Kapitel 2

sowie
√
λπ
0 = u(π) = c1e + c2e −√λπ .
Als einzige Lösung dieses Gleichungssystem ergibt sich c1 = c2 = 0, d.h. aber das
homogene Problem besitzt nur die triviale Lösung.
Es folgt, dass ϱ(A) ⊃]0, ∞[.
Aus dem schwachen Maximumsprinzip folgt weiter, dass für jede klassische Lösung
u von (2.10) gilt 1
d.h. aber
−f − ∞ ≤ λu(x) ≤ f + ∞
λu∞ = λRA(λ)f∞ ≤ f∞.
∀x ∈ [0, π],
Damit ist gezeigt, dass A die Voraussetzungen des Satzes von Hille-Yosida erfüllt
sind.
Es ist ausserdem leicht nachzurechnen, dass
F : X → X
u ↦→ −u + u p
wohldefiniert und lokal Lipschitz-stetig ist.
Folglich besitzt das zugehörige semilineare abstrakte Cauchyproblem in X für alle
u0 ∈ X eine eindeutige lokale milde Lösung.
Leider ist X nicht reflexiv. Somit ist der Regularitätssatz 2.4 nicht anwendbar, und
es bleibt zunächst offen, ob die milde Lösung bereits eine klassische Lösung ist.
Der folgende Satz bietet einen Ausweg aus dem ersten oben beschriebenen Dilemma:
eine Nichtlinearität F ist nicht auf dem ganzen Banachraum X, der angesichts des
Operators A eine natürliche Wahl darstellt, definiert oder zwar definiert, aber nicht
lokal Lipschitz-stetig auf X. Wenn es in dieser Situation möglich ist, zu zeigen, dass
die Nichtlinearität F eingeschränkt auf dem Banachraum (D(A), | · |) ausgestattet
mit der Graphennorm wohldefiniert und lokal Lipschitz-stetig ist, dann kommt
folgender Satz zur Anwendung:
Satz 2.5
Sei A der Erzeuger einer C0-Halbgruppe von Kontraktionen auf X, X1 der Banachraum
(D(A), | · |) ausgestattet mit der Graphennorm
|u| = uX + AuX, u ∈ D(A).
Weiter seien F : X1 → X1 lokal Lipschtiz stetig, u0 ∈ D(A).
Dann besitzt das (sACP) eine eindeutige klassische Lösung u ∈ C 1 ([0, T (u0)[; X) ∩
C([0, T (u0)[; D(A)), d.h. jede milde Lösung von (sACP) ist bereits klassische Lösung.
1 Zur Erinnerung die Argumentation für die 2. Ungleichung: wenn u ≤ 0 auf [0, π], dann ist
die Ungleichung trivial. Ansonsten existiert x0 ∈]0, π[ so, dass u(x0) = max[0,π] u. Dann gilt aber
u ′ (x0) = 0 und u ′′ (x0) ≤ 0, und es folgt mit Hilfe der DGL
λu(x) ≤ λu(x0) ≤ λu(x0) − uxx(x0) = f(x0) ≤ f + (x0) ≤ f + ∞ für alle x ∈ [0, π].
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