georg mohr-konkurrencen. opgaver og løsninger 1991-2010.

Kombinatorik, TalteoriKombinatorikMultiplikationsprincippet Ved et valg der består af k uafhængige delvalg medhenholdsvis n 1 , n 2 , . . . , n k valgmuligheder, er der i alt n 1 n 2 · · · n k valgmuligheder.Fakultet For et positivt helt tal n defineres symbolet n! (læses: »n fakultet«) vedn! = n · (n − 1) · · · 3 · 2 · 1. Endvidere defineres 0! = 1.Kombination Antallet af måder hvorpå man kan udtage r elementer ( ) ud af nelementer uden hensyntagen til rækkefølgen, betegnes nr(eller K(n, r )).( )Her er n og r positive hele tal eller 0, og r ≤ n. Der gælder at nr=n!r !(n−r )! .Sandsynlighed I en situation hvor der foreligger et antal lige sandsynlige muligheder,hvoraf nogle betegnes som gunstige, kan sandsynligheden for at etgunstigt udfald indtræffer, beregnes somantal gunstige udfaldantal mulige udfald .Skuffeprincippet Skuffeprincippet siger at hvis flere end n ting skal fordeles i nskuffer, så vil mindst en skuffe indeholde mindst to ting. Her er n et positivthelt tal.TalteoriNaturlige tal og hele tal De naturlige tal er tallene 1, 2, 3, 4, . . .. De hele tal ertallene . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . ..Lige og ulige tal De lige tal er tallene . . . , −4, −2, 0, 2, 4, . . .. De ulige tal er tallene. . . , −5, −3, −1, 1, 3, 5, . . .. To tal siges at have samme paritet hvis de entenbegge er lige eller begge er ulige.Kvadrattal Et kvadrattal er et tal der kan skrives som et helt tal i anden potens.De første kvadrattal er 0, 1, 4, 9, 16, 25, . . .. At opløfte et tal i anden potenskaldes at kvadrere tallet. Anden potens af et tal kaldes tallets kvadrat. Et talog dets kvadrat har samme paritet.Delelighed Et helt tal n er deleligt med et helt tal d hvis der findes et helt tal qså n = q · d. Man siger i så fald at d går op i n, at d er divisor i n, og at n eret multiplum af d. Hvis et helt tal d går op i to hele tal n og m, går d ogsåop i summen n + m og differensen n − m.Division med rest Når n er et helt tal, og d er et positivt helt tal, kan n skrivespå formen n = q · d + r , hvor r og q er hele tal, og r = 0, 1, 2, . . . , d − 1.Man siger at n har resten r ved division med d. Resten er 0 netop hvis d erdivisor i n. I så fald siges divisionen at gå op.84