georg mohr-konkurrencen. opgaver og løsninger 1991-2010.

Løsninger · 2005Opgave 5. For hvilke reelle tal p har ligningssystemetx 4 1 + 1 x 2 1x 4 2 + 1 x 2 2= px 2 ,= px 3 ,.x2004 4 + 1x20042 = px 2005 ,x2005 4 + 1x20052 = px 1netop én løsning (x 1 , x 2 , . . . , x 2005 ), hvor x 1 , x 2 , . . . , x 2005 er reelle tal?Løsning. Da ligningssystemets venstresider alle er positive, er der ingen løsningernår p = 0. Desuden er (x 1 , x 2 , . . . , x 2005 ) en løsning for p netop hvis(−x 1 , −x 2 , . . . , −x 2005 ) er en løsning for −p. Det er derfor tilstrækkeligt at se påtilfældet hvor p er positiv. Først overvejer vi hvad der sker hvis x 1 = x 2 = · · · =x 2005 = x. I dette tilfælde er alle ligningerne x 4 + 1 x= px, og hvis denne ligning2har mere end en løsning, har det oprindelige ligningssystem også. Ligningen kanomformes til den skjulte andengradsligning (x 3 ) 2 −px 3 +1 = 0 ved at gange medx 2 på begge sider (bemærk x ≠ 0), og denne ligning har mere end en løsning hvisdiskriminanten (−p) 2 − 4 · 1 · 1 = p 2 − 4 er positiv, dvs. hvis p > 2. Vi kan derforslutte at p ≤ 2 hvis det oprindelige ligningssystem skal have højst en løsning.Hvis 0 < p ≤ 2 og (x 1 , x 2 , . . . , x 2005 ) er en løsning, erpx i+1 = x 4 i + 1 x 2 i=(x 2 i − 1 x i) 2+ 2xi ≥ 2x i ,og dermedx i+1 ≥ 2 p x i ≥ x ifor alle i = 1, 2, . . . , 2005 (bemærk at her opfattes x 2005+1 = x 1 ). Altså er x 1 ≤x 2 ≤ · · · ≤ x 2005 ≤ x 1 , og dermed er tallene x 1 , x 2 , . . . , x 2005 alle ens. Faktoren 2 pi uligheden ovenfor er dermed 1, så p = 2, og tallene x 1 , x 2 , . . . , x 2005 er løsningertil ligningen (x 3 ) 2 − 2x 3 + 1 = 0, dvs. x 1 = x 2 = · · · = x 2005 = x = 1. Der eraltså netop en løsning til ligningssystemet for p = 2. I alt kan vi konkludere atligningssystemet har præcis en løsning netop når p = ±2.41