Kapitel 2

mit der von à erzeugten skalierten Halbgruppe ˜ S(t))t≥0 = (e−ωtS(t))t≥0. Es ist nicht
offensichtlich, dass u dann auch die Integralgleichung
t
u(t) = S(t)u0 + S(t − s) ˜ F (u(s)) ds, t ∈ [0, T ],
0
erfüllt, d.h. die milde Lösung von (sACP) ist; siehe dazu Übung).
Satz 2.1 (Lokale Existenz)
Sei A der Erzeuger einer Kontraktionshalbgruppe (S(t))t≥0 auf X, F wie in (**).
Sei M > 0, u0 ∈ X mit u0X ≤ M. Dann existiert TM > 0, so dass (sACP) eine
eindeutige milde Lösung auf [0, TM] besitzt.
Beweis:
Das Problem der Existenz einer milden Lösung lässt sich leicht als ein Fixpunktproblem
formulieren. Setze dazu
1
K := 2M + F (0)X, TM :=
2(L(K) + 1)
und definiere die Menge
E := {u ∈ C([0, TM]; X); u(t)X ≤ K ∀t ∈ [0, TM]}.
E ist eine nicht-leere, abgeschlossene Teilmenge des Banachraumes (C([0, TM]; X),
·∞); ·∞ bezeichnet hier die übliche Supremumsnorm: u∞ = maxt∈[0,TM ] u(t)X
für u ∈ C([0, TM]; X). Mit der durch die · ∞-Norm induzierten Metrik d(u, v) =
u − v∞ ist somit (E, d) ein nicht-leerer, vollständiger metrischer Raum.
Wir definieren nun eine Abbildung Φ : E → C([0, TM]; X) durch
t
Φ(u)(t) := S(t)u0 + S(t − s)F (u(s)) ds, ∀t ∈ [0, TM].
0
Aus der Kontraktionseigenschaft der Halbgruppe und der lokalen Lipschitz-Stetigkeit
von F folgt leicht die Abschätzung
t
Φ(u)(t)X ≤ u0X + F (u(s))X ds
0
t
≤ u0X + F (u(s)) − F (0)X + F (0)X ds
0
t
≤ u0X + L(K)u(s)X + F (0)X ds
0
≤ M + tK(L(K) + 1)
≤ M + K
2
(nach Wahl von TM)
≤ K
für alle u ∈ E. Folglich ist Φ(u) ∈ E für alle u ∈ E, d.h. Φ : E → E ist eine
Selbstabbildung.
Mit ähnlichen Argumenten erhält man für alle u, v ∈ E, t ∈ [0, TM], die Abschätzung
t
Φ(u)(t) − Φ(v)(t)X ≤ L(K) u(s) − v(s)X ds
0
≤ L(K)TMu − v∞
≤ 1
u − v∞,
2
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