georg mohr-konkurrencen. opgaver og løsninger 1991-2010.

Georg Mohr-KonkurrencenOpgave 3. Lad x og y være positive tal med x + y = 1. Vis at( 1 )( 1 )1 + 1 + ≥ 9.x yLøsning. Vi viser uligheden ved at påvise at den er ensbetydende med et sandtudsagn. Ved multiplikation med det positive tal xy omskrives den ønskedeulighed til (x + 1)(y + 1) ≥ 9xy. Med brug af x + y = 1 kan venstre sideomskrives: (x + 1)(y + 1) = x + xy + y + 1 = xy + (x + y) + 1 = xy + 2. Vi skalaltså vise at xy + 2 ≥ 9xy, dvs.14 ≥ xy.Ved igen at udnytte x +y = 1 kan denne ulighed videre omskrives til 1 4 ≥ x(1−x)eller x 2 − x + 1 4 ≥ 0, dvs. (x − 1 2 )2 ≥ 0. Da dette er sandt for alle værdier af x, erden oprindelige ulighed hermed bevist.⊲medianOpgave 4. Lad a, b og c betegne sidelængderne og m a , m b og m c medianerneslængder i en vilkårlig trekant. Vis at34 < m a + m b + m c< 1.a + b + cVis endvidere at der ikke findes noget snævrere interval der for enhver trekantindeholder størrelsenm a + m b + m c.a + b + cLøsning. Medianerne skærer hinanden i et punkt M, og de deler hinanden iforholdet 2 : 1. Ved betragtning af trekant BMC fåsa < 2 3 m b + 2 3 m c,idet en side i en trekant altid er mindre end summen af de to øvrige sider.Tilsvarende fås for trekant AMC og trekant AMBAMCVed addition af de tre uligheder fåsBb < 2 3 m a + 2 3 m c,c < 2 3 m a + 2 3 m b.Acm abBCbm aca + b + c < 4 3 m a + 4 3 m b + 4 3 m c76