georg mohr-konkurrencen. opgaver og løsninger 1991-2010.

Georg Mohr-Konkurrencen⊲median⊲ensvinkledetrekanterOpgave 4. Georg og hans mor elsker pizza. De køber en pizza som er formetsom en ligesidet trekant. Georg kræver at få lov til at dele pizzaen ved et lige snitog dernæst vælge først. Moren accepterer modvilligt, idet hun dog vil pege på etpunkt i pizzaen som snittet skal passere. Bestem den største brøkdel af pizzaensom moren med denne procedure med sikkerhed kan få.Løsning. Georgs mor kan sikre sig mindst 4 9af pizzaen ved at pege på medianernesskæringspunkt G, og det viser vi ved at hun mindst får 4 9når hun peger påG, hvorimod Georg kan sørge for at hun får mindre end 4 9hvis hun peger på etandet punkt.Antag først at Georgs mor peger på medianernes skæringspunkt G. HvisGeorg skærer parallelt med en af siderne gennem dette punkt, deler han pizzaeni et trapez og en ligesidet trekant hvis sidelængde er 2 3af pizzaens sidelængdeda medianerne deler hinanden i forholdet 2 til 1. Arealet af det trekantedestykke udgør derfor ( 2) 23 =49 af hele pizzaen, altså får Georgs mor mindst 4 9 afpizzaen. Hvis Georg skærer pizzaen i en linje som ikke er parallel med nogen afsiderne, navngiver vi pizzaens hjørner A, B og C og snittets skæringspunkter medtrekantens sider D og E således at D ligger på AC, E ligger på BC, og afstandenfra D til AB er mindre end afstanden fra E til AB. Linjen gennem G parallel medAB skærer AC i M og BC i N.CDMFHGENALad T betegne areal. Vi ønsker at vise atB59 T (△ABC) = T (□AMNB) > T (□ADEB) ≥ 1 2 T (△ABC),⊲kongruentetrekanterda dette viser at Georgs mor i dette tilfælde får mere end 4 9af pizzaen. Vi harallerede vist det første lighedstegn. Tegn en linje gennem M parallelt med linjenBC, og kald linjens skæringspunkt med DE for F, og linjens skæringspunkt medmedianen fra A for H. Da er △MFG og △NEG kongruente da deres sider erparvis parallelle, og G er midtpunktet af MN, altså har de samme areal. DermederT (□AMNB) = T (□ADEB) + T (△DFM) > T (□ADEB).46