Kapitel 2

Wir definieren nun
τn := sup{t ∈ [0, T (u0n)[; un(s)X ≤ 2M ∀s ∈ [0, t]}.
Wegen (2.4) ist klar, dass τn > 0.
Auf dem Intervall [0, min{τn, T }] existieren sowohl die milde Lösung u als auch
die milde Lösung un; beide Funktionen sind außerdem auf diesem Intervall in der
Norm durch 2M beschränkt. Durch Subtraktion der Integralgleichungen für u und
un erhalten wir dann leicht die Abschätzung
t
u(t) − un(t)X ≤ u0 − u0nX + L(2M) u(s) − un(s)X ds
für alle 0 ≤ t ≤ min{τn, T }.
Mit Hilfe des Lemmas von Gronwall folgt
u(t) − un(t)X ≤ u0 − u0nXe L(2M)t
≤ u0 − u0nXe L(2M)T
für alle 0 ≤ t ≤ min{τn, T }.
Hieraus ergibt sich nun leicht die Abschätzung
sup un(t)X ≤ sup u(t)X + u0 − u0nXe
0≤t≤min{τn,T }
0≤t≤min{τn,T }
L(2M)T
≤ M
2 + u0 − u0nXe L(2M)T .
Da u0 − u0nXe L(2M)T → 0 für n → ∞, folgt somit
0
(2.5)
un(t)X ≤ M ∀0 ≤ t ≤ min{τn, T }, für alle n genügend groß. (2.6)
Aus dieser Abschätzung folgt nun sofort, dass
τn > T für alle n genügend groß. (2.7)
In der Tat: ist τn ≤ T , dann gilt nach Definition von τn und wegen der Stetigkeit
von un, dass un(τn)X = 2M. Dies steht aber im offensichtlichen Widerspruch zu
(2.6).
Aus (2.7) folgt nun zunächst T (u0n) > T , und da 0 < T < T (u0) beliebig gewählt
war, ergibt sich daraus
T (u0n) > T (u0) für alle n genügend groß.
Insbesondere folgt
lim inf
n→∞ T (u0n) ≥ T (u0).
Aus (2.5) folgt nun sofort auch die gesuchte Konvergenz un → u in C([0, T ]; X) für
alle 0 < T < T (u0). ✷
Bemerkung: Die Funktion T : X →]0, ∞] ist i.a. nicht stetig. Dies ist selbst dann
nicht der Fall, wenn A = 0 und X = R N (d.h. es sich um ein nicht-lineares AWP
für eine gewöhnliche Differentialgleichung handelt).
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