georg mohr-konkurrencen. opgaver og løsninger 1991-2010.

Algebra og funktioner, Geometrier negativ, har polynomiet ingen reelle rødder, hvis d = 0, har polynomietén reel rod, og hvis d er positiv, har polynomiet to reelle rødder −b+√ dog−b− √ d2a. Hvis polynomiet har to reelle rødder r 1 og r 2 , kan det faktoriseresp(x) = a(x − r 1 )(x − r 2 ).Røddernes sum og produkt Hvis et normeret andengradspolynomium p(x) =x 2 + bx + c (dvs. et andengradspolynomium med andengradskoefficient 1)har rødderne r 1 og r 2 , er røddernes sum r 1 + r 2 lig med −b og røddernesprodukt r 1 r 2 lig med c. Hvis omvendt r 1 og r 2 er tal der opfylder r 1 +r 2 = −bog r 1 r 2 = c, så er r 1 og r 2 rødder i polynomiet.Parabel Grafen for et andengradspolynomium p(x) = ax 2 +bx +c er en parabel.Parablens grene vender opad hvis a er positiv, og nedad hvis a er negativ.Koordinatsættet til parablens toppunkt er ( −b2a , −d4a), hvor d er diskriminanten.Monotoni En funktion f siges at være voksende i et interval I hvis der for alletal x 1 og x 2 i intervallet I gælder at hvis x 1 < x 2 , så er f (x 1 ) < f (x 2 ). Enfunktion f siges at være aftagende i et interval I hvis der for alle tal x 1 og x 2i intervallet I gælder at hvis x 1 < x 2 , så er f (x 1 ) > f (x 2 ). En funktion sigesat være monoton i et interval I hvis den er enten voksende eller aftagendei I.Numerisk værdi Den numeriske værdi (eller absolutte værdi) |x| af et reelt talx er |x| = x hvis x ≥ 0, og |x| = −x hvis x < 0. For alle reelle tal x og ygælder |xy| = |x||y|.Kontinuitet og differentiabilitet Emnet er for omfattende til denne korte oversigt.Kendskab hertil har kun været nødvendigt i enkelte meget tidligeopgaver.2aGeometriHøjde En højde i en trekant er en linje der går fra en vinkelspids vinkelret nedpå den modstående side. De tre højder skærer hinanden i samme punkt.Vinkelhalveringslinje En vinkelhalveringslinje i en trekant er en linje der gårfra en vinkelspids og deler vinklen i to lige store vinkler. De tre vinkelhalveringslinjerskærer hinanden i samme punkt. Dette punkt er centrum fortrekantens indskrevne cirkel.Midtnormal En midtnormal i en trekant er en linje der går gennem midtpunktetaf en side og står vinkelret på denne side. De tre midtnormaler skærerhinanden i samme punkt. Dette punkt er centrum for trekantens omskrevnecirkel.81