georg mohr-konkurrencen. opgaver og løsninger 1991-2010.

Løsninger · 2007Opgave 3. En snedig drage bevogter en prinsesse. For at overvinde dragen ogvinde prinsessen skal man løse følgende opgave: Dragen har i nogle af felterne isøjlehallen (se figur) anbragt tallene 1–8. Selv må man i resten af felterne anbringetallene 9–36. Tallene 1–36 skal stå således at enhver tur der starter med at mangår ind fra enten syd eller vest, og ender med at man går ud mod enten nord ellerøst, går gennem mindst ét tal fra 5-tabellen. (På figuren er nord, syd, øst og vestangivet med N, S, Ø og V). Georg ønsker at vinde prinsessen. Kan det lade sig gøre?N1 2 3 4 5 61 23 412VØ345 67 8565SLøsning. Rækkerne af felter i søjlehallen nummereres 1, 2, 3, 4, 5, 6 fra nord modsyd, og søjlerne af felter nummereres tilsvarende fra vest mod øst. Feltet irække n og søjle m betegnes (n, m). Blandt tallene 1–36 er der netop syv talfra femtabellen, hvor det ene allerede er placeret af dragen i feltet (5, 2). HvisGeorg skal vinde prinsessen, skal han placere de resterende seks tal i femtabellensåledes at hver eneste rute gennem søjlehallen indeholder mindst et af de syvtal fra femtabellen. Betragt først (se figur) følgende tre nordvestlige ruter (1, 1),(2, 1) → (2, 2) → (1, 2) og (3, 1) → (3, 2) → (2, 2) → (2, 3) → (1, 3). Da enesteoverlappende felt mellem disse tre ruter er (2, 2), som allerede er optaget af et talder ikke tilhører femtabellen, skal Georg benytte mindst tre tal fra femtabellenfor at klare kravet vedrørende disse tre ruter. Han skal ligeledes bruge yderligeretre tal fra femtabellen hvis han vil klare de tilsvarende tre sydøstlige ruter.Hvis han også skal klare ruten der starter i (4, 1), forsætter mod øst til (4, 4)og derfra går mod nord og ud gennem (1, 4), kræver det yderligere at et tal frafemtabellen placeres på denne rute da den ikke har nogen felter tilfælles med deseks andre nævnte ruter. For at klare de nævnte syv ruter skal Georg altså brugemindst syv tal fra femtabellen, men han har kun seks til rådighed, og det syvende,der er sat af dragen, klarer ingen af de nævnte ruter. Derfor er det umuligt forGeorg at placere tallene så alle ruter gennem søjlehallen indeholder et tal frafemtabellen, og Georg kan derfor ikke vinde prinsessen.33