Kapitel 2

Da t ↦→ f(t) Lipschitz-stetig auf [0, T ], ist f nach dem Satz von Komura fast überall
differenzierbar mit f ′ ∈ L ∞ (0, T ; X). Da außerdem wegen der Lipschitz-Stetigkeit
f(s + h) − f(s)
h ≤ L für alle h > 0, 0 ≤ s ≤ T − h,
X
folgt aus dem Satz der dominierten Konvergenz von Lebesgue, dass
f(· + h) − f(·)
h
→ f ′
in L 1 (0, t; X), ∀0 ≤ t < T.
Da (S(t))t≥0 Kontraktionshalbgruppe, folgt sofort, dass dann auch
f(· + h) − f(·)
S(t − ·) → S(t − ·)f
h
′ (·) in L 1 (0, t; X), ∀ 0 ≤ t < T.
Somit ist gezeigt, dass
lim
h→0 +
v(t + h) − v(t)
=
h
t
S(t − s)f ′ (s) ds + S(t)f(0) ∀ t ∈ [0, T [, (2.9)
0
d.h. v ist in jedem Punkt t ∈ [0, T [ rechtsseitig differenzierbar und t ↦→ d+ v
dt ist stetig
auf [0, T [. Da v als Lipschitz-stetige Funktion f.ü. differenzierbar auf ]0, T [ und als
Integral der Ableitung darstellbar ist, folgt somit
t
t
dv
v(t) − v(s) = (σ) dσ =
dσ
s
s
d + v
(σ) dσ ∀ 0 ≤ s ≤ t ≤ T,
dσ
und aus der Stetigkeit der (rechtsseitigen) Ableitung folgt nun sofort, dass v auch
linksseitig differenzierbar auf ]0, T [ ist und
d−v (t) = lim
dt h→0 +
v(t) − v(t − h)
= lim
h
h→0 +
t 1 d
h t−h
+ v
dσ v(σ) dσ = d+ v
(t) ∀ t ∈]0, T [.
dt
Folglich ist v ∈ C1 ([0, T [; X).
Die linksseitige Differenzierbarkeit in T zeigt man mit ähnlichen Argumenten:
T
v(T ) − v(T − h)
f(s) − f(s − h)
= S(T − s) ds +
h
0
h
1
h
S(T − σ)f(σ − h) dσ
h 0
T
→ S(T − s)f ′ (s) ds + S(T )f(0) = lim
t→T − v′ (t),
0
und es ist nun noch (2.8) zu zeigen (die in (2.9) erzielte Darstellung der Ableitung
hilft uns da leider nicht weiter...).
Wir betrachten deshalb für h > 0, 0 ≤ t ≤ T − h,
S(h) − I
v(t) =
h
= v(t + h) − v(t)
S(h) − I
h
t
S(t − s)f(s) ds
0
h
− 1
h
t+h
S(t + h − s)f(s) ds.
Da v differenzierbar auf [0, T ] und der Integrand des zweiten Integrals stetig ist, konvergiert
die rechte Seite der obigen Gleichung gegen v ′ (t) + f(t), für alle t ∈ [0, T [.
Die Existenz des Limes limh→0 + S(h)−I
h v(t) impliziert, dass v(t) ∈ D(A) und Av(t) =
limh→0 + S(h)−I
h v(t) = v ′ (t) + f(t) = v ′ (t) + F (u(t)) für alle t ∈ [0, T [.
47
t