georg mohr-konkurrencen. opgaver og løsninger 1991-2010.

Georg Mohr-KonkurrencenOpgave 4. Figuren viser en vinkel på 60 ◦ , hvori der ligger 2007 nummereredecirkler (kun de tre første er vist på figuren). Cirklerne er nummererede efterstørrelse. Cirklerne tangerer vinklens ben og hinanden som vist på figuren. Cirkelnummer 1 har radius 1. Bestem radius af cirkel nummer 2007.312Løsning. Toppunktet i vinklen på 60 ◦ betegnes O, og centrum og radius i cirkelnummer n betegnes henholdsvis O n og r n . Linjen gennem alle centrene halverervinklen og danner dermed en vinkel på 30 ◦ med hvert vinkelben. For at findesammenhængen mellem r n og r n+1 konstrueres en retvinklet trekant hvor to afsiderne kan udtrykkes ved r n og r n+1 :X nO nO n+1⊲speciellevinklerLad X n være et punkt på linjen gennem O n parallel med det ene vinkelbensåledes at vinkel ∠O n X n O n+1 er ret. Da O n X n er parallel med det ene vinkelben,er ∠X n O n O n+1 = 30 ◦ , og ifølge formlen for sinus i en retvinklet trekant er|X n O n+1 ||O n O n+1 | = sin(∠X nO n O n+1 ) = sin 30 ◦ = 1 2 .Da O n+1 X n står vinkelret på det ene vinkelben, O n X n er parallel med det, ogafstanden fra henholdsvis O n og O n+1 til vinkelbenet er r n og r n+1 , er |X n O n+1 | =r n+1 − r n . Desuden er |O n O n+1 | = r n + r n+1 da de to cirkler tangerer hinanden.Samlet ses atr n+1 − r n= |X nO n+1 |r n + r n+1 |O n O n+1 | = 1 2 .Heraf fås 2r n+1 − 2r n = r n + r n+1 , og ved at isolere r n+1 fås r n+1 = 3r n . Radius icirkel nummer n + 1 er altså tre gange så stor som radius i cirkel nummer n, ogdermed er r 2007 = 3 2006 · r 1 = 3 2006 .34