Kapitel 2

d.h. es ist
f(t) 2
2 ≤
π
0
u 2 1/2 (t, x) sin(x) dx .
Zusammen mit obiger Differentialgleichung für f folgt somit, dass f ∈ C([0, T (u0)[)∩
C 1 (]0, T (u0)[) eine Lösung des folgenden Anfangswertproblems für eine Differentialungleichung
ist:
⎧
⎨
⎩
df
f(t)2
(t) ≥ −2f(t) +
dt 2
f(0) = π
0 u0(x) sin(x) dx.
Betrachten wir nun das Anfansgwertproblem
⎧
⎨
⎩
dg
g(t)2
(t) ≥ −2g(t) +
dt 2
g(0) = 5.
Die Differentialgleichung ist vom Typ ” getrennte Veränderliche“, und mit den expliziten
Lösungsmethoden aus der VL DGL 1 finden wir die explizite Form der
maximalen Lösung g des Anfangswertproblems:
g(x) =
4
1 − 1
5 e2x
und das zugehörige maximale Existenzintervall [0, ln(5)
2 [. Insbesondere gilt
lim
t↗
ln 5
2
g(t) = +∞. (2.18)
Ist nun
π
f(0) = u0(x) sin(x) dx ≥ 5
0
(d.h. ist das Anfangsdatum u0 ∈ C([0, π]) genügend groß“), dann folgt aus dem
”
Vergleichsprinzip für gewöhnliche Differentialgleichungen (siehe VL DGL 1, oder
auch W. Walter, Gewöhnliche Differentialgleichungen, 7. Auflage, II.§ 9), dass
ln 5
g(t) ≤ f(t) für alle t ≤ min , T (u0) .
2
Wäre nun T (u0) >
lim
t↗
ln 5
2
f(t) = +∞.
Da aber
π
f(t) = u(t, x) sin(x) dx
0 π
≤ u(t, ·)∞ sin(x) dx
= 2u(t, ·)∞,
ln 5
2 , dann ergäbe sich aus dem Vergleichsprinzip aus (2.18), dass
0
63