georg mohr-konkurrencen. opgaver og løsninger 1991-2010.

Begreber og definitionerPå de følgende sider gives en oversigt over de matematiske forudsætninger somhar været benyttet i opgaver og løsninger i årenes løb. Oversigten er opdelt ihovedkategorierne algebra, geometri, kombinatorik og talteori. Inden for hvertemne er begreber, definitioner og sætninger opregnet i en nogenlunde naturligrækkefølge.Listen er ment som en hjælp til elever der måtte gå i stå i læsningen af enløsning. I tidens løb har gymnasiets pensum nemlig ændret sig, og derfor kan derrundt omkring i løsningerne være brugt begreber og sætninger som ikke længerehører til kernepensum. I disse tilfælde har vi i løsningerne anført en henvisning tildette afsnit. Ordlisterne gør det dog ikke ud for en matematikbog. Der er såledeshverken eksempler eller beviser, og elever der er interesserede i at sætte sig mereind i emnerne, vil have brug for en lærebog eller hjælp fra en lærer.Listen er bagudrettet og udgør således ikke en udtømmende liste over hvadder kan tænkes at indgå som forudsætninger i fremtidige Georg Mohr-opgaver.Algebra og funktionerNyttige omskrivninger For alle reelle tal a og b gælder:a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab(a − b) 2 = a 2 + b 2 − 2ab(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3Nulreglen Hvis et produkt er lig med 0, så er mindst en af faktorerne lig med 0.Polynomium Et polynomium p af grad n er en funktion med en forskrift af typenp(x) = a n x n +a n−1 x n−1 +· · ·+a 1 x +a 0 , hvor a n , a n−1 , . . . , a 1 , a 0 er reelletal og a n ≠ 0. Tallene a n , a n−1 , . . . , a 1 , a 0 kaldes polynomiets koefficienter.Et tal r kaldes rod i polynomiet p hvis p(r ) = 0. Hvis r er rod i p, kan pfaktoriseres p(x) = (x − r )q(x), hvor q er et polynomium af grad n − 1.Andengradspolynomium Et andengradspolynomium er en funktion med enforskrift af typen p(x) = ax 2 + bx + c, hvor a, b og c er reelle tal og a ≠ 0.Tallet d = b 2 − 4ac kaldes andengradspolynomiets diskriminant. Hvis d80