georg mohr-konkurrencen. opgaver og løsninger 1991-2010.

Løsninger · 1994Opgave 5. I en retvinklet og ligebenet trekant har de to kateter begge længden 1.Find længden af det korteste linjestykke der deler trekanten i to figurer med sammeareal, og angiv dette linjestykkes placering.Løsning. Længden af det delende linjestykke betegnes d. Ved deling afskæres entrekant med arealet 1 4. Vi ser først på det tilfælde hvor trekanten indeholder enaf de oprindelige vinkler på 45 ◦ .p45 ◦ qddpqNår siderne betegnes p og q, er arealet 1 2 pq sin(45◦ ) = 1 4, hvoraf det ses at2pq = √ √2 (udnyt at sin(45 ◦ ) = 22). Med cosinusrelationen fås nu ⊲speciellevinklerd 2 = p 2 + q 2 − 2pq cos(45 ◦ )= p 2 + q 2 − 1= (p − q) 2 + 2pq − 1= (p − q) 2 + √ 2 − 1.Dette udtryk er minimalt for p = q. Den afklippede trekant skal altså væreligebenet, og længden af det delende linjestykke bliverd =√ √2− 1.Vi mangler at vise at denne længde ikke kan gøres mindre i det tilfælde hvor denafskårne trekant indeholder den rette vinkel. I det tilfælde gås frem på tilsvarendemåde: Med sidebetegnelserne p og q er den afskårnes trekants areal 1 2 pq = 1 4 , såat pq = 1 2, og med Pythagoras fåsd 2 = p 2 + q 2 = p 2 + q 2 − 2pq + 2pq = (p − q) 2 + 1.Den minimale værdi af d i det retvinklede tilfælde bliver dermed 1, altså størreend den ovenfor fundne værdi.71