georg mohr-konkurrencen. opgaver og lÃ¸sninger 1991-2010.

More documents

Recommendations

Info

Algebra og funktioner, Geometrier negativ, har polynomiet ingen reelle rødder, hvis d = 0, har polynomietén reel rod, og hvis d er positiv, har polynomiet to reelle rødder −b+√ dog−b− √ d2a. Hvis polynomiet har to reelle rødder r 1 og r 2 , kan det faktoriseresp(x) = a(x − r 1 )(x − r 2 ).Røddernes sum og produkt Hvis et normeret andengradspolynomium p(x) =x 2 + bx + c (dvs. et andengradspolynomium med andengradskoefficient 1)har rødderne r 1 og r 2 , er røddernes sum r 1 + r 2 lig med −b og røddernesprodukt r 1 r 2 lig med c. Hvis omvendt r 1 og r 2 er tal der opfylder r 1 +r 2 = −bog r 1 r 2 = c, så er r 1 og r 2 rødder i polynomiet.Parabel Grafen for et andengradspolynomium p(x) = ax 2 +bx +c er en parabel.Parablens grene vender opad hvis a er positiv, og nedad hvis a er negativ.Koordinatsættet til parablens toppunkt er ( −b2a , −d4a), hvor d er diskriminanten.Monotoni En funktion f siges at være voksende i et interval I hvis der for alletal x 1 og x 2 i intervallet I gælder at hvis x 1 < x 2 , så er f (x 1 ) < f (x 2 ). Enfunktion f siges at være aftagende i et interval I hvis der for alle tal x 1 og x 2i intervallet I gælder at hvis x 1 < x 2 , så er f (x 1 ) > f (x 2 ). En funktion sigesat være monoton i et interval I hvis den er enten voksende eller aftagendei I.Numerisk værdi Den numeriske værdi (eller absolutte værdi) |x| af et reelt talx er |x| = x hvis x ≥ 0, og |x| = −x hvis x < 0. For alle reelle tal x og ygælder |xy| = |x||y|.Kontinuitet og differentiabilitet Emnet er for omfattende til denne korte oversigt.Kendskab hertil har kun været nødvendigt i enkelte meget tidligeopgaver.2aGeometriHøjde En højde i en trekant er en linje der går fra en vinkelspids vinkelret nedpå den modstående side. De tre højder skærer hinanden i samme punkt.Vinkelhalveringslinje En vinkelhalveringslinje i en trekant er en linje der gårfra en vinkelspids og deler vinklen i to lige store vinkler. De tre vinkelhalveringslinjerskærer hinanden i samme punkt. Dette punkt er centrum fortrekantens indskrevne cirkel.Midtnormal En midtnormal i en trekant er en linje der går gennem midtpunktetaf en side og står vinkelret på denne side. De tre midtnormaler skærerhinanden i samme punkt. Dette punkt er centrum for trekantens omskrevnecirkel.81
GeometriMedian En median i en trekant er et linjestykke der går fra en vinkelspids til midtpunktetaf den modstående side. De tre medianer skærer hinanden i sammepunkt, og de deler hinanden i forholdet 2 : 1, regnet fra vinkelspidserne.Midtpunktstransversal En midtpunktstranversal i en trekant er en linje derforbinder midtpunkterne på to af siderne. Den er parallel med den tredjeside. Hvis omvendt en linje går gennem midtpunktet af en side og er parallelmed en anden side, er den en midtpunktstransversal.Ensvinklede trekanter To trekanter kaldes ensvinklede hvis de har de sammevinkler. For ensvinklede trekanter er forholdet mellem alle tre par af tilsvarendesider ens. Hvis omvendt forholdet mellem to par af sider for totrekanter er ens, og den mellemliggende vinkel mellem disse sider er densamme i de to trekanter, så er trekanterne ensvinklede. Forholdet mellemarealerne af to ensvinklede trekanter er kvadratet på sideforholdet.Kongruente trekanter To trekanter kaldes kongruente hvis de er ensvinklede,og forholdet mellem tilsvarende sider er 1. Hvis to trekanter har to ens siderog den mellemliggende vinkel mellem disse to sider er den samme i de totrekanter, så er de kongruente.Ligebenet trekant En ligebenet trekant er en trekant hvori to af siderne er ligelange. De to vinkler ved den tredje side er lige store.Ligesidet trekant En ligesidet trekant er en trekant hvori alle tre sider er ligelange. Alle tre vinkler er 60 ◦ .Regulær polygon En regulær polygon er en polygon hvori alle sider har sammelængde og alle vinkler er lige store.Retvinklet trekant En retvinklet trekant er en trekant hvori en af vinklerne er ret.I en retvinklet trekant kaldes den side der ligger over for den rette vinkel,for hypotenusen, og de to andre sider kaldes kateter.Pythagoras’ sætning For retvinklede trekanter gælder Pythagoras’ sætning: Summenaf kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. Hvisomvendt summen af kvadraterne på to af siderne i en trekant er lig medkvadratet på den tredje side, er trekanten retvinklet.Trigonometri i retvinklede trekanter For en spids vinkel v i en retvinklet trekantgældercos v = hoshypsin v = modhyptan v = modhoshvor hos, mod og hyp betegner henholdsvis den hosliggende katete til v,den modstående katete til v og hypotenusen.82
Page 1 and 2:
GEORG MOHR-KONKURRENCEN OPGAVER OG
Page 3 and 4:
Georg Mohr-KonkurrencenOpgaver og l
Page 6:
ForordDenne bog indeholder alle opg
Page 9 and 10:
Dansk matematikolympiade med intern
Page 12 and 13:
Opgaver · 2010Opgave 1. Fire retvi
Page 14 and 15:
Opgaver · 2008Opgave 1. Danmark ha
Page 16 and 17:
Opgave 4. Figuren viser en vinkel p
Page 18 and 19:
Opgaver · 2005Opgave 1. Figuren st
Page 20 and 21:
Opgaver · 2004Opgave 1. Rektanglet
Page 22 and 23:
Opgaver · 2002Opgave 1. Fra et ind
Page 24 and 25:
Opgaver · 2000Opgave 1. Firkant AB
Page 26 and 27:
Opgaver · 1998Opgave 1. På den vi
Page 28 and 29:
Opgaver · 1996Opgave 1. I trekant
Page 30 and 31:
Opgaver · 1994Opgave 1. Et vinglas
Page 32 and 33:
Opgaver · 1992Opgave 1. En mand i
Page 34 and 35:
Løsninger · 2010Opgave 1. Fire re
Page 36 and 37:
Løsninger · 2010dvs. |BF| = 2 3 |
Page 38 and 39:
Løsninger · 2009(x − 1)(x − 2
Page 40 and 41:
Løsninger · 2009Da n er lige, ska
Page 42 and 43: Løsninger · 2008netop et par. Hve
Page 44 and 45: Løsninger · 2007Opgave 3. En sned
Page 46 and 47: Løsninger · 2007Opgave 5. Tallene
Page 48 and 49: Løsninger · 2006Opgave 3. Et natu
Page 50 and 51: Løsninger · 2005Opgave 1. Figuren
Page 52 and 53: Løsninger · 2005Opgave 5. For hvi
Page 54: Løsninger · 2004Opgave 4. Find al
Page 57 and 58: Georg Mohr-Konkurrencen⊲median⊲
Page 59 and 60: Løsninger · 2002Opgave 1. Fra et
Page 61 and 62: Løsninger · 2001Opgave 1. Til geo
Page 63 and 64: Løsninger · 2000Opgave 1. Firkant
Page 65 and 66: Løsninger · 1999Opgave 1. I et ko
Page 67 and 68: Løsninger · 1999Opgave 4. Nanna o
Page 69 and 70: Georg Mohr-KonkurrencenOpgave 3. P
Page 71 and 72: Løsninger · 1997Opgave 1. Lad n =
Page 73 and 74: Løsninger · 1997Opgave 5. Et 7 ×
Page 75 and 76: Georg Mohr-KonkurrencenOpgave 3. Å
Page 77 and 78: Løsninger · 1995Opgave 1. Et trap
Page 79 and 80: Løsninger · 1995Opgave 5. I plane
Page 81 and 82: Georg Mohr-KonkurrencenOpgave 3. Tr
Page 83 and 84: Løsninger · 1993Opgave 1. Tre kam
Page 85 and 86: Løsninger · 1993⊲kombination⊲
Page 87 and 88: Georg Mohr-KonkurrencenOpgave 3. La
Page 89 and 90: Løsninger · 1991⊲afstandsformle
Page 91: Begreber og definitionerPå de føl
Page 95 and 96: Kombinatorik, TalteoriKombinatorikM
Page 97: 2 0 1 1GEORG MOHR-KONKURRENCEN OPGA
show all

georg mohr-konkurrencen. opgaver og lÃ¸sninger 1991-2010.

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?