Kapitel 2

Außerdem gilt folgende Abschätzung für ein u ∈ H 1 0 (Ω) ∩ H2 (Ω):
ux L 2 ≤ u L 2uxx L 2 ≤ 1
2 (u L 2 + uxx L 2)
(die erste Ungleichung folgt für glattes u ∈ C∞ 0 (Ω) sofort mittels partieller Integration,
für allgemeines u ∈ H1 0 (Ω) ∩ H2 (Ω) durch Approximation).
Aus den Einbettungssätzen folgt zunächst einmal, dass mit u ∈ H1 0 (Ω) ∩ H2 (Ω) ⊂
C1 (Ω) auch up ∈ C1 (Ω) und up (0) = up (π) = 0, und somit up ∈ H1 0 (Ω). Desweiteren
ist (u p )xx = p(p − 1)u p−2 (ux) 2 + pu p−1 uxx (für glatte Funktionen u ist das trivial;
für u ∈ H 2 (Ω) folgt dies wie üblich durch Approximation, vgl. VL DGL 2). Da
uxx ∈ L 2 (Ω), ux, u p−2 und u p−1 ∈ L ∞ (Ω), folgt sofort, dass auch (u p )xx ∈ L 2 (Ω),
d.h. aber u p ∈ H 2 (Ω). Somit ist gezeigt, dass F wohldefiniert ist.
Der Nachweis der lokalen Lipschitz-Stetigkeit ist Inhalt einer Übungsaufgabe.
Bemerkung: Anstelle der speziellen Nichtlinearität f(u) = −u + u p (mit p ∈ N,
p ≥ 2) kann man ganz analog eine beliebige Nichtlinearität f ∈ C 3 (R) mit f(0) = 0
behandeln.
Ein analoges Resultat ist im mehrdimensionalen Fall (für Gebiete Ω ⊂ R N ) nur
für die Raumdimensionen N = 2, 3 zu erzielen (die Wohldefiniertheit und lokale
Lipschitz-Stetigkeit von F zeigt man in diesem Fall mit Hilfe der dann noch gültigen
Sobolev’schen Einbettungssätze (siehe etwa H. Brézis, Analyse fonctionnelle)
H 2 (Ω) ↩→ C(Ω) sowie H 1 (Ω) ↩→ L 6 (Ω).
Eine andere Art von Regularisierungseffekt ist zu beobachten, wenn der Operator A
Erzeuger einer analytischen Halbgruppe ist:
Satz 2.6
Es sei A der Generator einer beschränkten analytischen Halbgruppe (S(t))t≥0 auf
dem Banachraum X, F : X → X sei eine lokal Lipschitz-stetige Abbildung, u0 ∈ X.
Wenn u ∈ C([0, T ]; X) eine milde Lösung des semilinearen Cauchyproblems (sACP),
dann gilt schon u ∈ C 1 (]0, T ]; X) ∩ C(]0, T ]; D(A)).
Beweis:
Sei u ∈ C([0, T ]; X) eine milde Lösung von (sACP), d.h.
t
u(t) = S(t)u0 + S(t − s)F (u(s)) ds,
∀ 0 ≤ t ≤ T.
0
=:v(t)
Da (S(t))t≥0 eine beschränkte analytische Halbgruppe, ist die Funktion S(·)u0 ∈
C(]0, T ]; D(A)) ∩ C 1 (]0, T ]; X) (ja sogar ∈ C ∞ (]0, T ]; X)).
Wir werden zeigen, dass
v(t) ∈ D(A) ∀ 0 < t ≤ T,
und die Funktion
t ∈]0, T ] ↦→ Av(t) ∈ X stetig ist.
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