2.2.3 Stochastisches Bestandsmanagement - WINFOR

2.2.3 Stochastisches Bestandsmanagement 

Im Folgenden betrachten wir Problemstellungen, 

bei denen die Nachfrage nicht exakt 

prognostiziert werden kann 

Das heißt, obwohl die Nachfrage unsicher ist, ist 

eine Bestellmenge festzulegen 

Dazu arbeiten wir mit stochastischen 

Verteilungen der Nachfrage 

Wir beginnen hierzu mit der Betrachtung 

einperiodischer Modelle, d.h. es wird lediglich 

eine Periode betrachtet, für die eine optimale 

Bestellmenge zu ermitteln ist 

Wirtschaftsinformatik und Operations Research 

228

2.2.3.1 Einperiodisches Bestandsmanagement 

Bei einem einperiodischen Modell wird lediglich 

ein Bestellvorgang betrachtet 

Hierzu ist eine optimale Bestellmenge zu 

ermitteln 

Dabei handelt es sich meist um Anwendungen 

mit sehr verderblichen Gütern, d.h., um Güter, die 

– falls nicht verkauft – in den Folgeperioden 

nicht mehr verwendbar sind 

Mögliche Beispiele sind hierfür 

Tageszeitungen 

Leicht verderbliche Lebensmittel 

Aktionswaren 

Extreme Modeartikel 


229

Newsvendor Problem 

Als klassisches Modell dient in diesem Bereich das so 

genannte „Newsvendor or Newsboy Model“, d.h. das 

„Zeitungsverkäufermodell“ 

Bei diesem Modell wird ein Zeitungsverkäufer betrachtet 

Dieser entscheidet an jedem Morgen, wie viele Zeitungen 

er bestellt 

Für jede Zeitung ist ein Betrag von c Euro Bestellkosten 

zu entrichten 

Dagegen erzielt der Verkäufer einen Erlös von r Euro pro 

verkaufter Zeitung 

Auch ist es möglich, eine nicht verkaufte Zeitung für v 

Euro zurückzugeben 

Offensichtlich gilt: r > c > v 


230

Computer Journal at Mac‘s (vgl. Nahmias (2005)) 

Wir betrachten ein einfaches Beispiel 

Mac, Besitzer eines Zeitungskiosks bestellt jeden 

Sonntag das wöchentlich erscheinende Magazin „The 

Computer Journal“ 

Er bezahlt c=25 Cents für jedes Exemplar im Einkauf 

und veräußert es zu r=75 Cents 

Daneben können nicht veräußerte Exemplare für v=10 

Cents zurückgegeben werden 

Mac möchte ein effizientes 

Bestandsmanagement installieren und erfasst 

hierzu die Häufigkeit der Nachfrage 


231

25 

20 

15 

10 

5 

0 

Nachfrage der letzten 52 Wochen 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 21 2 2 2 25 2 27 2 2 3 31 3 3 3 35 3 37 3 3 4 41 4 4 4 45 4 47 4 4 50 51 52 

Mittelwert der Reihe ist 11,7307692 

Standardabweichung ist 4,74079246 


232

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

Resultierende Häufigkeiten 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 


233

Nachfrage 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

Daten der diskreten Verteilung 

Häufigkeit 

1 

0 

0 

0 

3 

1 

2 

2 

4 

6 

2 

5 

0,057692308 

0,019230769 

0,038461538 

0,038461538 

0,076923077 

0,115384615 

0,038461538 

0,096153846 


f 

0,019230769 

0 

0 

0 

F 

0,019230769 

0,019230769 

0,019230769 

0,019230769 

0,076923077 

0,096153846 

0,134615385 

0,173076923 

0,25 

0,365384615 

0,403846154 

0,5 

234

235 


Fortsetzung 

1 

0,019230769 

1 

22 

0,980769231 

0 

0 

21 

0,980769231 

0 

0 

20 

0,980769231 

0,057692308 

3 

19 

0,923076923 

0,057692308 

3 

18 

0,865384615 

0,057692308 

3 

17 

0,807692308 

0,019230769 

1 

16 

0,788461538 

0,096153846 

5 

15 

0,692307692 

0,096153846 

5 

14 

0,596153846 

0,019230769 

1 

13 

0,576923077 

0,076923077 

4 

12 

F 

f 

Häufigkeit 

Nachfrage

Optimale Bestellmenge 

Mac möchte die Bestellmenge optimieren, um 

sein Bestandsmanagement zu verbessern, d.h. 

es sind die Kosten zu minimieren, deren Höhe 

von der Bestellmenge beeinflusst wird 

Zur Findung der optimalen Bestellmenge ist zu 

untersuchen, welche Kosten jeweils von Fehloder 

Überschussmengen verursacht werden 

Diese sind dann entsprechend zu quantifizieren 

und in ihrer Häufigkeit zu bewerten 


236

Entwicklung einer Kostenfunktion 

Werden zu wenige Einheiten bestellt, d.h. es gibt 

Fehlmengen, treten die erzielbaren Erlöse als 

Opportunitätskosten auf 

Hier gibt es einen Unterbestand 

Wir setzen als Unterbestandskostensatz c u an (Unit Underage 

Cost) 

Im Fall zu großer Bestellmengen ist dagegen die 

Differenz aus Bestellkosten und Rückgabeerlös 

anzusetzen 

Hier gibt es einen Überbestand 

Wir setzen als Überbestandskostensatz c o an (Unit Overage Cost) 

Damit ergibt sich der Erwartungswert der Kosten aus der 

Betrachtung aller möglichen Fälle, d.h. aller möglichen 

Nachfragen, in Abhängigkeit der gewählten Bestellmenge 

S* 


237

Übergang zur stetigen Variante 

Im Folgenden wollen wir uns stetigen 

Nachfragefunktionen zuwenden 

Warum? 

Häufig lassen sich Gesetzmäßigkeiten in diskreten 

Verteilungen erkennen (siehe zum Beispiel der Tests 

auf Normalverteilung) 

Dies verbessert die Analysierbarkeit der 

Zusammenhänge 

Zudem können die Instrumente der 

Infinitesimalrechnung genutzt werden 

Zunächst wird nur eine beliebige stetige 

Verteilung herangezogen, um allgemeine 

Ergebnisse erzielen zu können 


238

Eigenschaften der stetigen Variante 

Zunächst unterstellen wir eine beliebige stetige 

Nachfrageverteilung, deren Dichte f und 

Verteilungsfunktion F gegeben, oder deren Wertetabellen 

einsehbar sind 

Zudem unterstellen wir, dass es keine negativen 

Nachfragen geben kann, d.h. f(y)=0, y

Die stetige Kostenfunktion 

Wir betrachten somit im Folgenden die 

Kostenfunktion 

Z 

Vorgehen 

S 

∞ 

o ∫ 

u ∫ 

y= 

0 

y= 

S 

( S ) = c ⋅ ( S − y) 

⋅ f ( y) 

dy + c ⋅ ( y − S ) ⋅ f ( y)dy 

Wie können wir die optimale Bestellmenge 

bestimmen? 

Offensichtlich ist hierzu zunächst die Ableitung nach S 

zu ermitteln und dann Extrempunkte zu finden 


240

Leibnizregel 

Zur Lösung unseres Problems benötigen wir die 

so genannte Leibnizregel. Sie lautet allgemein 

Z 

= 

( S ) 

2 

( S ) = h( 

y,S) 

a 

2 

y= 

a 

( S ) 

∫ 

1 

( S ) 

∂ 

∂S 

a 

y= 

a 

( S ) 

( y,S) 

∂h 

∂S 

∫ 

1 

dy 

dy + h 

( a ( S ) ,S ) 

2 

∂a2 

⋅ 

∂S 

( S ) 

( a ( S ) ,S ) 

Diese können wir nun einfach auf unser Problem 

anwenden. Für das erste Integral ergibt sich die 

Substitution 

− h 

( S ) = , a ( S ) = S, 

h( 

y,S) 

= ( S − y) 

f ( y) 

a ⋅ 

1 

0 2 


1 

∂a1 

⋅ 

∂S 

( S ) 

241

Damit erhalten wir 

S 

∫ 

S 

( S − y) 

⋅ f ( y) 

∂S 

( y) 

− y ⋅ f ( y) 

Integral 1 

( S −S 

) ⋅ f ( y ) 

∂S 

⋅ f 

∫ dy = 

∂S 

∫ 

y= 

0 y= 

0 

( S ) 

( y) 

dy = F( 

S ) − F( 

0) 

= F( 

S ) 

Für das zweite Integral ergibt sich die 

Substitution 

f 


( ) 

⎛ ⎞ a ⎛ ⎞ a S 

dy h⎜a 

( S ) ,S ⎟ ∂ 2 h⎜ 

∂ 

a ( ) 

S ,S ⎟ 1 

+ 2 ⋅ − 1 ⋅ 

⎜ 

⎟ ∂S 

⎜ ⎟ ∂S 

⎝ = S ⎠ 

⎝ = 0 

⎠ 

 

y= 

0 

= 

= 1 

= ( 0−S 

) ⋅ f ( y ) 

= 0 

= 

∂ 

S 

( S ) = S a ( S ) = ∞, 

h( 

y,S) 

= ( y − S ) f ( y) 

a ⋅ 

1 

, 2 

242

Damit erhalten wir 

lim 

= 

k→∞ 

∞ 

∫ 

y= 

S 

∂ 

k 

∫ 

y= 

S 

∂ 

( y − S ) ⋅ f ( y) 

( y ⋅ f ( y) 

− S ⋅ f ( y) 

) 

∂S 

∂S 

Integral 2 

( S −k 

) ⋅ f ( y ) 

( S ) 

( y) 

dy = −1+ 

F( 

S ) 

Damit ergibt sich als erste Ableitung 

dy 

f 


( S −S 

) ⋅ f ( y ) 

( ) 

⎛ ⎞ a ⎛ ⎞ a S 

dy h⎜a 

( S ) ,S ⎟ ∂ 2 h⎜ 

∂ 

a ( ) 

S ,S ⎟ 1 

+ 2 ⋅ − 1 ⋅ 

⎜ 

⎟ ∂S 

⎜ ⎟ ∂S 

⎝ = k ⎠ 

⎝ = S 

⎠ 

 

= 

= 

∞ 

∫ 

y= 

S 

− 

= 0 

( S) 

− c ⋅( 

− F( 

S ) ) 

co ⋅ F u 1 

= 

= 0 

= 1 

243

ergibt sich somit 

Und als zweite Ableitung 

( c ⋅ F( 

S ) − c ⋅( 

− F( 

S) 

) ) 

∂ o u 1 

= co 

⋅ f u ⋅ 

∂S 

Diese zweite Ableitung ist offensichtlich größer 

oder gleich Null für alle Werte von S und somit 

konvex 

Damit sind alle Nullstellen der ersten Ableitung 

Minima der Kostenfunktion 

Wir berechnen also die optimale Bestellmenge 

durch Nullsetzen der ersten Ableitung 


( S ) + c f ( S ) 

244

Berechnung der optimalen Bestellmenge 

Wir erhalten somit 

c 

o 

⇔ 

⇔ 

⇔ 

⋅ F 

c 

o 

( S ) − c ⋅( 

1− 

F( 

S) 

) 

( S ) − c + c ⋅ F( 

S ) 

( c + c ) ⋅ F( 

S ) = c ⇔ F( 

S ) 

S 

o 

⋅ F 

= 

F 

u 

−1 

u 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

c 

Man bezeichnet CR als das Critical ratio 

Es gilt für alle Nachfrageverteilungen 

o 

u 

cu 

+ c 

u 

u 

u 

= 

⎞ 

⎟ 

⎟, 

mit 

⎠ 

= 

CR 

= 

= 


0 

0 

c 

o 

c 

o 

cu 

+ c 

cu 

+ c 

u 

u 

245

CR – Beispielrechnung 

Sei die folgende Parameterkonstellation gegeben 

c=1€ 

r=3€ 

v=0,5€ 

Damit gilt 

c 

c 

o 

u 

⇒ 

= 

= 

c − v = 1− 

CR 

= 

2 

2, 

5 

= 

0, 

5 

r − c = 3−1 

= 

0, 

8 

= 

2€ 

0, 

5€ 


246

Zurück zur diskreten Variante 

Da man davon ausgeht, dass die jeweilige 

diskrete Verteilung durch eine stetige angenähert 

werden kann, sind unsere Ergebnisse der 

stetigen Version auch verwendbar für den 

diskreten Fall 

Dies führt uns nun zurück zu unserem kleinen 

Eingangsbeispiel 

Das Mac Beispiel 


247

CR – Für das Mac Beispiel 

Hier war die folgende Parameterkonstellation 

gegeben 

c=25 Cents 

r=75 Cents 

v=10 Cents 

Damit gilt 

c 

c 

o 

u 

⇒ 

= 

= 

c − v = 25 −10 

= 15 Cents 

r − c = 75 − 25 = 

CR 

= 

50 

65 

= 

0, 

76923 

50 

Cents 


248

Wie lässt sich dieses Ergebnis interpretieren? 

Wir wählen bei einer beliebigen 

Nachfrageverteilung die Bestellmenge, die in 80 

Prozent aller Fälle keine Fehlmengen verursacht, 

d.h. es gilt 

Anders ausgedrückt: p(x≤S*)=F(S*)=0,8 

Für das Beispiel Mac 

CR=0,76923 

Wir suchen die Nachfrage bei der F ungefähr den Wert 

0,76923 annimmt 

Dies ist wollen wir anhand der Tabelle ermitteln 


249

Nachfrage 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

Daten der diskreten Verteilung 

Häufigkeit 

1 

0 

0 

0 

3 

1 

2 

2 

4 

6 

2 

5 

0,057692308 

0,019230769 

0,038461538 

0,038461538 

0,076923077 

0,115384615 

0,038461538 

0,096153846 


f 

0,019230769 

0 

0 

0 

F 

0,019230769 

0,019230769 

0,019230769 

0,019230769 

0,076923077 

0,096153846 

0,134615385 

0,173076923 

0,25 

0,365384615 

0,403846154 

0,5 

250

251 


Fortsetzung 

1 

0,019230769 

1 

22 

0,980769231 

0 

0 

21 

0,980769231 

0 

0 

20 

0,980769231 

0,057692308 

3 

19 

0,923076923 

0,057692308 

3 

18 

0,865384615 

0,057692308 

3 

17 

0,807692308 

0,019230769 

1 

16 

0,788461538 

0,096153846 

5 

15 

0,692307692 

0,096153846 

5 

14 

0,596153846 

0,019230769 

1 

13 

0,576923077 

0,076923077 

4 

12 

F 

f 

Häufigkeit 

Nachfrage

Konsequenz 

Der gesuchte Wert CR wird offensichtlich 

zwischen 14 und 15 angenommen 

Wir wählen aufgrund der Nähe zu den Werten 

und nach einer genaueren Betrachtung 15 als 

optimale Bestellmenge 


252

Unterstellung einer Normalverteilung 

Im Folgenden wollen wir eine Normalverteilung 

als Nachfragefunktion unterstellen 

Dazu benötigen wir zunächst einige allgemeine 

Informationen zur Normalverteilung 

Sie besitzt die Dichtefunktion 

f 

( x) 

mit 

−0, 

5⋅⎜ 

1 ⎜ 

⎝ ⎝ σ 

= 

⋅e 

σ ⋅ 2⋅ 

π 

μ als Erwartungswert 

⎛ 

⎜ 

2 

⎛ x− 

μ ⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

, 

und 

σ 


als Standardabweichung 

253

Es gilt 

und 

f 

( x) 

σ ⋅ 

= f 

1 

= 

2⋅ 

π 

F 

⋅e 

( − x + 2⋅ 

μ) 

Eigenschaften 

μ 

( μ) 

= ∫ 

−∞ 

⎛ 

⎜ ⎛ x− 

μ ⎞ 

−0, 

5⋅⎜ 

⎟ 

⎜ 

⎝ ⎝ σ ⎠ 

σ 

2 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⋅ 

= 

1 

2⋅ 

π 

σ 

⋅ 

1 

⋅e 

2⋅ 

π 

⎛ 

⎜ ⎛ t− 

μ ⎞ 

−0, 

5⋅⎜ 

⎟ 

⎜ 

⎝ ⎝ σ ⎠ 

⋅e 


2 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

dt 

= 

1 

2 

( −x+ 

2⋅μ 

) 

⎛ 

⎜ ⎛ −μ 

⎞ 

−0, 

5⋅⎜ 

⎟ 

⎜ 

⎝ ⎝ σ ⎠ 

2 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

254

Konsequenzen 

Damit entsprechen sich bei der Normalverteilung 

Median und Mittelwert 

Die Normalverteilung ist offensichtlich 

symmetrisch 


255

Die zugehörige Verteilungsfunktion… 

ist leider nicht analytisch berechenbar 

Daher wird oft der Spezialfall mit μ=0 und σ=1 betrachtet 

Diese spezielle Verteilungsfunktion ist die so genannte 

Standardnormalverteilung N(0,1) 

Für diese Funktion sind spezielle Tabellierungen 

verfügbar 

Daher wäre es wünschenswert die allgemeine 

Normalverteilung hierauf zurückzuführen 

Auf diese Weise kann auf die spezielle Tabellierung der 

Standardnormalverteilung zurückgegriffen werden 

Wir wollen nun einige Eigenschaften dieser speziellen 

Verteilungsfunktion herleiten 


256

Eigenschaften der Standardnormalverteilung 

Dichtefunktion 

ϕ 

( x) 

Verteilungsfunktion 

Φ 

= 

x 

1 

2⋅ 

π 

⋅e 

⎛ 

⎜ 

x 

⎜ 

− 

⎝ 2 

( ) ⎝ 2 ⎠ 

x = ⋅e 

dt 

∫ ∞ 

− 

1 

2⋅ 

π 

⎛ 

⎜ 

t 

⎜ 

− 


2 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

257

Transformation der Normalverteilung N(μ,σ) 

Es gilt die folgende z-Transformation 

F 

⎛ x − μ ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ σ ⎠ 

x− 

μ 

= z 

σ 

( ) ⎝ 2 ⎠ 

x = Φ = ⋅e 

dt 

2⋅ 

π 

Diese lässt sich leicht durch die folgende 

Beziehung zeigen. So gilt 

⎛ x − μ 

∂Φ⎜ 

⎝ σ 

∂x 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎛ x − μ 

= Φ′ 

⎜ 

⎝ σ 

Damit erhält man die Dichtefunktion als Ableitung 

∫ 

−∞ 

⎞ 1 ⎛ x − μ ⎞ 1 

⎟⋅ 

= ϕ⎜ 

⎟⋅ 

⎠ σ ⎝ σ ⎠ σ 

⎛ 

⎜ 

t 

⎜ 

− 


1 

= 

1 

⋅e 

2π 

2 

⎞ 

⎟ 

⎛ 

⎜ 1 ⎛ x− 

μ ⎞ 

− ⋅⎜ 

⎟ 

⎜ 

⎝ 

2 ⎝ σ ⎠ 

2 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

1 

⋅ 

σ 

= 

f 

( x) 

258

Grundsätzliche Folgerungen 

Damit ist „die Brücke zur Standardnormalverteilung 

hergestellt“ und wir können nun formulieren 

Falls die Zufallsgröße Z N(μ,σ) verteilt ist, gilt 

Damit gilt für Intervalle 

P 

( a ≤ x ≤ b) 

= P( 

x ≥ a) 

− P( 

x ≥ b) 

= 1− 

F( 

a) 

− ( 1− 

F( 

b) 

) 

⎛ a − 

= 1− 

Φ⎜ 

⎝ σ 

( x ≥ a) 

= 1− 

F( 

a) 

= −Φ⎜ 

⎟ 

⎝ σ ⎠ 

P 1 

μ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎛ b − 

−1+ 

Φ⎜ 

⎝ σ 

μ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎛ a − 

⎛ b − μ 

= Φ⎜ 

⎝ σ 


μ 

⎞ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎛ a − 

−Φ⎜ 

⎝ σ 

μ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

259

α –Quantil 

Für α (0≤α≤1) ist das α – Quantil der Wert uα , bei 

dem gilt 

( x ≥ u ) = 1 α 

P α − 

Daraus folgt unmittelbar 

u α 

= 

F 

( α) 

Da aber auch die Verteilungsfunktion der 

Standardnormalverteilung nicht analytisch 

bestimmbar ist, kommt die folgende numerische 

Näherung zur Anwendung 

−1 

( α) 

= μ + z( 

α 

) σ, 

mit z( 

α) 

Quantil der Standardnormalverteilung 

∗ 

S ⋅ 


260

α 

0,755 

0,76 

0,765 

0,77 

0,775 

0,78 

0,785 

0,79 

0,795 

0,8 

0,805 

0,81 

Beispielwerte 

z(α) 

0,69 

0,71 

0,72 

0,74 

0,755 

0,78 

0,79 

0,81 

0,825 

0,84 

0,86 

0,88 


261

Konsequenz 

Damit ergibt sich für CR=0,8 als CR – Quantil 

( CR) 

= μ + 0, 

84 σ 

S = S 

⋅ 

∗ ∗ 

Seien im Newsvendor Problem die folgenden 

Daten gegeben 

S 

∗ 

= 

S 

∗ 

μ 

= 100 Stück, σ 

= 20 Stück 

( CR) 

= μ + 0, 

84⋅ 

σ ≈100 

+ 0, 

84⋅ 

20 = 117 Stück 

Wir wählen für eine Normalverteilung somit eine 

Bestellmenge von 117 Stück 


262

Erwartete Fehlmenge J(S) 

Man vereinbart als erwartete Fehlmenge bzgl. S 

Damit gilt 

J 

= 

J 

∞ 

∫ 

y= 

S 

( S ) = ( y − S ) ⋅ f ( y)dy 

( S ) = ( y − S ) ⋅ f ( y) 

dy = lim 

( y − S ) ⋅ f ( y) 

lim 

∞ 

∫ 

y= 

S 

k→∞ 

k 

∫ 

y= 

S 

⎜ σ ⎟ 

⎝ ⎝ ⎠ ⎠ 

( y − S ) ⋅ ⋅e 

dy 

σ 

⋅ 

1 

2⋅ 

π 

k→∞ 

⎛ 

⎜ ⎛ y− 

μ ⎞ 

−0, 

5⋅⎜ 

⎟ 


k 

∫ 

y= 

S 

∗ 

2 

⎞ 

⎟ 

dy 

263

Erwartete normierte Fehlmenge L(z) 

Analog hierzu wird die erwartete normierte 

Fehlmenge für z vereinbart 

L 

( z( 

α) 

) = L( 

z) 

= ( y − z) 

⋅φ( 

y)dy 

Zusammenhang zwischen J(S*) und L(z*) 

L 

∞ 

∫ 

y= 

z 

∞ 

∞ 

∗ 

∗ 1 

2 

( ) ( ) ( −0, 

5⋅y 

) ∗ 1 −0, 

5⋅( 

y− 

μ) 

z = y − z ⋅ ⋅e 

dy = ( y − μ − z ) ⋅ ⋅e 

∫ 

y= 

z 

∗ 

= 

∞ 

∫ 

∗ 

y= 

μ+ 

z ⋅σ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

2⋅ 

π 

y − μ 

− z 

σ 

∗ 

⎞ 

⎟⋅ 

⎠ 

1 

⇒ σ ⋅ L 

2⋅ 

π 

y= 

μ+ 

z 

⋅e 

⎛ 

2 ⎞ 

⎜ ⎛ y− 

μ ⎞ 

−0, 

5⋅⎜ 

⎟ ⎟ 

⎜ 

⎟ 

⎝ ⎝ σ ⎠ ⎠ 

∗ ∗ ( z ) = J ( S ) 


∫ 

∗ 

dy 

= 

2⋅ 

π 

1 

⋅ J 

σ 

∗ ( S ) 

2 

( ) 

dy 

264

Eine weitere wichtige Eigenschaft von L(z) 

Nahmias (2005) zeigt die folgende wichtige 

Eigenschaft der erwarteten normierten 

Fehlmenge 

L 

2 

( ) ( −0, 

5⋅z 

z e 

) 

z ⎜ ( y z) 

e 

( −0, 

5⋅y 

= ⋅ − ⋅ 1− 

− ⋅ ⋅ 

) 

= ϕ 

2⋅ 

π 

z 

2⋅ 

π 

( z) 

− z ⋅⎜1 

Φ( 

y) 

dy⎟ 

= f ( z) 

− z ⋅( 

1− 

F ( z) 

) 

y= 

−∞ 

Diese Eigenschaft erlaubt uns eine kompakte 

Darstellung der erwarteten optimalen Kosten 

z 

1 2 

⎛ 

− 

⎜ 

⎝ 

∫ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

y= 

−∞ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

∫ 

01 


1 

01 

⎞ 

dy⎟ 

⎟ 

⎠ 

265

Erwartete optimale Kosten 

Nun können wir für die erwarteten Kosten der optimalen Bestellmenge 

S* formulieren 

Z 

∗ 

S 

∞ 

∗ 

∗ 

∗ 

( S ) = co 

⋅ ∫ ( S − y) 

⋅ f ( y) 

dy + cu 

⋅ ∫ ( y − S ) ⋅ f ( y) 

= c 

+ c 

= c 

= c 

= c 

o 

o 

o 

o 

u 

y= 

0 

⎛ 

⋅⎜ 

S 

⎜ 

⎝ 

⋅ 

⎛ 

⋅⎜ 

S 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⋅⎜ 

S 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⋅⎜ 

S 

⎜ 

⎝ 

∗ 

f 

∗ 

∗ 

( y) 

dy − y ⋅ f ( y) 

dy + S ⋅ f ( y) 

dy − y ⋅ f ( y) 

dy − S ⋅ f ( y) 

dy + y ⋅ f ( y) 

∞ 

∗ 

∫ ( y − S ) ⋅ f ( y) 

y= 

S 

∗ 

∗ 

∗ 

⋅ 

⋅ 

S 

∗ 

∫ 

y= 

0 

∞ 

∫ 

y= 

0 

f 

⋅1− 

μ − S 

− μ + 

dy 

∗ 

∗ 

( y) 

dy − ∫ y ⋅ f ( y) 

dy − S ⋅ ∫ f ( y) 

dy + ∫ y ⋅ f ( y) 

dy⎟ 

+ cu 

⋅ ∫ ( y − S ) ⋅ f ( y) 

f 

dy 

∗ 

( y) 

dy + ∫ y ⋅ f ( y) 

dy⎟ 

+ cu 

⋅ ∫ ( y − S ) ⋅ f ( y) 

∞ 

∞ 

∗ 

∗ 

∫ ( y − S ) ⋅ f ( y) 

dy⎟ 

+ cu 

⋅ ∫ ( y − S ) ⋅ f ( y)dy 

y= 

S 

∗ 

∗ 

⋅ 

S 

∫ 

y= 

0 

∞ 

y= 

0 

∞ 

∫ 

∗ 

y= 

S 

∗ 

y= 

S 

∗ 

∞ 

y= 

S 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

∗ 

∞ 

∫ 

y= 

S 

∞ 

y= 

S 

∗ 

∗ 

y= 

S 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

y= 

S 

y= 

S 

y= 

S 


∞ 

∫ 

∞ 

∞ 

∗ 

∗ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

dy 

∞ 

∫ 

y= 

S 

∞ 

∗ 

y= 

S 

∞ 

∫ 

y= 

S 

∗ 

dy 

⎞ 

dy⎟ 

⎟ 

⎠ 

266

Z 

Erwartete optimale Kosten 

∞ 

∞ 

∗ 

∗ 

∗ 

∗ 

( S ) = c ⋅ 

⎜ 

S − μ + ( y − S ) ⋅ f ( y) 

dy 

⎟ 

+ c ⋅ ( y − S ) ⋅ f ( y) 

= 

= 

= 

= 

c 

c 

c 

c 

o 

o 

o 

o 

o 

⎛ 

⎜ 

 

∗ ⎝ = z ⋅σ 

⋅ z 

⋅ z 

⋅ z 

⋅ z 

∗ 

∗ 

∗ 

∗ 

⋅σ 

⋅σ 

⋅σ 

⋅σ 

+ 

+ 

+ 

+ 

∫ 

y= 

S 

∗ 

∞ 

∗ 

( c + c ) ⋅ ( y − S ) ⋅ f ( y) 

o 

∫ 

⎛ 

⎜ 

∗ ∗ 

∗ 

( c + c ) ⋅σ 

⋅ 

⎜ 

f ( z ) − z ⋅⎜ 

− F ( z ) 

o 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

∗ 

( c + c ) ⋅σ 

⋅ f ( z ) − ( c + c ) 

o 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

y= 

S 

dy = c 

y= 

S 

 

 

∗ ∗ 

= J ( S ) = σ⋅L 

( z ) 

01 

⎛ ⎞⎞ 

⎜ ⎟⎟ 

1 ⎟⎟ 

01 ⎜ 

⎟⎟ 

⎜ cu 

co 

= 1− 

= ⎟⎟ 

⎝ cu 

+ co 

cu 

+ co 

⎠⎠ 

o u 

∗ co 

⋅σ 

⋅ z ⋅ 

c + c 


∗ 

( c + c ) ⋅σ 

⋅ L( 

z ) 

∗ 

∗ 

∗ 

( c + c ) ⋅σ 

⋅ f ( z ) − c ⋅σ 

⋅ z = ( c + c ) ⋅σ 

⋅ f ( z ) 

o 

u 

u 

u 

u 

01 

01 

o 

u 

∫ 

o 

⋅ z 

o 

∗ 

⋅σ 

u 

u 

+ 

o 

o 

dy 

01 

u 

267

Es gilt somit 

Damit ergeben sich für Z(S*) 

( ∗ ) ( ) ( ∗ 

S = c + c ⋅σ 

⋅ f z ) = ( , 5 + 2) 

⋅ 20⋅ 

f ( 0, 

84) 

Z o u 

Damit ergibt sich als optimaler Gewinn 

Im Beispiel ergibt sich somit 

01 

= 2, 

5⋅ 

20⋅ 

0, 

28 = 14 

0 01 

( ∗ ) ( ) ( ∗ ) ( ) ( ) ( ∗ 

S = r − c ⋅ μ − Z S = r − c ⋅ μ − c + c ⋅ f z ) ⋅σ 

Π u o 

Π 

( ∗ ) ( ) ( ∗ 

S = 3 −1 

⋅100 

− Z S ) = 200 −14 

= 186 


01 

268

Konsequenzen 

Wir sehen unmittelbar, dass sowohl die Höhe des 

Erwartungswertes als auch die Höhe der 

Standardabweichung einen signifikanten Einfluss auf den 

erwarteten Gewinn haben 

Triviale Erkenntnis 

Je größer der Erwartungswert (also des erwarteten Absatzes) 

desto größer ist der erwartete Erlös und damit der erwartete 

Gewinn 

Je größer die Standardabweichung (also die Unsicherheit in der 

Nachfrage) desto größer werden die erwarteten Kosten und 

mindert damit den erwarteten Gewinn. Zu beachten ist hierbei 

Es gibt Unsicherheit aufgrund einer unscharfen Nachfrageprognose 

(hier gibt es ein wichtiges Verbesserungspotential) 

Somit ist an einer verbesserten Prognose mit geringeren 

Abweichungen zu arbeiten 


269

Folge: Idealer Extremfall 

Bei sicherer Nachfrageprognose ohne 

Abweichungen ergeben sich keinerlei erwartete 

Kosten mehr 

So wäre in diesem Fall die Bestellmenge an der 

nun sicheren erwarteten Nachfrageprognose 

auszurichten 


270

Es gilt nun 

S 

∗ 

Erwartete Kosten 

Z(S*) bei Halbierung von σ 

= ∗ 

S 

( ∗ ) ( ) ( ∗ 

S = c + c ⋅σ 

⋅ f z ) = ( , 5 + 2) 

⋅10⋅ 

f ( 0, 

84) 

Z o u 

= 2, 

5⋅10⋅ 

0, 

28 

01 

= 

Damit ergibt sich als optimaler erwarteter Gewinn 

Π 

( CR) 

= μ + 0, 84⋅ 

σ = 100 + 0, 

84⋅10 

≈109 

7 

0 01 

( ∗ ) ( ) ( ∗ 

S = 3 −1 

⋅100 

− Z S ) = 200 − 7 = 193 


271

Diskrete Variante 

Hier tritt die Nachfrage in vordefinierten 

Wahrscheinlichkeiten in diskreten Niveaus auf 

Wir gehen dabei davon aus, dass die Nachfrage 

für kleinere n Poisson verteilt ist 

Hierzu zunächst einige Informationen zur 

Poissonverteilung 


272

Informationen zur Poissonverteilung 

Die Poissonverteilung ist eine diskrete 

Wahrscheinlichkeitsverteilung, d.h. es treten nur 

abzählbar viele Ausprägungen auf 

Sie ist abgeleitet aus einer Folge von Bernoulli 

Experimenten (2 mögliche Ausgänge) 

Die Dichtefunktion der Poissonverteilung ist definiert 

durch 

p 

−λ 

( X = 

y) 

= p = ⋅e 

, mit λ als Ereignisrate 

y 

y 

λ 

y! 

Die Ereignisrate λ ist zugleich Erwartungswert und 

Varianz der Verteilung 

Der Einsatz einer solchen Verteilung bietet sich immer 

dann an, wenn nur wenige Ausprägungen möglich sind 

Geht die Anzahl der möglichen Ausprägungen gegen 

Unendlich nähert sich die speziell parametrisierte 

Poissonverteilung der Standardnormalverteilung 


273

Erwartungswert der Poissonverteilung 

Es gilt für den Erwartungswert: 

E 

= 

( X ) 

λ ⋅e 

= 

−λ 

y= 

0 

⋅ 

∞ 

∑ 

∞ 

∑ 

y= 

0 

y ⋅ 

= e 

p 

λ 

y 

= 

∞ 

∑ 

y= 

0 

y−1 

λ 

= 

( y −1) 

! 

 

y 

λ 

y ⋅ ⋅e 

y! 

λ 

−λ 


= 

e 

−λ 

⋅ 

∞ 

∑ 

y= 

0 

y 

λ 

y ⋅ 

y! 

274

275 


Varianz der Poissonverteilung 

Es gilt für die Varianz 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) ( ) 

( ) 

λ 

λ 

λ 

λ 

λ 

λ 

e 

! 

y 

λ 

λ 

λ 

λ 

e 

! 

y 

λ 

y 

y 

y 

y 

λ 

λ 

λ 

e 

y! 

λ 

y 

y 

λ 

λ 

e 

y! 

λ 

y 

y 

λ 

e 

y! 

λ 

y 

y 

y 

λ 

λ 

e 

y! 

λ 

y 

e 

y! 

λ 

λ 

e 

! 

y 

λ 

λ 

e 

y! 

λ 

y 

e 

y! 

λ 

λ 

λ 

y 

y 

p 

λ 

λ 

y 

y 

p 

λ 

y 

X 

y 

λ 

y 

y 

λ 

y 

y 

λ 

y 

y 

λ 

y 

y 

λ 

y 

y 

λ 

y 

y 

λ 

y 

y 

λ 

y 

y 

λ 

y 

y 

λ 

y 

y 

y 

y 

y 

= 

− 

+ 

= 

− 

+ 

⋅ 

− 

⋅ 

= 

− 

+ 

⋅ 

− 

⋅ 

− 

⋅ 

⋅ 

− 

⋅ 

⋅ 

= 

− 

+ 

⋅ 

⋅ 

− 

⋅ 

= 

− 

+ 

⋅ 

⋅ 

− 

⋅ 

= 

− 

⋅ 

⋅ 

+ 

− 

⋅ 

= 

+ 

⋅ 

− 

⋅ 

⋅ 

= 

⋅ 

⋅ 

+ 

⋅ 

− 

⋅ 

⋅ 

− 

⋅ 

⋅ 

= 

⋅ 

⋅ 

+ 

⋅ 

⋅ 

− 

= 

⋅ 

+ 

⋅ 

⋅ 

− 

= 

⋅ 

− 

= 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∞ 

= 

− 

− 

∞ 

= 

− 

− 

∞ 

= 

− 

∞ 

= 

− 

∞ 

= 

− 

∞ 

= 

− 

∞ 

= 

− 

∞ 

= 

− 

− 

∞ 

= 

− 

∞ 

= 

− 

∞ 

= 

∞ 

= 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

0 

2 

0 

2 

0 

2 

2 

0 

2 

0 

2 

1 

1 

2 

0 

2 

0 

2 

2 

0 

2 

2 

0 

2 

2 

2 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

1 

2 

2 

2 

Var

Erwartungswert der Kosten 

Damit können wir die folgende Formel ansetzen 

Z 

∗ 

S −1 

∞ 

∗ 

∗ 

∗ 

( S ) = c ⋅ ( S − y) 

⋅ p( 

X = y) 

) + c ⋅ ( y − S ) ⋅ p( 

X = y) 

) 

o 

∑ 

y= 

0 

Bei der Ermittlung der optimalen Bestellmenge „stört“ die 

unendliche Summe 

Diese lässt sich allerdings durch einen einfachen Trick 

„entfernen“ 

Wir definieren wie folgt 

c 

= 

u 

⋅ 

c 

∞ 

∑ 

y= 

S 

u 

⋅ 

∗ 

∗ ( y − S ) ⋅ p( 

X = y) 

) 

∞ 

∑ 

y= 

0 

∑ 

y= 

S 

∗ 

S −1 

∗ 

∗ 

( y − S ) ⋅ p( 

X = y) 

) − c ⋅ ( y − S ) ⋅ p( 

X = y) 

) 

u 


u 

∑ 

y= 

0 

∗ 

276

Direkte Vereinfachungen 

Und erhalten schließlich als vereinfachten 

Ausdruck 

= 

= 

c 

c 

u 

u 

⋅ 

∞ 

∑ 

y= 

0 

⋅λ 

− S 

∗ 

( y ⋅ p( 

X = y) 

) − S ⋅c 

⋅ p( 

X = y) 

∗ 

⋅c 

u 

⋅1− 

c 

u 

⋅ 

S 

∗ 

−1 

∑ 

y= 

0 

u 

∗ 

S −1 

∗ 

( ) − c ⋅ ( y − S ) ⋅ p( 

X = y) 

) 

∗ ( y − S ) ⋅ p( 

X = y) 

) 

Somit ergibt sich für die erwarteten Kosten 

∞ 

∑ 

y= 

0 

∗ 

∗ 

S 

S −1 

∗ 

∗ 

∗ 

∗ 

( S ) = c ⋅ ( S − y) 

⋅ p( 

X = y) 

) + c ⋅( 

− S ) − c ⋅ ( y − S ) ⋅ p( 

X = y) 

) 

o 

∑ 

Z λ 

y= 

0 

u 

∑ 

y= 

0 


u 

u 

∑ 

y= 

0 

277

Erwartungswert der Kosten 

Und damit erhalten wir 

Z 

= 

= 

= 

∗ ( S ) 

c 

c 

o 

o 

⋅ 

⋅ 

∗ 

∑ 

y= 

0 

∗ 

∑ 

y= 

0 

∗ 

S 

∗ 

∗ 

∗ 

( S − y) 

⋅ p( 

X = y) 

) + c ⋅ ( S − y) 

⋅ p( 

X = y) 

) + c ⋅( 

λ − S ) 

∗ 

S 

∗ 

∗ 

( S − y) 

⋅ p( 

X = y) 

) + c ⋅ ( S − y) 

⋅ p( 

X = y) 

) 

∗ 

S 

∗ 

∗ 

( c + c ) ⋅ ( S − y) 

⋅ p( 

X = y) 

) + c ⋅( 

λ − S ) 

o 

S 

S 

u 

∑ 

y= 

0 

u 

u 

∑ 

y= 

0 

∑ 

y= 

0 

u 


+ c 

u 

u 

⋅λ 

− c 

u 

⋅ S 

∗ 

278

279 


Poissonverteilung mit Mittelwert 3 

1 

1,39001E-12 

22 

1 

1,01934E-11 

21 

1 

7,13538E-11 

20 

1 

4,75692E-10 

19 

0,999999999 

3,01272E-09 

18 

0,999999996 

1,80763E-08 

17 

0,999999978 

1,02432E-07 

16 

0,999999876 

5,46306E-07 

15 

0,99999933 

2,73153E-06 

14 

0,999996598 

1,27471E-05 

13 

0,999983851 

5,52376E-05 

12 

0,999928613 

0,00022095 

11 

0,999707663 

0,000810151 

10 

0,998897512 

0,002700504 

9 

0,996197008 

0,008101512 

8 

0,988095496 

0,021604031 

7 

0,966491465 

0,050409407 

6 

0,916082058 

0,100818813 

5 

0,815263245 

0,168031356 

4 

0,647231889 

0,224041808 

3 

0,423190081 

0,224041808 

2 

0,199148273 

0,149361205 

1 

0,049787068 

0,049787068 

0 

Kumulierte Wahrscheinlichkeit 

Wahrscheinlichkeit 

Nachfrage

Beispiel – Bestimmung von S* 

Wie man sofort sieht, ist S* auf 4 zu setzen 

∗ 

S 

∗ 

∗ 

∗ 

( S ) = ( c + c ) ⋅ ( S − y) 

⋅ p( 

X = y) 

) + c ⋅( 

− S ) 

= 

= 

= 

o 

( 0, 

5 + 2) 

⋅ ( ( 4 − y) 

⋅ p( 

X = y) 

) + 2⋅ 

( 3− 

4) 

2, 

5 

2, 

5 

⋅ 

⋅ 

u 

∑ 

Z λ 

y= 

0 

4 

∑ 

y= 

0 

( 0, 

19914827 + 0, 

44808362 + 0, 

44808362 + 0, 

22404184) 

( 1, 

31935731) 

− 2 = 1, 

298393275 ≈1, 

30 

Damit ergibt sich als erwarteter Gewinn 

Π 

( ∗ ) ( ) ( ∗ 

S = 3 −1 

⋅3 

− Z S ) = 6 −1, 

30 = 4, 

70 


u 

− 2 

280

Servicegrade 

Bisher haben wir für Fehlmengen und Überbestände 

einfach Kosten angesetzt und diese schließlich minimiert 

Problem dabei ist allerdings 

dass diese Kosten nicht immer eindeutig ermittelbar sind 

So gibt es unter Umständen Kunden, die aufgrund von 

Fehlmengen dauerhaft oder zumindest längerfristig zur 

Konkurrenz wechseln 

Diese Auswirkungen zu ermitteln ist sehr schwierig 

Daher gibt es andere Ansätze, die eine bestimmte 

Qualität in Form von zu erreichenden Servicegraden 

vorgeben und ausgehend hiervon die Bestellmengen 

festlegen 


281

Idee: 

α-Servicegrad 

Wir wollen mit der Vorgabe eines Wertes zwischen 0 

und 1 für α bestimmen, dass die Nachfrage in α 

Prozent vielen Fällen vollauf befriedigt werden 

kann 

Das heißt formal, dass wir das folgende Problem 

betrachten 

Minimiere 

S 

unter Beachtung der 

F 

( ∗ 

S ) ≥ α 

∗ 

Nebenbedingung 


282

α 

0,895 

0,9 

0,905 

0,91 

0,915 

0,92 

0,925 

0,93 

0,935 

0,94 

0,945 

0,95 

Beispielwerte 

z(α) 

1,25 

1,29 

1,31 

1,34 

1,37 

1,41 

1,44 

1,48 

1,51 

1,56 

1,6 

1,64 


283

α-Servicegrad – Die zugehörige Bestellmenge 

Wir können somit S* direkt ermitteln durch 

S 

∗ = 

An unserem Beispiel (μ=100, σ=20) folgt für 

α=0,95: z=1,64 und damit S*=100+1,64 . 20=132,8. 

Also 133 Stück 

α=0,9: z=1,29 und damit S*=100+1,29 . 20=125,8. Also 

126 Stück 

( α) 

Die Funktion nimmt bei Annäherung an α=1 

einen extrem ansteigenden Verlauf 

F 

−1 


284

Idee: 

β-Servicegrad 

Betrachte zu einer Bestellmenge S die erwartete 

Fehlmenge J(S) 

J 

∞ 

∫ 

y= 

S 

( S ) = ( y − S ) ⋅ f ( y)dy 

Sie enthält – wenn normiert – den Anteil der 

Nachfrage, der nicht befriedigt werden kann, d.h. 

∞ 

∫ J y= 

S 

( S ) 

μ 

= 

( y − S ) ⋅ f ( y) 

μ 

dy 


285

β-Servicegrad 

Das heißt – positiv formuliert – wir sind bei Bestellmenge 

S in der Lage, genau 

∞ 

∫ J y= 

S 

( S ) 

1− 

= 1− 

μ 

( y − S ) ⋅ f ( y) 

Prozent der Nachfrage zu befriedigen 

Damit ergibt sich als Programm der Erfüllung eines β- 

Servicegrades 

Minimiere 

S 

unter Beachtung der 

∗ 


μ 

dy 

Nebenbedingung 

1− 

J 

( ∗ 

S ) ≥ β 

μ 

286

β-Servicegrad – Die zugehörige Bestellmenge 

Wir betrachten wiederum unser Beispiel mit der 

Normalverteilung 

Unter Verwendung von J(S)=σ . L(z) gehen wir 

über zu der normierten Funktion L(z) 

Damit muss für S* gelten 

1− 

⇔ 

J 

( ∗ ) ( ∗ ) ( ∗ 

S 

σ ⋅ L z μ − σ ⋅ L z ) 

μ 

≥ 

μ − σ ⋅ L 

β 

⇔ 1− 

μ 

( ∗ ) ( ) 

( ) ( ∗ ) ( ∗ 

z ≥ β ⋅ μ ⇔ 1− 

β ⋅ μ ≥ σ ⋅ L z ⇔ ≥ L z ) 

Beachte dass L(z) eine fallende Funktion ist 

≥ 

β 

⇔ 


μ 

≥ 

β 

1− 

β 

σ 

⋅ μ 

287

Am Beispiel ergibt sich 

Wir unterstellen wieder die obigen Daten 

β 

= 

0, 

95,μ 

= 100,σ 

( 1− 

β) 

⋅ μ 5 ( ∗ 

= = 0, 

25 ≥ L z ) 

σ 

20 

Durch Betrachtung von entsprechenden Tabellen 

erhalten wir 

z 

∗ 

⇒ 

= 

S 

L 

∗ 

−1 

( 0, 

25) 

= 100 + 

≈ 

0, 

34 

0, 

34 

= 

⋅20 

= 

20 

106, 

8 

≈107 


288

2.2.3 Stochastisches Bestandsmanagement - WINFOR

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