
Niss skriver i sin artikel, at et af problemerne ved at benytte ordet kompetence er, at
det bliver benyttet i mange forskellige sammenhænge og med meget forskellige betydninger.
Bente Jensen gør lignende bemærkninger til kompetencebegrebet:
“Indkredsningen af begrebet kompetence har vist, at begrebsudvikling er undervejs inden
for forskellige traditioner. Gennem indkredsningen er det imidlertid også vist at, at forskellige
traditioner har tendens til at udvikle “hver deres” begrebsliggørelse af kompetence.”
(Jensen, 1999, p.32).
Dette gør kompetencebegrebet svært håndterligt, hvilket dog ikke hindrer, at det med
fordel kan anvendes i beskrivelsen af den viden og kunnen, der er matematikundervisningens
mål.
Kompetencebegrebet i tilknytning til den model, der omtales efterfølgende, er inspi-
97

eret af Niss’ og Schultz Jørgensens forståelser af begrebet.
Niss anvender begrebet i forbindelse med uddannelsesbeskrivelse relateret til matematik.
Niss (1999) beskriver i sin artikel, hvilke matematiske kompetencer eleverne
bør tilegne sig i hele deres uddannelsesforløb. Han fokuserer på den viden og kunnen,
der skal til for at begå sig med succes og gennemslagskraft på et bestemt felt.
Jørgensen (2000) introducerer kompetencer i bredden, som han kalder for henholdsvis:
• Faglige kompetencer
• Forandringskompetencer
• Sociale kompetencer
Med faglig kompetence henviser han til den grundlæggende færdighed, der skal præsteres
som en faglig kunnen, som en praktisk kunnen, en viden, som det at kunne skabe
og bearbejde, omfortolke og forholde sig til viden.
Med forandringskompetence forstås det at kunne forandre sig, både mentalt og fysisk,
for at være på omgangshøjde med nye udfordringer.
De sociale kompetencer bygger på evnen til at indgå i og håndtere sociale situationer.
Dette aspekt drejer sig om personlig involvering i forhold til de mennesker, man spiller
sammen med.
Disse tre kompetencer i bredden har hver især fremtrædelsesformer i dybden.
Jørgensen taler her om kompetencernes
• synlige plan, der omfatter færdigheder, der umiddelbart kan vurderes. Det kan ved
den blotte iagttagelse afdækkes, om dette lag af kompetencen er til stede hos eleven;
• mere usynlige plan. Der er tale om en personlig kundskab – evnen til at kunne fortolke
og vurdere data og situationer;
• mindre plan. Det er den subjektive mening, der forbindes med de konkrete handlinger
og beslutninger, der foretages i forskellige situationer. Det handler om selvværd
og tillid til at kunne lykkes, når en elev arbejder med forskellige problemstillinger.
Jørgensen pointerer, at
98
“En kompetenceudviklende undervisning skal turde satse på alle lagene i kompetencerne:
Færdigheder, kundskaber og selvværd. Ikke som adskilte mål, men som indbygget i den
pædagogiske proces. Dermed lægges der vægt på en personlig stillingtagen og på kundskab
som en refleksion...” (Jørgensen, 2000, p. 5).

Jensen skriver fø1gende om kompetence:
“Der er i kompetencebegrebet, som vi anvender det i dagligdags tale både tale om “kunnen”
og om en vurderingsdimension – at kunne noget i forhold til krav og kriterier.”
(Jensen, 1999, p. 32).
Der er altså ikke blot tale om en kunnen i forhold til bestemte krav og kriterier, men
også om, at det er muligt at forholde sig til/vurdere denne kunnen. Det handler med
andre ord om, at læreren sammen med den enkelte elev skal vurdere, hvilke krav der
er realistiske at stille for at opnå et bestemt mål, og hvilke kriterier der skal opfyldes,
for at kravene skal kunne siges at være opfyldt.
Denne dimension kommer ligeledes til udtryk hos Niss, der skriver, at kompetence
handler om “at være i stand til på grundlag af indsigt i”. Begrebet indsigt beskrives i
Psykologisk-pædagogisk ordbog (Hansen, 1987) som værende en “psykisk proces hvorved
sammenhængen i en situation pludselig kan gå op for en, fx ved problemløsning”, ... videre
beskrives indsigtsfuld læring som “meningsfuld indlæring; læring der viser forståelse af
sammenhænge.”
Umiddelbart giver ovennævnte beskrivelser af kompetencebegrebet ikke mulighed for
en direkte tilknytning til kompetence i relation til et matematisk emne på et givent
trin i skoleforløbet.
Er det for eksempel en kompetence at kunne sætte tal ind i en given formel som
for eksempel arealformlen for en cirkel i bestemte opgaverelaterede kontekster uden
forståelse for grundlaget for formlen? Denne type af viden og kunnen spørges der til
ved problemløsningsdelen ved folkeskolens afsluttende prøve.
Et andet eksempel er perspektivtegning i folkeskolen. Det teoretiske grundlag for
dette område bliver ikke direkte arbejdet med i folkeskolen. Kan man så overhovedet
tilegne sig en kompetence inden for dette område på folkeskoleniveau? Hvis man
mener, det er en kompetence at kunne tegne linjer for at finde et forsvindingspunkt,
hvad er det så for en kompetence, og hvilken indsigt ligger der bag?
Disse uafklarede forhold vedrørende indsigt og kompetence kan dog skyldes, at fokus
rettes mod forskellige sider af et kompetencebegreb. Niss (1999) sætter fokus på kompetence
som uddannelsesbeskrivelse. Her i herværende rapport benyttes begrebet i forbindelse
med evaluering, hvor der sættes fokus på de underliggende kognitive repræsentationer,
der udtrykkes i en given kompetence. Her tænkes specielt på de kognitive processer,
der ligger til grund for, at en elev er nået frem til et resultat på en given problemstilling.
Kan man forestille sig, at de regler, som elever tilegner sig uden indsigt, men som
de kan anvende i bestemte situationer, er, hvad man kunne kalde konventions- og
99

procedurekompetencer til forskel fra de kompetencer, eleverne tilegner sig med indsigt?
Der er behov for at diskutere, om viden og kunnen repræsenteret som konventioner
og færdigheder uden indsigt kan beskrives som kompetencer? Det er helt evident, at
både viden om matematiske konventioner: At der for eksempel går 100 centimeter på
en meter, og færdigheder: At for eksempel arealet på en trekant er ( 1 /2 · h · g), er en
forudsætning for at kunne handle kompetent i forskellige situationer.
Når indholdet af kompetencer skal beskrives, er det vigtigt at være opmærksom på,
hvad Niss (1999) skriver i sin artikel, at kompetencer er nært forbundet til de grundlæggende
hensigter, mål og formål med undervisningen, hvorfor kompetencerne i matematik
må relateres til CKF’en og læseplanerne for matematikfaget i folkeskolen.
Det får betydning for, hvordan indholdet i de almene kompetencer bestemmes og
prioriteres i forhold til værdisyn i folkeskolen. For eksempel er bevisets stilling i ræsonnementskompetencen
ikke tillagt samme værdi for undervisningen i matematik i folkeskolen
og i gymnasieskolen.
I det følgende vil Niss’ kompetencekategorier blive anvendt ordret, men de uddybende
pinde i hans beskrivelse er ændret eller udeladt i et forsøg på at relatere kompetencerne
til folkeskolens værdisyn. Tilsvarende er indholdet i almenkompetencerne her opfattet
som værende dynamiske og domænespecifikke, da de er relateret til de givne samfundsmæssigt
definerede værdier.
I denne tekst indgår kun de af Niss definerede kompetencer, der betegnes som
værende af første orden.
At have kompetencer af første orden betyder, at eleverne er i stand til på grundlag af
indsigt at:
Udøve matematisk tankegang (“tankegangskompetence”), herunder
• stille spørgsmål, som er karakteristiske i matematik, og have blik for, hvilke typer af
svar som kan forventes,
• skelne, både passivt og aktivt, mellem forskellige slags matematiske udsagn, såsom
definitioner, sætninger, fænomenologiske påstande relateret til eksempler, og forstå
art og status af betingede (“hvis-så”) udsagn,
• kende, forstå og håndtere givne matematiske begrebers rækkevidde og deres forankring
i diverse domæner.
Ræsonnere matematisk (“ræsonnementskompetence”), herunder
• følge og tage stilling til et matematisk ræsonnement på skrift eller fremført af andre,
100

• forstå, hvad et matematisk bevis er, og afgøre, hvornår et matematisk ræsonnement
er eller ikke er et bevis,
• afdække de bærende ideer i et matematisk bevis,
• kunne udtænke og gennemføre bevisideer.
Bygge og analysere matematiske modeller inden for andre felter (“modelleringskompetence”),
herunder
• analysere grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende modeller og bedømme
deres holdbarhed og rækkevidde,
• “afmatematisere” træk ved matematiske modeller, dvs. afkode og fortolke modelelementer
og resultater i forhold til det felt eller den situation, der er modelleret,
• strukturere et felt eller en situation, der skal modelleres,
• gennemføre en matematisering af feltet/situationen, resulterende i en matematisk
model,
• behandle denne model, herunder løse de matematiske problemer, den giver anledning
til,
• validere den færdige model, både internt (“inde i” modellen) og eksternt (i forhold
til den “virkelighed”, modellen omhandler),
• reflektere over, analysere og kritisere modellen, både i sig selv og i forhold til mulige
alternative modeller,
• kommunikere om modellen og dens resultater,
• have overblik over og styre den samlede modelleringsproces.
Formulere og løse matematiske problemer (“problembehandlingskompetence”), herunder
• detektere, formulere, præcisere og afgrænse matematikholdige problemer, “rene”
såvel som “anvendte”, “åbne” såvel som “lukkede”,
• løse færdigtformulerede matematiske problemer, igen “åbne” såvel som “lukkede”,
egnes såvel som andres
Håndtere forskellige repræsentationer af matematiske anliggender (“repræsentationskompetence”),
herunder
• forstå forskellige slags repræsentationer af matematiske objekter, fænomener eller
situationer og de indbyrdes forbindelser mellem disse repræsentationer, samt de forskellige
repræsentationsformers styrker og svagheder,
• vælge blandt og skifte mellem forskellige repræsentationsformer, alt efter situation
og formål.
101

Håndtere matematiske symboler og formalismer (“symbol- og formalismekompetence”),
herunder
• forstå symbol- og formelsprog og disses relationer til naturligt sprog,
• forstå karakteren af og spillereglerne for formelle matematiske systemer (formalismer
og teorier),
• behandle og betjene sig af symbolholdige udsagn og udtryk,
• oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt
sprog.
Kommunikere i, med og om matematik (“kommunikationskompetence”), herunder
• udtrykke sig på forskellige måder og på forskellige niveauer af teoretisk eller teknisk
præcision om matematikholdige anliggender, skriftligt og mundtligt, over for forskellige
kategorier af modtagere,
• forstå andres matematikholdige skriftlige eller mundtlige udsagn.
Betjene sig af og forholde sig til informationsteknologiske hjælpemidler i matematikken
(“IT-kompetence”), herunder
• have kendskab til diverse former for IT-assistance for matematisk virksomhed, og
til disse formers karakteristika og rækkevidde,
• betjene sig af sådanne hjælpemidler,
• have indblik i sådanne hjælpemidlers begrænsninger.
(Niss, 1999).
Inden præsentationen af modellen, der er tænkt som grundlag for vurderinger og evalueringer
i matematikundervisningen, skal porteføljebegrebet omtales, da det indtager
en central stilling i modellen.
Portefølje og evaluering
I bemærkningerne til Folkeskoleloven fra 1993 står der i afsnittet om undervisningens
organisering og tilrettelæggelse:
“Lærer og elev samarbejder løbende om at fastlægge de mål, der søges opfyldt, og elevens
arbejde tilrettelægges under hensyntagen til disse mål.” (Ny Folkeskolelov, 1993).
Heraf fremgår det, at grundlaget for undervisningen er samtalen mellem læreren og eleven
om målet for arbejdet i faget. Eleven skal altså have en forståelse af, hvorfor hun eller han
skal arbejde med delmål, der er rettet mod de overordnede mål for faget. Efter at eleven
og læreren er kommet til enighed om, hvordan der skal arbejdes for nå et bestemt mål,
102

skal der gives tid til refleksion over processen, der skal føre frem til målet, og over hvilke
kriterier der skal opfyldes, for at målet kan siges at være nået.
“Eleverna behöver tid för reflektion för att de ska bli medvetna om sin del i lärandeprocessen.
De ska kunna besvara frågan: hur vet du att du kan?... Här kommer den tredje
viktiga faktorn in i portefoliearbetet, nämligen utvärderingen. Elever måste få den
insikt som behövs för att kunna bedöma kvaliteter och kunskaper i det dokumenterade
arbetet.” (Karlberg, Nämnaren 3, 2000).
Portefølje kan altså ses både som et grundlag for elevens selvrefleksion over sin egen
læringsproces og som et udgangspunkt for vurdering og evaluering af elevens arbejde
ud fra de krav og kriterier, som eleven har været med til at beskrive. En definition på
portefølje, der understreger dette, er:
“En portefølje er elevens eget udvalg af repræsentative arbejder, samlet gennem en
periode og med henblik på vurdering.” (Abildgaard og Mogensen, 1999, p. 9).
Portefølje-evaluering kan tjene flere formål blandt andre:
• Læring og evaluering integreres på en naturlig måde.
• Den enkelte elevs udvikling og udviklingsmuligheder synliggøres.
• Eleverne får systematisk træning i egenvurdering, og de får mulighed for at reflektere
over deres egen fremgang og udvikling over en periode.
• Eleverne får mulighed for at formulere egne mål, lægge realistiske arbejdsplaner.
• Der lægges op til, at eleverne bliver mere medansvarlige for deres eget læringsarbejde.
Med henblik på evaluering ved hjælp af en portefølje indsamler eleverne forskellige
arbejder, de har præsteret gennem en periode i en mappe, som vurderes af eleven selv og
af andre. Hver elev har sin egen mappe, og de arbejder, der indgår i mappen, kan være
opgaver eller aktiviteter, eleven har arbejdet med – alene eller sammen med andre. Det
kan for eksempel være: regnefortællinger, egenproducerede opgaver, større eller mindre
emne- eller projektarbejder, logbøger m.v.
Opgaverne, der anvendes ved vurderinger i matematikevaluering, kan naturligt
indgå i en sådan mappe og dermed yde et vægtigt bidrag til denne måde at evaluere
på.
Porteføljeevaluering kan som tidligere nævnt beskrives på følgende måde: “En portefølje
er elevens eget udvalg af repræsentative arbejder, samlet gennem en periode og med
henblik på vurdering.” (Abildgaard og Mogensen, 1999). Det kan selvfølgelig diskute-
103

es, hvad der menes med repræsentativ, men et fornuftigt bud kunne være, at porteføljen
skal indeholde arbejder, der dækker lærerens årsplan for faget.
En portefølje skal således afspejle CKF’en og den vejledende eller den kommunale
læseplan i matematik for at kunne kaldes repræsentativ. Det er med andre ord ikke
ligegyldigt, hvad der er repræsenteret i en portefølje. Det er derfor vigtigt, at man i
klassen har diskuteret, hvad hensigten er med porteføljen, hvilke rammer, der skal
være for indholdet, før eleverne begynder at indsamle materiale til deres portefølje.
Læreren og eleverne skal ligeledes aftale, hvilke kriterier der skal ligge til grund for
evalueringen.
Som grundlag for at samle materiale til porteføljen kan det være hensigtsmæssigt,
at eleverne starter med at lave en arbejdsmappe; her kan eleverne for eksempel samle:
• Opgaver og hæfter, de har arbejdet med.
• Opgaver, de selv har fabrikeret, og deres løsningsforslag.
• Gruppearbejder og projekter, de har arbejdet med.
• Praktiske opgaver, forskellige aktiviteter eller opgaver, de har været sat til at udføre.
• Individuelle opgaver.
• Hjemmeopgaver.
• Materialer og data, de har samlet ind og bearbejdet.
• Evalueringsopgaver.
• Refleksionssider.
• Logbøger.
• Andet.
Arbejdsmappen giver mulighed for at synliggøre elevens faglige og personlige udvikling,
så læreren løbende kan tilrette undervisningen hertil. Porteføljen er et godt udgangspunkt
for både elev- og forældresamtaler.
På nærmere aftalte tidspunkter gennemgår eleven sin arbejdsmappe og udvælger de
arbejder, der skal være med i porteføljen. Rammerne for denne udvælgelse kan være
meget stramme, eller de kan være meget løse.
Der kan for eksempel være et krav om, at der skal medfølge en begrundelse, der
fortæller, hvorfor et materiale er taget med i porteføljen.
Der kan – med udgangspunkt i lærerens årsplan – være udarbejdet en liste over
matematiske emner og temaer, der skal være indeholdt i porteføljen.
For at skabe et overblik og en systematik kan det ligeledes være en fordel at have
en indholdsfortegnelse over indholdet i porteføljen. En sådan indholdsfortegnelse bør
ikke være statisk. Det skal være muligt at tage arbejder ud af porteføljen og erstatte
dem med andre. Det materiale, der tages ud af porteføljen, kan eventuelt lægges tilbage
i arbejdsmappen.
104

Det er op til den enkelte lærer at udarbejde kriterier for porteføljen. Det er vigtigste
er, at udvælgelseskriterierne er offentlige og aftalt på forhånd.
Porteføljen danner naturligt rammen omkring lærer/elevsamtaler og skole/hjemsamtaler.
En samtale kan for eksempel starte med, at eleven fortæller om de arbejder, han
eller hun har udvalgt, hvilket så kan føre til uddybende spørgsmål og svar. Dermed skubbes
fokus ved lærer/elev- og skole/hjemsamtaler mod det egentlige – nemlig elevens
udvikling og læring. Porteføljeevaluering giver dermed mulighed for at understøtte dialog
og sproglighed som en del af undervisningen.
Porteføljen åbner ligeledes for, at eleven udtrykker sine stærke sider – der kan danne
udgangspunktet for arbejdet med de svage – ligeledes fremmer den refleksive skriftlighed
(tegnet som skrevet) elevens selvvurdering og selvindsigt.
Model som grundlag for vurderinger og evalueringer i matematikundervisningen
I sammenhæng med ovenstående afsnit kan følgende problem ses, som Niss så det allerede
i 1994 i artiklen “Behov for nye metoder i bedømmelse og undervisning af matematik”.
Problemet er, at evalueringen af elevernes udbytte af undervisningen og deres
præstationer ved matematikprøver er upålidelig og utilstrækkelig. Der blev i artiklen
peget på, at der både var et indre og et ydre problem ved de traditionelle vurderingsformer.
Det indre problem drejede sig især om validiteten af skriftlige besvarelser ved prøver.
Der blev peget på de virkninger, en ændret opgaveformulering kunne have på, om
eleven besvarede opgaven eller ikke samt den tilsvarende betydning af opgavernes rækkefølge
i et prøvesæt, tiden, der var afsat til besvarelsen, og opgavernes niveaukonsistens.
Det vil sige, at der er et problem med at konstruere opgaver inden for et bestemt matematisk
emne, der kan informere om et bestemt begreb, der både opfylder validitets og
reliabilitets kriterier.
Det ydre problem vedrører den udvikling, faget har undergået siden 60erne med
hensyn til indholdet og organiseringen af undervisningen. Indholdet er ikke mere alene
beskrevet i en faglig terminologi inden for områderne tal og algebra, geometri og statistik-sandsynlighedsregning,
men ved forskellige aspekter. Eksempler på disse aspekter er
matematik som beskrivelsesmiddel i hverdagen, sammenhængen mellem hverdagssprog
og matematisk sprog, det matematiske modelbegreb, matematikkens historie, matematikken
som redskab ved forudsigelser og matematik som et handleberedskab. Disse
eksempler fra CKF’en er eksempler, som de traditionelle vurderingsredskaber ikke eller
kun i ringe omfang har givet mulighed for at vurdere elevens læring af. Endvidere har
det ændrede læringssyn i den socialkonstruktivistiske retning medført, at nye arbejdsmetoder
skal indgå i undervisningen. Informationsteknologien inklusive lommeregner
105

og pc har givet faget en ny dimension, som må få konsekvenser for tilrettelæggelsen af
undervisningen samtidig med, at der inddrages eksperimenterende arbejdsmetoder, der
både udfordrer den enkelte og giver mulighed for den enkelte til at udvikle sin læring i
samarbejde med andre gennem gruppearbejde og fælles projektarbejde. De skriftlige
prøver og de traditionelle mundtlige prøver giver begrænset mulighed for at vurdere
disse aspekter ved undervisningen og deres betydning for den enkelte elevs læring.
Den i det følgende beskrevne model er et forøg på at løse nogle af de problemer, der
er angivet ovenfor. Grundlaget for modellen er et syn på vurdering og evaluering som en
integreret del af undervisningen, altså et redskab der både fremmer og orienterer udviklingen
af læringen af matematiske begreber og de sammenhænge, de indgår i hos den
enkelte elev. Vurderingerne og evalueringerne skal foregå bredt, hvad angår både indhold
og arbejdsmetoder.
Dertil kommer et syn på nødvendigheden af, at både eleven og læreren bevidst og
systematisk foretager en løbende selvevaluering som grundlag for den fælles evaluering,
så forholdet mellem selv- og fællesevaluering bliver dialektisk.
Nedenstående model kan med inddragelse af et bredere spektrum af vurderings- og
evalueringsredskaber være et bud på en løsning af nogle af de ovennævnte problemer.
En række af de vurderings- og evalueringsredskaber, der kan indgå i dette spektrum
er beskrevet efter modellen.
Model for en løbende evaluering
Løbende evaluering
Elev- Situationer og elevprodukter, der Lærerportefølje
kan være grundlag for vurderinger portefølje
Figur 3
Kompetencer
Ovenstående model for en løbende evaluering bygger på anvendelse af porteføljer til
udvikling af undervisning og læring hos den enkelte elev.
Med udgangspunkt i problemstillinger, der er stillet i en undervisnings- eller prøvesituation,
udvælger både lærer og elev arbejder, der kan indgå i hver deres portefølje.
Formålet med udvælgelsen af disse arbejder er grundlaget for vurderinger og evaluerin-
106

ger, der kan føre til handlinger, der kan fremme udviklingen af den enkelte elevs kompetencer,
hvilket er det overordnede mål for undervisningen.
Elevportefølje
Porteføljebegrebet og dets anvendelse er beskrevet tidligere. Det centrale er elevens egen
evaluering, der som udgangspunkt har de arbejder, der indgår i porteføljen, og som eleven
selv har valgt ud. Forløbet strækker sig principielt set gennem hele elevens uddannelsesforløb.
Porteføljen bør være repræsentativ for det arbejde, eleven har lavet, og de
indsigter, eleven har tilegnet sig, samt de kompetencer, eleven nu mestrer eller er på vej til.
Lærerportefølje
Lærerens egen evaluering bygger på en systematisk indsamling af “gode undervisningssituationer”,
der kan indgå i en portefølje. Indholdet kan være situationer både fra den
almindelige undervisning og fra evalueringssituationer, der har ført til handlinger, der
fremmer læringen hos den enkelte elev. Herved kan porteføljen blive et funktionelt
redskab, som kan indgå i lærerens generelle overvejelser over undervisningens form og
indhold på grundlag af fagets formål og mål. Elevernes porteføljer og samtalerne omkring
produktion af disse bør indgå i lærerens portefølje på en sådan måde, at de “bløde”
resultater af undervisningen i form af elevernes evne til at indgå i sociale samspil og
deres indstilling til at gå ind i nye og ukendte sammenhænge samt optegnelser over
deres holdning til faget og undervisningen.
Situationer og elevprodukter, der kan danne grundlag for en vurdering
I princippet kan enhver situation i undervisningen gøres til genstand for evaluering.
Ud over de i denne rapport nævnte evalueringsmetoder, som er beskrevet nedenfor, er
det vigtigt, at elevens arbejde i den almindelige undervisning også gøres til genstand
for en vurdering ud fra krav og kriterier, som eleven er bevidst om.
Kompetencer
Elev- og lærerporteføljerne skal gøre det muligt at evaluere de faglige kompetencer,
der er målet med undervisningen. For eksempel ud fra de tidligere refererede beskrivelser
af disse hos Niss (1998) og bredde- og dybdekompetencerne hos Jørgensen
(2000).
En helhedsvurdering rummer altså både elevens perspektiv og lærerens perspektiv.
Evalueringen skal være repræsentativ for det arbejde, der er foregået i klassen. Det
kan selvfølgelig diskuteres, hvad der menes med repræsentativ, men et fornuftigt bud
kunne være, at evalueringen skal indeholde opgaver og materialer, der dækker lærerens
107

årsplan for faget. Den samlede evaluering skal således afspejle CKF’en og den vejledende
eller den kommunale læseplan i matematik på et givent klassetrin for at kunne
kaldes repræsentativ.
De kompetencer, der kommer til udtryk i elevens portefølje og andre af de evalueringsredskaber,
der anvendes i den løbende evaluering, bør være udtryk for kompetencer,
der kan relateres til begrebet handlekompetence, som det defineres af Schnack (Schnack,
1998).
Det er centralt for både for elev og lærer at få indsigt i elevernes handlekompetence.
Schnack definerer begrebet handlekompetence som et dannelsesideal:
“Det er således hverken en undervisningsmetode eller et mål, der kan nås. Derfor er det
også vanskeligt at måle udviklingen af handlekompetence ... Handlekompetence er politisk,
demokratisk dannelse.” (Schnack, 1998, p. 15).
Schnack definerer i artiklen det at være politisk og demokratisk på følgende måde. At
være et politisk menneske vil sige at være én, som tænker selv, men ikke bare for sig selv.
At være demokratisk vil sige at være deltager. I et demokrati er medlemmerne ikke tilskuere
men deltagere.
Handlekompetence som begreb er dermed en værdisætning og et perspektiv på den
gode (ud)dannelse i en given tid, hvilket får betydning for, hvordan undervisningen i
matematik bestemmes og prioriteres.
Evalueringsmetoder
Der er tidligere argumenteret for, at det ikke er muligt at evaluere kompetence ud fra
en enkelt metode.
Lærerne skal kunne mestre en række metoder, for at en evaluering kan blive dækkende.
Her tænkes blandt andet på, at evaluering kan bestå af:
• Klassesamtaler.
• Gruppesamtaler.
• Individuelle samtaler.
• Logbog.
• Procesorienteret skrivning i matematik.
• Diagnostiske prøver.
• Dynamiske test.
• Video.
108

I forbindelse med en introduktion af forskellige evalueringsmetoder er det vigtigt, at
lærerne får indsigt i teorier og teknikker, der kan danne grundlaget for funktionelle og
succesfulde evalueringer.
Samtaler
I forbindelse med for eksempel faglige samtaler er det vigtigt, at læreren er sig bevidst
om, hvilke spørgsmål der bringer elevernes forståelser af et givent emne på banen.
Herunder kommer en række forslag til spørgsmål, læreren kan benytte i forbindelse
med arbejdet. Spørgsmålene sætter fokus på, at det er eleverne, der skal sætte ord på
deres tanker og sprogliggøre deres kompetencer:
For at hjælpe eleverne til at udtrykke deres tanker:
• Prøv at forklare, hvorfor du tror det?
• Hvordan er du kommet til det resultat?
• Hvordan kan man vide det?
• Overbevis resten af os om, at det stemmer?
• Er der andre, der har samme svar, men en anden forklaring?
• Hvilke ligheder og forskelle er der på jeres forklaringer?
For at hjælpe eleverne til matematiske ræsonnementer:
• Stemmer det altid?
• Er det sandt i alle sammenhænge?
• Hvordan vil du vise det?
• Hvad ved du?
• Hvilke antagelser vil du gøre?
• Kan man vise det ved hjælp af en model?
For at hjælpe eleverne til at danne hypoteser, formulere og løse problemer:
• Hvad tror du er problemet?
• Mangler du noget for at kunne løse problemet?
• Er der oplysninger, der er overflødige?
• Har du et forslag?
• Tør du gætte?
• Er det muligt at stille spørgsmålet på en anden måde?
• Kan du finde et mønster?
• Hvad nu hvis ¬?
• Er det muligt at ændre på problemet for at få andre løsninger?
109

For at hjælpe eleverne til at søge sammenhænge:
• Kan du komme i tanke om noget fra tidligere, vi kan tage i anvendelse?
• Kan du finde nogle sammenhænge?
• Har du før arbejdet med lignende problemer?
Spørgsmål og ordvalg skal indrettes efter aldersgruppen. Ovenstående spørgsmål kan
vel derfor bedst karakteriseres som prototypiske spørgsmål, der nødvendigvis må tilpasses
i forhold til eleverne og den undervisning, der er foregået.
Logbøger
En logbog er en journal, der kan bruges i matematikundervisningen som i andre fag.
En logbog er i denne forståelse ikke synonym med en dagbog. Logbogen er en samling
af elevgenererede ord og tegninger, der giver læreren mulighed for systematisk og konsistent
at afsøge elevernes tankeprocesser og begrebsforståelse.
Logbogen kobler sprog og matematikforståelse. Da det mundtlige og det skrevne
sprog spiller en væsentlig rolle i udviklingen af matematisk tænkning, er det vigtigt, at
eleverne bruger det skrevne såvel som det mundtlige sprog.
Skriveprocessen og kommunikationen giver eleverne mulighed for at internalisere
deres matematiske forståelse.
Når eleverne lærer at benytte forskellige læringsstrategier, giver det flere muligheder
for at møde deres forskellige behov.
Logbogen kan benyttes på alle klassetrin og kan fungere som et alternativ til traditionelle
papir- og blyantopgaver. Forskellige tilgange, der inkluderer ord og tegninger,
der kan deles med andre, giver en række muligheder for at iværksætte målrettede støtteforanstaltninger.
Eleverne kan bruge logbogen i begyndelsen af en periode, hvor de for eksempel kan
skrive alt, hvad de ved om den problemstilling, der skal arbejdes med, og hvilke redskaber
og metoder de kan benytte ved addition. At benytte logbogen før periodestarten
giver læreren mulighed for at få indsigt i elevens begrebsdannelse og metodebrug, samtidig
med at eleven mentalt indstilles på, hvad der skal arbejdes med.
Gennem hele periodeforløbet kan logbogen benyttes til at fastholde elevens tænkning
og problemløsningsmetoder.
Det er ligeledes muligt at bruge logbogen ved afslutningen af en periode til evaluering
af forløbet. Hvilke forståelser har eleven nu? Skal der iværksættes nye støtteforanstaltninger,
eller er eleven nu i stand til at følge undervisningen i klassen?
Logbogen kommer på denne måde til at indeholde værdifulde data, der kan bruges
til at målrette undervisningen.
Det er vigtigt at være opmærksom på, at logbogen i matematik sætter fokus på ele-
110

vernes begrebsforståelse og på deres evne til at kommunikere matematiske ideer – ikke
på stavning og grammatik. Eleverne på de yngste klassetrin kan opmuntres til at tegne
og bruge selvopfundne stavemetoder til deres forklaringer.
Faglig skrivning i matematik
Faghæftet for dansk i 1984 skrev følgende om procesorienteret skrivning:
“Skriveprocessen kan være en hjælp til at tænke og samle sig, en erkendelsesform. Ved at
skrive hjælper man sig til at udtrykke, følelser, ideer, ønsker, krav. Opdagelsen af, at
noget sådant kan udvikles og præciseres gennem processen, er en styrkelse af selvtilliden.
Når man skriver, hvad man tænker, finder man ud af, hvad man mener.”
Dette danner grundlaget for faglig skrivning i matematik. Der er flere årsager til, at
denne arbejdsform kan have interesse i denne sammenhæng.
Denne type skrivning, som lader eleverne sætte ord på matematiske tanker og ideer,
kan åbne elevernes øjne for matematikkens egenart.
En opprioritering af den sproglige side af faget vil gavne de elever, som lærer mest
ved en verbalisering af undervisningsstoffet.
Jo oftere man skriver, jo bedre bliver man til at udtrykke sig skriftligt såvel som
mundtligt.
At udtrykke sig i skrift og tale er et vigtigt led i menneskers erkendelsesproces.
Denne form for skrivning kan fungere som dokumentation for elevernes læring.
Diagnostiske prøver
Udgangspunktet for diagnostiske prøver er, at de tilhørende opgaver ikke kan besvares
korrekt ud fra en forkert opfattelse af et givent matematisk begreb. For at opnå dette
er det en forudsætning, at lærer såvel som elev er bevidste om, at opgaverne er konstrueret
med det formål at klarlægge elevens tænkning omkring et givent matematisk
begreb. Det afgørende for dannelsen af denne bevidsthed er dialogen mellem læreren
og eleven.
Diagnostiske prøver kan anvendes både som gruppeprøve og individuel prøve som
oplæg til en lærer-elevsamtale.
Dynamiske test
Formålet med dynamisk testning er, at læreren danner sig et billede af, hvilke kompetencer
eleven besidder eller – vigtigere – er på vej til at besidde.
Der er en række forhold, man skal være opmærksom på i forbindelse med arbejdet
med kortlægningsmaterialet:
111

• Opgaverne i dynamiske test er ikke konstruerede for at give en entydig rigtig/forkert
score, men ud fra princippet om at vurdere læringspotentialet ud fra mængden
af den givne støtte.
• Hvis elevens svar ser ud til at være i orden, noteres dette i en resultatkolonne.
• Hvis eleven laver fejl eller ikke lykkes i sit forsøg på at løse problemet, prøver man
at få en samtale i gang.
• Læreren behøver ikke at læse opgaverne direkte op, men kan vælge at formulere sig
i et sprog, der ligger i tråd med elevens sprogbrug.
Dynamisk testning i matematik er beskrevet i Lunde, 1998. Der er flere udgivelser
undervejs i Danmark om dette emne.
Video som redskab ved vurdering og evaluering
Video-optagelser af elevernes arbejde, både når de arbejder individuelt med læreren som
observatør og samtalepartner, når de arbejder sammen i grupper, og når læreren underviser
direkte, kan være et godt redskab i en evaluering. Ved at optage situationer, der giver
eleven anledning til at udtrykke sig på forskellig vis om forskellige matematiske emner og
i forskellige organisatoriske sammenhænge, opnås et vurderingsgrundlag med mulighed
for at indhente informationer, som ingen andre redskaber kan. En video-optagelse som
grundlag for en samtale både lærer-elev og elev-elev er et godt grundlag for elevens refleksion
af egen måde at udtrykke sig på ved hjælp af matematiske begreber og andre matematiske
argumentationer. Specielt er oplevelsen af at se sig selv som aktør med andre med
til forstærke selvvurderingen og dermed også tilliden til egen formåen, da ytringer og
handlinger kan gentages og diskuteres på ny. Hvad gjorde jeg godt, og hvad var mindre
godt? Hvorfor deltog jeg mere i arbejdet, da jeg var i gruppen med Ida og Lis, end da jeg
var sammen med Søs og Per? ... Sådanne spørgsmål kan være udgangspunkt for mange
samtaler på klassen og med den enkelte elev om undervisning og læring. Et eksempel på
anvendelse af video til vurdering af undervisningen er en TIMSS-videoundersøgelse, hvor
undervisningen i USA, Japan og Tyskland blev sammenlignet på grundlag af en række
optagelser i de tre lande og en meget detaljeret analyse af disse (Hiebert & Stigler, 2000).
Den i dette kapitel beskrevne model for en løbende evaluering bør opfattes som bud
på et udgangspunkt, der kan være et skridt på vejen til at gøre evaluering af undervisning
og læring til et funktionelt redskab for den enkelte lærer. Gennem en systematisk
evaluering på grundlag af porteføljeideen er der med denne model skabt mulighed for
at sætte fokus på kompetencebegrebet ved at give undervisningsdifferentiering og den
løbende evaluering et reelt indhold i undervisningen.
112

Kapitel 5
Vurderinger og evalueringer i relation til matematik
som et almendannende fag
I denne publikation har fokus været på vurderinger og evalueringer som et redskab til
udvikle undervisning og læring i matematikklassen set gennem et samarbejde mellem
de agerende parter, det vil sige lærer og elever, der begge skal udvikle sig i samarbejdet
om det fælles mål: Elevens læring af matematik. Dette mål kan ses som et delmål i det
overordnede formål med arbejdet i folkeskolen, nemlig at støtte den personlige udvikling
hos den enkelte elev i et samarbejde, der bygger på åndsfrihed, ligeværd og demokrati.
Således bliver eleven forberedt på at kunne tage stilling og handle ved at lære at
udøve sin ret til medbestemmelse og sin pligt til medansvar i et samfund med frihed
og folkestyre, som der står i folkeskolelovens formålsparagraf.
Det kan derfor være af relevans at gøre opmærksom på overvejelser, der bør gøres i
forbindelse med den generelle betydning af vurdering og evaluering, og i denne sammenhæng
mere specifikt med betydningen af disse for matematik i forbindelse med delmålet
læring af matematik, såvel som udviklingen af eleven til et “kompetent” menneske.
Matematiske beregninger, modeller og overvejelser indgår som en naturlig del af
mange politiske beslutninger, og for at undgå at disse beslutninger bliver truffet af et
fåtal af eksperter, er det vigtigt, at matematik har en central rolle i almendannelsen af
den brede befolkning. Med henvisning til dette skriver Gunhild Nissen:
“Det er i dette perspektiv, at matematikundervisning i de højteknologiske kulturer bliver
demokratisk vigtig: Matematik har ikke bare en central rolle i naturvidenskabelige,
tekniske og økonomiske forhold, men også i administrative systemer og i de modeller,
der danner basis for politiske beslutninger på en lang række områder. Det er vigtigt, at
menigmand kan forholde sig til disse anvendelser af matematik. Ellers kan han ikke
udøve sin kontrollerende funktion i det politiske system. Verden over er der problemer
med at få den matematikforståelse, som moderne samfund kræver, udviklet hos børn og
unge.” (Nissen, 1999. p. 58)
Med dette citat peges der på et problem, som stadig kan siges at være aktuelt. Nemlig
en generel opfattelse af matematik som noget, der er isoleret til skolen og bestemte
113

uddannelser. For at den enkelte elev ikke skal blive én blandt de mange, som Nissen
hævder får et “forkvaklet og problematisk forhold til matematik” (ibid.), er en løbende
evaluering med anvendelse af velvalgte vurderingsredskaber et godt bud på at ændre
det nævnte forhold, der uden tvivl hæmmer realiseringen af folkeskolens overordnede
formål.
Anvendelse af vurderingsredskaber og resultaterne af disse er dog ikke uproblematisk.
Således spørger Marit Høines (1995): Hva skjer med matematikkpedagogiske samhandlinger
når tester tas ibruk? Spørgsmålet er stillet på baggrund af den øgede interesse for matematiktest
i Norge, en interesse, der i midten af 1990erne kom til udtryk gennem det tidligere
omtalte nationale KIM-projekt og den internationale TIMSS-undersøgelse. Det er
med god grund, hun stiller dette spørgsmål, for det kan med tidens tendens til at internationalisere
uddannelserne være relevant at spørge, hvilken betydning de “internationale
standards”, som de kommer til udtryk i IEA- og OECD-undersøgelser, vil få for matematikundervisningen
i de deltagende lande. Vil de komme til at styre målene og dermed
vurderings- og evalueringsredskaberne, eller vil de blive anvendt til at perspektivere og
justere læseplanerne i de deltagende lande. Det er derfor af betydning at få diskuteret
mål og kriterier for opfyldelse af disse ikke alene i nationalt – men også i internationalt
perspektiv, da resultater fra internationale undersøgelser også fremover vil indgå i den
løbende debat om matematikundervisningens kvalitet.
Hvis disse redskaber bliver anvendt som styring af undervisning med kontrol som
mål, er der en vis sandsynlighed for, at det vil føre til en begrænsning af indholdet af den
matematik, der bliver implementeret i skolen, selv om læseplanen tilsiger det modsatte.
Modsat vil en anvendelse af prøver som vurderingsredskaber i en løbende evaluering,
hvor de anvendes til at styring af den enkelte elevs udvikling, kunne berige undervisningen
konstruktivt ved at være med til at indikere potentialet for udvikling af matematiske
begreber hos den enkelte elev. I tilknytning til sidstnævnte er det vigtigt at understrege, at
traditionelle skriftlige prøver eller generelt skriftlige prøver som vurderingsreskab ikke bør
stå alene. Det er nødvendigt at sætte den enkelte elev i situationer, hvor det er muligt at
arbejde praktisk med problemer og kunne udtrykke sig mundtligt både individuelt og i
samarbejde med andre, hvis man ønsker informationer, der kan styrke den enkelte elevs
læring, således at eleven får mulighed for at opleve matematikfaget som et fag, der har
betydning for hende – eller ham – selv, både i personlige og samfundsmæssige relationer,
altså opdager, at faget har en betydning i almendannelsen.
I forlængelse af ovennævnte advarer David Fielker (2000) mod, at der i Danmark
kommer nye mere styrende planer for mål og prøver inden for matematik i folkeskolen.
Denne advarsel fremsættes på baggrund af hans erfaringer med sådanne styrende
planer i England, hvor disse blandt andet har medført, at der offentliggøres ranglister
over, hvordan skolernes elever klarer sig i skriftlige test på 7., 11. og 14. alderstrin.
114

I forlængelse af ovennævnte kan det derfor være relevant at stille spørgsmål ved,
hvilken betydning en præcisering af målene for faget matematik kan få for udviklingen
af både matematikundervisningen og de vurderings- og evalueringsredskaber, der kan
tænkes udarbejdet som en følge af en sådan præcisering. Dette skal ikke mindst ses i
lyset af at der i Undervisningsministeriet arbejdes på en præcisering af målene for
fagene i folkeskolen, som følgende citat fra Berlingske Tidende 3.12.00 omhandler.
“Lærer mit barn nok? Får det støtte nok? Giver skolen udfordringer nok? Det er den
slags spørgsmål undervisningsminister Margrethe Vestager oftest møder fra bekymrede
forældre, når hun er til møder rundt om i Danmark. “Det skal være tydeligere hvad
det er, børnene skal lære. Vi hører flere og flere historier om forældre, som klager over
skolen, og det er ofte et tegn på, at man ikke ved, hvad målene er for de enkelte fag,”
siger Margrethe Vestager.
Ministeren understreger i artiklen, at udarbejdelsen af “Klarere mål i folkeskolen” ikke
er et forsøg på gøre skolen mere prøveorienteret, men et redskab til at fremme skolehjemsamarbejdet.
CKF’erne for de enkelte fag skal omskrives, så de bliver mere detaljerede
i beskrivelsen af slutmålene. I alle læseplanerne skal det være præcist beskrevet,
hvad forældrene kan forvente, at deres barn har lært efter en given periode.
“De skal være så konkrete at man kan læse, hvad eleverne f.eks. kan efter 3. klasse og 6.
klasse. Dermed får forældrene et klarere billede af, hvornår deres børn f.eks. skal kunne
læse, eller hvornår de skal kunne lægge brøker sammen.” (ibid).
Spørgsmålet er, om ministerens ønske om ikke at gøre folkeskolen mere prøveorienteret
kan opfyldes samtidig med ønsket om en mere detaljeret beskrivelse af målene for matematikundervisningen
på de enkelte klassetrin. Denne beskrivelse findes på Undervisningsministeriets
hjemmeside (http://www.uvm.dk/) under “Klarere mål i folkeskolen”.
Undervisningsministeriet har den 26. januar 2001 sendt et udkast til ændringsbekendtgørelse
om de centrale kundskabs- og færdighedsområder til høring. Høringsperioden afsluttes
den 23. februar 2001. Ændringsbekendtgørelsen er et led i et samlet projekt om at skabe
klarere mål for folkeskolens arbejde.
En præcisering af målene for undervisningen, så de er til at forholde sig til for læreren
og den enkelte elev, er i sig selv positivt og vil kunne fremme samarbejdet om at opnå
disse. Problemer kan opstå, hvis ikke de vurderings- og evalueringsredskaber, der skal
udarbejdes, bliver anvendt som handlegrundlag for den videre undervisning, men i ste-
115

det bliver anvendt til kontrolformål. Sidstnævnte kan ske, hvis præciseringen af målene
bliver opfattet som en “checkliste”, som kan bevirke, at matematik bliver opfattet som
et fag “man går til prøver i”, hvilket vil hæmme målet med at få eleverne til opfatte
fagets indhold som noget, der har betydning for dem personligt.
Såfremt den enkelte elev skal have en opfattelse af matematik som alment dannende
fag, er det vigtigt at ændre det opgaveparadigme, som er knyttet til matematikfaget.
Denne ændring bør derfor også afspejles i de vurderings- og evalueringsmaterialer og -
former, der anvendes i faget. I den forbindelse er det værd endnu engang at understrege,
at skriftlige opgaver i form af en prøve ikke kan og ikke bør være det eneste grundlag
for en vurdering og evaluering af mål i undervisningen.
I relation til en præcisering af målene, som de kan komme til udtryk i en læseplan,
er følgende kommentar måske værd at bemærke. T.L. Schroeder, medlem af Committee
for Implementing the Standards, et udvalg der blev nedsat for at styrke matematikundervisningen
i USA, kommenterer ovennævnte i en lille artikel, Let’s Not Implement
the Standards (Schroeder, 1992). Han gør opmærksom på, at målet i matematikundervisningen
ikke er en implementering af læseplanen gennem en opfattelse af denne, som
kan komme til udtryk gennem en undervisning, der fører til en rigid indlæring af
beskrevne detaljer indeholdt i læseplanen, men mere en implementering af den overordnede
målsætning for denne. Den danske læseplans målbeskrivelse, som den ser ud nu
for matematik, beskriver de visioner, der er for undervisningen i faget. Det er gennem
en præcisering af målene til opnåelse af disse visioner, læreren bør kunne hente støtte.
Målene er ikke enkelte ingredienser i en opskrift på en “matematikkage” til den enkelte
elev, der sikrer, at kagen bliver en succes, hvis hver enkelt ingrediens bliver lært; det er
nødvendigt, men ikke tilstrækkeligt. Det betyder også noget, hvordan målene “blandes”,
og kagen bages. Det er ikke kun processen og produktet af arbejdet mod opnåelse af de
enkelte mål i matematikundervisningen, der skaber den enkelte elevs udbytte af undervisningen
i form af både faglig viden og kunnen og holdning til faget. Det er i høj grad
også, at undervisningen har bibragt den enkelte elev en forståelse af sammenhængen
mellem de enkelte mål og dermed en forståelse af, hvad matematik er, og hvilken betydning
den kan have i forskellige sammenhænge. Denne sammenhæng må der også tages
hensyn til ved udarbejdelse af vurderings- og evalueringsredskaber, således at disse kan
give et dækkende billede af et undervisningsforløb og den læring, den har givet anledning
til hos den enkelte elev.
Afsluttende skal opsummeres nogle af de i denne rapport beskrevne fokuspunkter og
tiltag, der kan være med til at fremme udviklingen af vurderings- og evalueringsmaterialer
til brug for matematikundervisningen i folkeskolen og støtte den enkelte lærer i
anvendelsen af disse.
116

• Det er vigtigt, at udarbejdelsen af vurderings- og evalueringsmaterialer ikke modarbejder
men fremmer det syn på undervisning og læring, som er grundlaget for de
centrale kundskaber og færdigheder, der gælder for matematikundervisningen, som
de kommer til udtryk i princippet om undervisningsdifferentiering og et konstruktivistisk
syn på læring.
• Der bør igangsættes en udarbejdelse af vurderings- og evalueringsmaterialer, der kan
anvendes i en løbende evaluering, hvor samtalen mellem lærer og elev indgår som
noget centralt. Porteføljer som grundlag for evaluering af den enkelte elevs udvikling
er et godt udgangspunkt for en løbende evaluering. Tilsvarende gælder, at læreren
gennem sit arbejde samler en portefølje af store og små “gode undervisningssituationer”,
der mere systematisk kan være et erfaringsgrundlag både til brug for undervisningen
generelt og til brug for mere specifikke situationer, der kan anvendes i forbindelse
med vurderinger af den enkelte elevs læring af et bestemt begreb. En sådan
portefølje af “gode undervisningssituationer” for læring af matematik vil også fremme
evaluering som en integreret del af undervisningen.
• En udarbejdelse af vurderings- og evalueringsmaterialer i matematikundervisningen på
grundlag af de første punkter, jævnfør eksemplerne, der er blevet beskrevet fra Sverige
og Norge, vil kunne støtte den enkelte lærer i arbejdet med implementeringen af de
centrale kundskaber og færdigheder hos den enkelte elev. Hvis begreberne løbende
evaluering og undervisningsdifferentiering skal have et reelt indhold i undervisningen,
er det nødvendigt, at læreren får støtte gennem et evalueringsmateriale, der præcist
beskriver, hvad materialet kan anvendes til, og hvordan det kan anvendes samt indeholder
en række eksempler, som læreren kan bruge til at reflektere egne erfaringer.
• Vurderinger og evalueringer i matematikundervisningen bør der fokuseres mere på i
læreruddannelsen og lærerens efteruddannelse. Hvis læreren skal have en reel mulighed
for at anvende vurderings- og evalueringsmaterialer som handlegrundlag for den
videre undervisning og ikke kun til kontrol, er det nødvendigt, at hun eller han gennem
uddannelse får et reelt grundlag for dette.
• Matematikundervisningen skal give eleven mulighed for at forstå og anvende matematik
i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold. Ligeldes skal
den give den enkelte elev mulighed for indlevelse og anvendelse af fantasi og nysgerrighed,
så matematik opleves både som et problemløsningsredskab og som et kreativt fag.
For at fremme disse mål med undervisningen er det vigtigt, at de gøres til genstand for
evaluering. Dette skal ikke mindst ses i relation til den betydning, folkeskolens under-
117

visning har for elevernes senere valg af uddannelse, hvor elevens opfattelse af og holdning
til matematik har betydning. I den sammenhæng kan nævnes det aktuelle rekrutteringsproblem
til de naturvidenskabelige uddannelser, hvori matematik indgår.
118

Litteratur
Abildgaard, Lone og Arne Mogensen: Når det bedste er godt nok. Dafolo, 1999.
Andersen, Michael Wahl & Kristine Jess: Matematikevaluering i 1.-3. klasse.
København: Alinea, 2000.
Andersen, Merete; Kim Foss Hansen & Poul Erik Jensen: RM 1-7. Interne prøver til
regning/matematik 1.-7. klasse. Dansk Psykologisk Forlag, 1990-1999.
Beck, Hans Jørgen; Mathias Bruun Pedersen; Margit Krejlund Pedersen og Lislotte
Krogshøj: Matematik i fjerde. 1. udgave, 1. oplag. København: Gyldendal
Uddannelse, 1. oplag, 1995.
Beck, Hans Jørgen; Lona Graff og Niels Jacob Hansen: Matematik i ottende. 1. udgave,
1. oplag. København: Gyldendal Uddannelse, 2000.
Berlingske Tidende, 2.10.00.
Berlingske Tidende 3.12.00.
Björkqvist, Ole: Social konstruktivism som grund för matematikundervisning.
Nordisk Matematikk Didaktikk nr. 1, 1993.
Bloom og Foskay in T. Husén (ed.): International Study of Achievement in Mathematics.
A comparison in twelve countries, 1967.
Brekke & Rosen: Diagnostisk undervisning. Nämnaren, årgang 23. nr.2, 1996.
Brekke, Gard: Introduksjon til diagnostisk undervisning i matematikk. Nasjonalt
Læremiddelsenter, 1995.
Carstensen, Jens: De nye læseplaner i matematik – en gymnasielærers betragtninger.
Matematik, 7, 1995.
Christensen, Anne-Grete; Ann Bjernå & Søren Sej: Individuel Prøve Matematik 1., 2.
og 3. klasse, og Gruppeprøve Matematik BH., 1., 2. og 3. klasse. Græsted-Gilleleje
Kommune, 1998.
Christiansen, Bent: Selvvirksomhed og erfaringer i matematikundervisningen. I: T. B.
Jensen m. fl.: Fag og erfaring. København: Munksgaard, 1984.
Clausen, Palle Kroman og Jens Christian Jensen: Opgavesamling i matematik.
Problemløsning. Folkeskolens Afgangsprøve. Prøvesæt maj-juni 1995 – december 1997.
3. udgave, 1. oplag. København: Alinea, 1998.
Dahl, Bettina: Sprogspilsoverskridende variable i en sprogspilsoverskridende proces i
matematikundervisningen. Aalborg: Aalborg Universitet, 1995.
Dahler-Larsen, P.: Den rituelle refleksion. Odense: Odense Universitetsforlag, 1998.
119

Et politisk mål. Fokus på grundlæggende færdigheder i dansk og matematik fra børnehave
klasse til 3. klasse. Græsted-Gilleleje Kommune, 1998.
Faghæfte 12, Matematik. Undervisningsministeriet, 1995.
Faghæftet for dansk. Undervisningsministeriet, 1984.
Fielker, David: Det var ikke min skyld. Matematik nr. 6, 2000.
Frentz, John; Jonna Høegh og Mikael Skånstrøm: Matematik-tak for ottende klasse. 1.
udgave 1. oplag. København: Alinea, 1997.
Hansen, Mogens m.fl. Psykologisk-Pædagogisk Ordbog, 1987.
Hansen, Vagn Rabøl m. fl.: Læreprocesser, potentialer og undervisningsdifferentiering.
København: Danmarks Pædagogiske Institut, 1998.
Hiebert, J. & J. W. Stigler: A Proposal for Improving Classroom Teaching: Lessons
from the TIMSS Video Study. The Elementary School Journal, Volume 101,
Number 1, 2000.
Holmer, Marianne & Svend Hessing: Faktor for ottende klasse. 2. udgave, 1. oplag.
Malling Beck, 1997.
Høegh, Jonna; Else Merete Benedict-Møller og Bo Bramming: Matematik-tak for
første klasse. 1. udgave, 1. oplag. København: Alinea, 1994.
Høegh, Jonna; Else Merete Benedict-Møller, Carsten Andersen og Esben Esbensen:
Matematik-tak for fjerde klasse. 1. udgave 1. oplag. København: Alinea, 1996.
Høines, Marit: Begynneropplæring. Caspar, 1987.
Høines, Marit: Hva skjer med matematikkpedagogiske samhandlinger når tester tas
ibruk? Nordisk Matematikk Didaktikk, 3, 1995.
Høyrup, Jens: Historien om den nye matematik i Danmark – en skitse. I: Peter
Bollerslev (red.): Den ny matematik i Danmark, København: Gyldendal, 1979.
Introduksjon til diagnostisk undervisning i matematik. Nasjonalt Læremiddelsenter, 1995.
Jensen, Bente: Kompetencebegrebet – anvendt i en analyse af børns trivsel i eliteidrætten.
København: Danmarks Lærerhøjskole, 1999.
Jensen, Hans Nygaard: “Nu hænger tingene sammen”. Matematik, 8, 1995.
Jørgensen, Per Schultz: Krav om kompetence – også i skolen. Pædagogisk Orientering,
nr. 4-5, 2000.
Karlberg, Ann: Portfolio – et sätt at lära. Nämnaren, 3, 2000.
Lpo: http://www.skolverket.se/d/laroplaner/lpo94/dbb10.htlml
Lunde, O: Kartlegging og undervisning ved lærevansker i matematik. Info Vest forlag,
Kleppst, 1997.
Melbye, P. E.: Matematikkvansker. Oslo: Universitetsforlaget, 1995.
Mogensen, Arne: Faktor for fjerde klasse. 1. udgave, 1. oplag. Malling Beck, 1995.
NCTM. The National Council of Teachers of Mathematics: Curriculum and
Evaluation Standards for School Mathematics. NCTM, 1989.
120

NCTM – The National Council of Teachers of Mathematics: Assessment Standards for
School Mathematics, 1996.
Neumann, Dagmar: Diagnoser i matematik år 2. Nordisk Matematikk Didaktikk,
Årgang 5, nr. 1, 1997.
Niss, Mogens: Hvad er meningen med matematikundervisningen? Tekst nr. 36, IMFUFA,
1980.
Niss, Mogens: Behov for nye metoder i bedømmelse og vurdering i matematik.
Matematik, 1, 1994.
Niss, Mogens: Kompetencer og uddannelsesbeskrivelse. Uddannelse, nr. 9, p. 21-29,
1999.
Nissen, Gunhild: Matematikundervisning i en demokratisk kultur. Nordisk
Matematikk Didaktikk, nr. 2, 1999.
Ny Folkeskolelov. Kommenteret udgave. Forlaget Kommuneinformation, 1993.
Obel m. fl.: Undervisningsdifferentiering – Teori og praksis. Aalborg: Aalborg
Universitet, 1995.
Pedersen, Hilmar: Prøvesæt i matematikfærdigheder for 9. klassetrin. Færdighedsdelen.
2. udgave, 1. oplag. København: Alinea, 1998.
Pedersen, Mathias Bruun; Margit Krejlund Pedersen og Lislotte Krogshøj: Matematik
i første. 1. udgave, 1. oplag. København: Gyldendal Uddannelse, 1992.
Petersen, Silla Baltzer & Arne Mogensen: Faktor for første klasse. 1. udgave. 1. oplag.
Malling Beck, 1995.
Rasmussen, Jens: Om at læse læseplaner. Unge Pædagoger, 1, 1996.
Schnack, Karsten: Handlekompetence i pædagogiske teorier. Værløse: Billesø & Baltzer,
1998.
Schroeder, T. L.: Let’s Not Implement the Standards. Arithmetics Teacher, October
1992.
Schultz, Henry; Benny Syberg og Ivan Christensen: Sigma for første. 1. udgave
1. oplag. Malling Beck, 1993.
Schultz, Henry; Benny Syberg og Ivan Christensen: Sigma for fjerde. 1. udgave,
1. oplag. Malling Beck, 1996.
Schultz, Henry og Ivan Christensen: Sigma for ottende. 1. udgave 1. oplag. Malling
Beck, 1998.
Scriven, Michael: The Methodology of Evaluation. Aera Monograph Series on
Curriculum Evaluation, 1. Chicago: Rand McNally & Company, 1967.
Skov, Poul: Intern evaluering – et grundlag for undervisningsdifferentiering.
Dansk 1.93. Dansklærerforeningen, 1993.
Skovsmose, Ole: Perspectives on Curriculum Development in Mathematical
Education. Scandinavian Journal of Educational Research Vol. 34, No. 2, 1990.
121

Skovsmose, Ole: Matematik-undervisning og kritisk pædagogik. København: Gyldendal,
1981.
Skovsmose, Ole: Didaktiske arbejdspapirer 1-3. København: Gyldendal, 1980-81.
Udvikling og kvalitet – skolens undervisning. Undervisningsministeriet, 1991.
Undervisningsministeriets hjemmeside http://www.uvm.dk/: Klarere mål i folkeskolen.
UNESCO: New Trends in Mathematics Teaching. Vol. IV, (eds. B. Christiansen og
H. G. Steine). Paris: UNESCO, 1979.
Van den Heuvel-Panhuizen, Marja: Assessment and Realistic Mathematics Education, 1996.
Vygotsky, L. S.: Tænkning og sprog. København: Reitzel, 1971.
Weng, Peter & Ayoe Hoff: Evaluering i matematik og naturvidenskabelige fag i
folkeskolen – på grundlag af praktiske prøver. København: Danmarks Pædagogiske
Institut, 1999.
Weng, Peter: Matematik og naturvidenskab i folkeskolen – en international undersøgelse.
København: Danmarks Pædagogiske Institut, 1996.
122