georg mohr-konkurrencen. opgaver og løsninger 1991-2010.

Georg Mohr-KonkurrencenOpgave 3. På tre parallelle linjer med afstande som angivet på figuren liggerpunkterne A, B og C således at firkant ABCD er et kvadrat. Find arealet af dettekvadrat.A5B7AsP5sB7QDCDC⊲kongruentetrekanterLøsning. De to retvinklede trekanter ABP og BCQ (se figuren) er kongruente.De er nemlig ensvinklede (idet ∠QBC + 90 ◦ + ∠PBA = 180 ◦ ), og de har beggekvadratets sidelængde s som hypotenuse. Altså er |AP| = |BQ| = 7. Med brug afPythagoras findes det ønskede areal s 2 som s 2 = 5 2 + 7 2 = 74.Opgave 4. Lad a og b være positive reelle tal med a + b = 1. Vis at(a + 1 ) 2 (+ b + 1 ) 2 25 ≥ab 2 .Løsning. Bemærk først at 1 = (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, så a 2 + b 2 = 1 − 2ab. Vihar nu at(1) 2 (1) 2 a +a + b +b = a 2 + 1 a+ 2 + b 2 + 1 2 b+ 2 2= a 2 + b 2 + b2 +a 2a 2 b+ 4 2= (a 2 + b 2 )(1 + 1a 2 b 2 ) + 4= (1 − 2ab)(1 + 1(ab) 2 ) + 4.Begge faktorer er mindst mulige når ab er størst mulig. Da ab = a(1 − a) =a − a 2 ≤ 1 4 (hvor den sidste ulighed følger af at 0 ≤ (a − 1 2 )2 eller ved brug aftoppunktsformlen for parablen), erog heraf følger det ønskede.(1 − 2ab)(1 + 1(ab) 2 ) + 4 ≥ (1 − 1 2 )(1 + 116 ) + 4 = 25 2 ,58