Kapitel 2

für s ∈ [δ, t[.
Insgesamt folgt also, dass die stetige Funktion s ↦→ AS(t − s)(F (u(s)) − F (u(t))) auf
ganz [0, t[ in der Norm beschränkt ist.
Mit dem Satz der dominierten Konvergenz von Lebesgue ergibt sich somit die Konvergenz
t−ɛ
Av1,ɛ(t) = AS(t − s)(F (u(s)) − F (u(t)) dt
0
t
→ AS(t − s)(F (u(s)) − F (u(t)) dt
0
für ɛ → 0, für alle t > 0.
Zusammen mit (2.14) folgt daher aus der Abgeschlossenheit des Operators
t
v1(t) ∈ D(A) und Av1(t) = AS(t − s)(F (u(s)) − F (u(t)) dt
für alle t ∈]0, T ].
Zudem ergibt sich aus der so gewonnenen Darstellung Av1 als Integral über eine
stetige beschränkte Funktion sofort auch die gesuchte Stetigkeit der Funktion Av1.
✷
Anwendung des Satzes 2.6 auf das Anfangs-/Randwertproblem für die semilineare
partielle Differentialgleichung
(P 2)
⎧
⎨
⎩
0
ut = uxx − u + u 2 , t > 0, x ∈]0, π[=: Ω
u(t, 0) = u(t, π) = 0 , t > 0
u(0, x) = u0(x) , x ∈ [0, π]
Wir wählen für die abstrakte Formulierung den Banachraum X = {f ∈ C([0, π]); f(0) =
f(π) = 0}. Die Realisierung des Laplace-Operators A in X lautet:
D(A) = {u ∈ X ∩ C 2 ([0, π]; uxx ∈ X},
Au = uxx, u ∈ D(A).
Wir haben bereits gesehen, dass A eine C0-Halbgruppe von Kontraktionen in X
erzeugt. Man kann zeigen, dass diese Halbgruppe beschränkt analytisch ist (siehe
etwa A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential
equations, Chapter 7). Offensichtlich ist ausserdem die Abbildung
F : X → X
u ↦→ −u + u 2
lokal Lipschitz-stetig. Aus dem Satz 2.1 folgt, dass das semi-lineare Anfangswertproblem
du
(sACP) dt = Au + F (u) , t > 0
u(0) = u0 ∈ X
für alle u0 ∈ C([0, π]) eine eindeutige maximale milde Lösung u ∈ C([0, T (u0)[; C([0, π])).
Nach Satz 2.6 ist die milde Lösung u ∈ C 1 (]0, T ]; C 2 ([0, π])), und für alle t ∈]0, T (u0)[
gilt
du
(t)Au(t) = −u(t) + u(t)2
dt
in C([0, π]),
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