georg mohr-konkurrencen. opgaver og løsninger 1991-2010.

Løsninger · 1997Opgave 3. Om femkant ABCDE vides at vinkel A og vinkel C er rette, og at siderne|AB| = 4, |BC| = 5, |CD| = 10, |DE| = 6. Endvidere gælder det at punktet C ′ , derfremkommer ved spejling af C i linjen BD, ligger på linjestykket AE. Find vinkel E.Løsning. I den retvinklede trekant ABC ′ er |AC ′ | = 3 (benyt Pythagoras). Så ersin(∠ABC ′ ) = 3 5 . Da ∠EC′ D + ∠AC ′ B = 90 ◦ (se på vinklerne omkring C ′ ) og∠ABC ′ + ∠AC ′ B = 90 ◦ (udnyt vinkelsum i trekant ABC ′ ), er ∠EC ′ D = ∠ABC ′ .Altså er sin(∠EC ′ D) = 3 5 . Sinusrelationen i trekant EC′ D siger nu atsin(∠DEC ′ )10= sin(∠EC′ D),6hvoraf sin(∠DEC ′ ) = 10 6 · sin(∠EC′ D) = 10 6 · 35 = 1. Altså er ∠E = 90◦ .A4B55CC ′1010E6DOpgave 4. Find alle par (x, y) af naturlige tal som tilfredsstiller ligningenx 2 − xy + 2x − 3y = 1997.Løsning. Da xy + 3y = (x + 3)y og x 2 + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1), kan den givneligning omskrives til (x + 3)(x − 1) − (x + 3)y = 1994 og videre til(x + 3)(x − 1 − y) = 1994.Tallet 1994 har primfaktorerne 2 og 997. De eneste mulige faktoriseringer aftallet 1994 er så 1994 · 1 og 997 · 2. Da x + 3 er den største af faktorerne, fåsderfor enten x + 3 = 1994 og x − 1 − y = 1, eller x + 3 = 997 og x − 1 − y = 2.Heraf fås løsningssættene (x, y) = (1991, 1989) og (x, y) = (994, 991).61