georg mohr-konkurrencen. opgaver og løsninger 1991-2010.

Løsninger · 1995Opgave 5. I planen er der givet seks cirkler således at ingen af cirklerne indeholderen andens centrum. Vis at der ikke findes et punkt som ligger i alle cirklerne.Løsning. Vi fører beviset ved at vise at hvis der findes et punkt der ligger indenfor seks cirkler, så vil en af cirklerne indeholde en andens centrum.Antag altså at P er et punkt der ligger i alle cirklerne. Tegn linjestykkerne derforbinder P med hvert af centrene C 1 , C 2 , . . . , C 6 i de seks givne cirkler. Hervedfremkommer seks vinkler med toppunkt i P. Summen af disse er 360 ◦ ; altså måmindst en af vinklerne ∠C i PC j være højst 60 ◦ .Hvis ∠C i PC j = 0 ◦ , ligger C i på linjestykket PC j eller C j på linjestykket PC i ,og dermed ligger C i i den j’te cirkel eller C j i den i’te.C jC iPI tilfældet 0 ◦ < ∠C i PC j ≤ 60 ◦ ses på trekant C i PC j . Da vinkelsummen i entrekant er 180 ◦ , er mindst en af de øvrige vinkler PC i C j og PC j C i i denne trekantmindst 60 ◦ . Men så er C i C j mindre end eller lig med mindst et af linjestykkernePC j og PC i . Disse er igen mindre end eller lig med radius i henholdsvis den j’teog den i’te cirkel da P lå i alle cirklerne. Dermed er C i C j mindre end eller lig medmindst en af disse radier, hvoraf følger at C i ligger i den j’te cirkel eller C j i deni’te. Hermed er beviset ført i alle tilfælde.68