Kapitel 2

Insbesondere ist auch die Funktion s ∈ [0, t] ↦→ S1(t−s)F (u(s)) = S(t−s)F (u(s)) ∈
X1 stetig, und ihr Integral über [0, t], d.h. v(t), Limes von Riemann-Summen:
n
S t − j t
F u j t
vn(t) := t
n
j=1
n
∈X1=D(A) !
n
→ v(t) für n → ∞. (2.13)
Als nächstes bemerken wir, dass (2.12) offensichtlich impliziert, dass auch die Funktion
s ∈ [0, T [↦→ AF (u(s)) ∈ X stetig ist. Somit ist dann auch die Abbildung
s ∈ [0, t] ↦→ S(t − s)AF (u(s)) = AS(t − s)F (u(s)) ∈ X stetig. Das Riemann-Integral
über [0, t], t ∈ [0, T [, ist somit wohldefiniert, und es ist
t
lim
n→∞ n
n
S
j=1
t − j t
n
AF
u
j t
n
t
= S(t − s)AF (u(s)) ds.
Dank der Linearität des Operators kann A aus den Riemann-Summen herausgezogen
werden, und so erhalten wir
n
t
S t − j
n
t
AF u j
n
t
⎡
= A ⎣
n
t
n
S t − j
n
t
F u j
n
t
n
⎤
⎦
j=1
d.h. für alle t ∈ [0, T [ gilt:
Avn(t) →
0
= Avn(t),
j=1
t
S(t − s)AF (u(s)) ds für n → ∞.
0
Zusammen mit (2.13) und der Abgeschlossenheit des Operators A folgt so
und
v(t) ∈ D(A) für alle t ∈ [0, T [,
t
Av(t) = A S(t − s)F (u(s)) ds =
0
t
S(t − s)AF (u(s)) ds,
und aus der Stetigkeit des Integranden folgt die Stetigkeit der Funktion t ∈ [0, T [↦→
Av(t).
Auf der anderen Seite ist, für 0 ≤ t < t + h < T ,
S(h) − I
v(t) =
h
v(t + h) − v(t)
h
− 1
h
0
t+h
S(t + s − h)F (u(s)) ds.
Da v(t) ∈ D(A), konvergiert die linke Seite, für h → 0 + , gegen Av(t). Gleichzeitig
folgt aus der Stetigkeit des Integranden, dass
1
h
t+h
S(t + s − h)F (u(s)) ds → F (u(t)) für h → 0 + .
t
Somit folgt, dass v rechtsseitig differenzierbar auf [0, T [ mit
d +
v(t) = Av(t) + F (u(t)) ∀ t ∈ [0, T [.
dt
55
t