Kapitel 2

sowie
A1xn − yX + A(A1xN) − AyX → 0.
Aus der Eindeutigkeit des Grenzwerts der Folge Axn = A1xn folgt dann sofort,
dass y = Ax. Da nach Voraussetzung y ∈ X1 = D(A), folgt, dass x ∈ D(A 2 ) =
D(A1) und somit A1x = Ax = y.
∗ ]0, ∞[⊂ ϱ(A1):
Da A der Erzeuger einer Kontraktionshalbgruppe in X ist, folgt aus dem Satz
von Hille-Yosida:
∀ λ > 0, ∀ f ∈ X ∃! u ∈ D(A) so, dass λu − Au = f.
Da X1 ⊂ X, besitzt somit die Gleichung λu − Au = f für alle λ > 0 eine
eindeutige Lösung u ∈ D(A) insbesondere für alle f ∈ X1. Schreiben wir die
Gleichung in der Form
Au = λu − f,
sehen wir sofort, dass für f ∈ X1 gilt:
Au ∈ D(A) und somit u ∈ D(A 2 ) = D(A1).
Daher ist dann auch A1u = Au und damit ist gezeigt, dass die Gleichung
λu − A1u = f.
für alle f ∈ X1 eine eindeutige Lösung u ∈ D(A1) besitzt. Somit ist
]0, ∞[⊂ ϱ(A1).
∗ RA1 (λ) : X1 → X1 ist kontraktiv, für alle λ > 0:
Sei f ∈ X1, λ > 0. Da RA1 (λ)f = RA(λ)f für f ∈ X1, λRA(λ) eine Kontraktion
in X ist und ARA(λ) = RA(λ)A auf D(A) (siehe Beweis von Lemma 1.6),
gilt
|λRA1 (λ)f| = λRA1 (λ)fX + λARA1 (λ)fX
= λRA(λ)fX + λARA(λ)fX
= λRA(λ)fX + λRA(λ)AfX
≤ fX + AfX
= |f|.
Nach dem Satz von Hille-Yosida erzeugt somit A1 eine Kontraktionshalbgruppe
(S1(t))t≥0 auf X1. Unter den gegebenen Voraussetzungen an F folgt dann aus Satz
2.1 bzw. 2.2, dass semilineare abstrakte Cauchy-Problem
du
dt = A1u + F (u), t > 0
u(0) = u0
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