Kapitel 2

gilt. Diese ist offensichtlich äquivalent zu
T (u0) − t <
1
. (2.3)
2(L(F (0)X + 2u(t)X) + 1)
Definieren wir M := u(t)X, so ist die Größe auf der rechten Seite der obigen
Ungleichung gerade die im Beweis des vorhergehenden lokalen Existenzsatzes garantierte
lokale Mindest-Existenzzeit“ TM der milden Lösung v des semilinearen
”
Cauchy-Problems
dv
dt = Av + F (v), t > 0
,
v(0) = u(t)
und (2.3) ist äquivalent zur Ungleichung
T (u0) < t + TM.
Wir werden nun zeigen, dass die milde Lösung u ∈ C([0, t]; X) von (sACP) mit
Anfangswert u0 durch die milde Lösung v ∈ C([0, TM]; X) des obigen (sACP)s zum
Anfangswert u(t) zu einer milden Lösung auf dem Intervall [0, t + TM] fortgesetzt
werden kann. Da T (u0) < t + TM, folgt dann der Widerspruch.
Wir definieren dazu w : [0, t + TM] → X durch
u(s) , s ∈ [0, t]
w(s) :=
v(s − t) , s ∈ [t, t + TM].
Da v(0) = u(t), und u, v als milde Lösungen stetige Funktionen sind, ist w offensichtlich
wohl-definiert und stetig. Da w = u auf [0, t], ist w zudem milde Lösung
von (sACP) zum Anfangswert u0 auf [0, t]. Für s ∈ [t, t + TM] gilt
w(s) = v(s − t)
s−t
= S(s − t)u(t) + S(s − t − σ)F (v(σ)) dσ (da v milde Lösung von (*))
0
t
= S(s − t) S(t)u0 + S(t − σ)F (u(σ)) dσ
s
0
+ S(s − ˜σ)F (v(˜σ − t)) d˜σ (Variablentransformation ˜σ = σ + t)
t
t
s
= S(s)u0 + S(s − σ)F (u(σ)) dσ + S(s − σ)F (v(σ − t)) dσ
0 s
t
= S(s)u0 + S(s − σ)w(σ) dσ (nach Definition von w),
0
und somit erfüllt w auch auf [t, t + TM] die erforderliche Integralgleichung, d.h. w
ist milde Lösung von (sACP) zum Anfangswert u0 auf [0, t + TM]. ✷
Bemerkung: Das in (2.2) beschriebene Verhalten der Lösung bezeichnet man als
” Explosion“ ( blow-up“ ). Da eine milde Lösung u entweder global existiert oder
”
aber in endlicher Zeit explodiert, ist es möglich, die globale Existenz einer milden
Lösung zu zeigen, indem man versucht a priori-Abschätzungen für die Norm u(t)X
auf [0, T (u0)[ herzuleiten. Ist die milde Lösung sogar klassische Lösung, können geeignete
Abschätzungen oft leicht durch eine geschickte Wahl von Testfunktionen in
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