Kapitel 2

mit
f : [0, T ] → X
t ↦→ F (u(t))
ist.
Insbesondere erfüllt u die Integralgleichung (vgl. Duhamel-Formel, Kapitel 1)
t
u(t) = S(t)u0 + S(t − s)F (u(s)) ds, ∀t ∈ [0, T ].
0
Da diese Formel bereits für nur stetige Funktionen u : [0, T ] → X sinnvoll ist, geben
wir in Anlehnung an das nicht-homogene abstrakte Cauchyproblem folgende
Definition 2.2
Eine milde Lösung von (sACP) auf [0, T ], T > 0, ist eine Funktion u ∈ C([0, T ]; X),
die der Integralgleichung
genügt.
t
u(t) = S(t)u0 + S(t − s)F (u(s)) ds ∀t ∈ [0, T ]
0
Die folgenden Ergebnisse über Eindeutigkeit, lokale und globale Existenz von (milden)
Lösungen des semi-linearen abstrakten Cauchyproblems erinnern sowohl in den
Resultaten als auch in den Beweismethoden vielfach an die entsprechenden Ergebnisse,
die wir bereits aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen kennen.
Lemma 2.1 (Eindeutigkeit von milden Lösungen)
Seien u, v ∈ C([0, T ]; X) milde Lösungen des semilinearen Anfangswertproblems
(sACP) zum gleichen Anfangswert u0 ∈ X. Dann gilt u(t) = v(t) für alle t ∈ [0, T ].
Beweis:
Seien K := supt∈[0,T ] max{u(t)X, v(t)X} und M > 0, ω ∈ R mit S(t)B(X) ≤
Meωt für alle t ≥ 0. Durch Subtraktion der beiden jeweils von u bzw. v erfüllten
Integralgleichungen erhalten wir nun leicht folgende Abschätzung in der Norm:
t
u(t) − v(t)X ≤ S(t − s)(F (u(s)) − F (v(s))X ds
≤
0
T
Me ω(t−s) L(K)u(s) − v(s)X ds
0
für alle t ∈ [0, T ].
Mit Hilfe des Lemmas von Gronwall (vgl. VL DGL 1 oder die etwas allgemeinere
Version unten) folgt
u(t) − v(t)X ≤ 0 ∀t ∈ [0, T ],
d.h. aber gerade, dass u(t) = v(t) für alle t ∈ [0, T ]. ✷
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