Kapitel 2

surjektiv ist. Damit ist dann X isometrisch isomorph zu seinem Bidualraum X ∗∗ .
Beispiele für reflexive Banachräume sind Hilberträume, L p -Räume und W 1,p -Räume
für 1 < p < ∞.
Die Lebesgue-Räume L 1 und L ∞ , die Sobolev-Räume für p = 1 und p = ∞ als auch
die üblichen Räume von stetigen Funktionen (C(K), K ⊂ R N kompakt, Cb(Ω),
Ω ⊂ R N lokal kompakt, C0(Ω) etc.) sind nicht reflexiv.
Nach dem Satz von Komura (vgl. VL DGL 2) ist, wenn X reflexiv ist, eine absolutstetige
vektorwertige Abbildung v : [0, T ] → X fast überall differenzierbar, ihre
Ableitung d
dt v ∈ L1 (0, T ; X) und v ist als Integral über die Ableitung darstellbar:
t d
v(t) − v(s) = v(σ) dσ, 0 ≤ s ≤ t ≤ T.
dσ
s
Ist v : [0, T ] → X Lipschitz-stetig (und damit insbesondere absolutstetig), gilt für
die Ableitung sogar d
dt v ∈ L∞ (0, T ; X), wie man leicht nachprüft.
Beweis:
Seien u0 ∈ D(A) und u ∈ C([0, T ]; X), T > 0, eine zugehörige milde Lösung von
(sACP).
Als milde Lösung erfüllt u die Integralgleichung
t
u(t) = S(t)u0 + S(t − s)F (u(s)) ds, ∀t ∈ [0, T ].
0
Da u0 ∈ D(A), ist die Funktion t ∈ [0, ∞[↦→ S(t)u0 stetig differenzierbar mit
d
dt S(t)u0 = AS(t)u0 = S(t)Au0 für alle t ≥ 0.
Bezeichnen wir
t
v(t) := S(t − s)F (u(s)) ds, t ∈ [0, T ],
0
so bleibt nun zu zeigen, dass v stetig differenzierbar ist und
d
v(t) = Av(t) + F (u(t)), ∀t ∈ [0, T ]. (2.8)
dt
Wir werden dazu zunächst zeigen, dass die milde Lösung u Lipschitz-stetig ist.
Dazu betrachten wir für kleines h > 0, t ∈ [0, T − h[
u(t + h) − u(t) = S(t + h)u0 − S(t)u0 +
=:T1
t+h
t
S(t + h − s)F (u(s)) ds − S(t − s)F (u(s)) ds .
0
=:T2
0
Der erste Term schreiben wir als Integral über die Ableitung
t+h
T1 = S(s)Au0 ds.
t
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