2.2.3 Stochastisches Bestandsmanagement - WINFOR
2.2.3 Stochastisches Bestandsmanagement - WINFOR
2.2.3 Stochastisches Bestandsmanagement - WINFOR
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<strong>2.2.3</strong> <strong>Stochastisches</strong> <strong>Bestandsmanagement</strong><br />
Im Folgenden betrachten wir Problemstellungen,<br />
bei denen die Nachfrage nicht exakt<br />
prognostiziert werden kann<br />
Das heißt, obwohl die Nachfrage unsicher ist, ist<br />
eine Bestellmenge festzulegen<br />
Dazu arbeiten wir mit stochastischen<br />
Verteilungen der Nachfrage<br />
Wir beginnen hierzu mit der Betrachtung<br />
einperiodischer Modelle, d.h. es wird lediglich<br />
eine Periode betrachtet, für die eine optimale<br />
Bestellmenge zu ermitteln ist<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
228
<strong>2.2.3</strong>.1 Einperiodisches <strong>Bestandsmanagement</strong><br />
Bei einem einperiodischen Modell wird lediglich<br />
ein Bestellvorgang betrachtet<br />
Hierzu ist eine optimale Bestellmenge zu<br />
ermitteln<br />
Dabei handelt es sich meist um Anwendungen<br />
mit sehr verderblichen Gütern, d.h., um Güter, die<br />
– falls nicht verkauft – in den Folgeperioden<br />
nicht mehr verwendbar sind<br />
Mögliche Beispiele sind hierfür<br />
Tageszeitungen<br />
Leicht verderbliche Lebensmittel<br />
Aktionswaren<br />
Extreme Modeartikel<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
229
Newsvendor Problem<br />
Als klassisches Modell dient in diesem Bereich das so<br />
genannte „Newsvendor or Newsboy Model“, d.h. das<br />
„Zeitungsverkäufermodell“<br />
Bei diesem Modell wird ein Zeitungsverkäufer betrachtet<br />
Dieser entscheidet an jedem Morgen, wie viele Zeitungen<br />
er bestellt<br />
Für jede Zeitung ist ein Betrag von c Euro Bestellkosten<br />
zu entrichten<br />
Dagegen erzielt der Verkäufer einen Erlös von r Euro pro<br />
verkaufter Zeitung<br />
Auch ist es möglich, eine nicht verkaufte Zeitung für v<br />
Euro zurückzugeben<br />
Offensichtlich gilt: r > c > v<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
230
Computer Journal at Mac‘s (vgl. Nahmias (2005))<br />
Wir betrachten ein einfaches Beispiel<br />
Mac, Besitzer eines Zeitungskiosks bestellt jeden<br />
Sonntag das wöchentlich erscheinende Magazin „The<br />
Computer Journal“<br />
Er bezahlt c=25 Cents für jedes Exemplar im Einkauf<br />
und veräußert es zu r=75 Cents<br />
Daneben können nicht veräußerte Exemplare für v=10<br />
Cents zurückgegeben werden<br />
Mac möchte ein effizientes<br />
<strong>Bestandsmanagement</strong> installieren und erfasst<br />
hierzu die Häufigkeit der Nachfrage<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
231
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
Nachfrage der letzten 52 Wochen<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 21 2 2 2 25 2 27 2 2 3 31 3 3 3 35 3 37 3 3 4 41 4 4 4 45 4 47 4 4 50 51 52<br />
Mittelwert der Reihe ist 11,7307692<br />
Standardabweichung ist 4,74079246<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
232
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
Resultierende Häufigkeiten<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
233
Nachfrage<br />
0<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
9<br />
10<br />
11<br />
Daten der diskreten Verteilung<br />
Häufigkeit<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
3<br />
1<br />
2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
2<br />
5<br />
0,057692308<br />
0,019230769<br />
0,038461538<br />
0,038461538<br />
0,076923077<br />
0,115384615<br />
0,038461538<br />
0,096153846<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
f<br />
0,019230769<br />
0<br />
0<br />
0<br />
F<br />
0,019230769<br />
0,019230769<br />
0,019230769<br />
0,019230769<br />
0,076923077<br />
0,096153846<br />
0,134615385<br />
0,173076923<br />
0,25<br />
0,365384615<br />
0,403846154<br />
0,5<br />
234
235<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
Fortsetzung<br />
1<br />
0,019230769<br />
1<br />
22<br />
0,980769231<br />
0<br />
0<br />
21<br />
0,980769231<br />
0<br />
0<br />
20<br />
0,980769231<br />
0,057692308<br />
3<br />
19<br />
0,923076923<br />
0,057692308<br />
3<br />
18<br />
0,865384615<br />
0,057692308<br />
3<br />
17<br />
0,807692308<br />
0,019230769<br />
1<br />
16<br />
0,788461538<br />
0,096153846<br />
5<br />
15<br />
0,692307692<br />
0,096153846<br />
5<br />
14<br />
0,596153846<br />
0,019230769<br />
1<br />
13<br />
0,576923077<br />
0,076923077<br />
4<br />
12<br />
F<br />
f<br />
Häufigkeit<br />
Nachfrage
Optimale Bestellmenge<br />
Mac möchte die Bestellmenge optimieren, um<br />
sein <strong>Bestandsmanagement</strong> zu verbessern, d.h.<br />
es sind die Kosten zu minimieren, deren Höhe<br />
von der Bestellmenge beeinflusst wird<br />
Zur Findung der optimalen Bestellmenge ist zu<br />
untersuchen, welche Kosten jeweils von Fehloder<br />
Überschussmengen verursacht werden<br />
Diese sind dann entsprechend zu quantifizieren<br />
und in ihrer Häufigkeit zu bewerten<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
236
Entwicklung einer Kostenfunktion<br />
Werden zu wenige Einheiten bestellt, d.h. es gibt<br />
Fehlmengen, treten die erzielbaren Erlöse als<br />
Opportunitätskosten auf<br />
Hier gibt es einen Unterbestand<br />
Wir setzen als Unterbestandskostensatz c u an (Unit Underage<br />
Cost)<br />
Im Fall zu großer Bestellmengen ist dagegen die<br />
Differenz aus Bestellkosten und Rückgabeerlös<br />
anzusetzen<br />
Hier gibt es einen Überbestand<br />
Wir setzen als Überbestandskostensatz c o an (Unit Overage Cost)<br />
Damit ergibt sich der Erwartungswert der Kosten aus der<br />
Betrachtung aller möglichen Fälle, d.h. aller möglichen<br />
Nachfragen, in Abhängigkeit der gewählten Bestellmenge<br />
S*<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
237
Übergang zur stetigen Variante<br />
Im Folgenden wollen wir uns stetigen<br />
Nachfragefunktionen zuwenden<br />
Warum?<br />
Häufig lassen sich Gesetzmäßigkeiten in diskreten<br />
Verteilungen erkennen (siehe zum Beispiel der Tests<br />
auf Normalverteilung)<br />
Dies verbessert die Analysierbarkeit der<br />
Zusammenhänge<br />
Zudem können die Instrumente der<br />
Infinitesimalrechnung genutzt werden<br />
Zunächst wird nur eine beliebige stetige<br />
Verteilung herangezogen, um allgemeine<br />
Ergebnisse erzielen zu können<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
238
Eigenschaften der stetigen Variante<br />
Zunächst unterstellen wir eine beliebige stetige<br />
Nachfrageverteilung, deren Dichte f und<br />
Verteilungsfunktion F gegeben, oder deren Wertetabellen<br />
einsehbar sind<br />
Zudem unterstellen wir, dass es keine negativen<br />
Nachfragen geben kann, d.h. f(y)=0, y
Die stetige Kostenfunktion<br />
Wir betrachten somit im Folgenden die<br />
Kostenfunktion<br />
Z<br />
Vorgehen<br />
S<br />
∞<br />
o ∫<br />
u ∫<br />
y=<br />
0<br />
y=<br />
S<br />
( S ) = c ⋅ ( S − y)<br />
⋅ f ( y)<br />
dy + c ⋅ ( y − S ) ⋅ f ( y)dy<br />
Wie können wir die optimale Bestellmenge<br />
bestimmen?<br />
Offensichtlich ist hierzu zunächst die Ableitung nach S<br />
zu ermitteln und dann Extrempunkte zu finden<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
240
Leibnizregel<br />
Zur Lösung unseres Problems benötigen wir die<br />
so genannte Leibnizregel. Sie lautet allgemein<br />
Z<br />
=<br />
( S )<br />
2<br />
( S ) = h(<br />
y,S)<br />
a<br />
2<br />
y=<br />
a<br />
( S )<br />
∫<br />
1<br />
( S )<br />
∂<br />
∂S<br />
a<br />
y=<br />
a<br />
( S )<br />
( y,S)<br />
∂h<br />
∂S<br />
∫<br />
1<br />
dy<br />
dy + h<br />
( a ( S ) ,S )<br />
2<br />
∂a2<br />
⋅<br />
∂S<br />
( S )<br />
( a ( S ) ,S )<br />
Diese können wir nun einfach auf unser Problem<br />
anwenden. Für das erste Integral ergibt sich die<br />
Substitution<br />
− h<br />
( S ) = , a ( S ) = S,<br />
h(<br />
y,S)<br />
= ( S − y)<br />
f ( y)<br />
a ⋅<br />
1<br />
0 2<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
1<br />
∂a1<br />
⋅<br />
∂S<br />
( S )<br />
241
Damit erhalten wir<br />
S<br />
∫<br />
S<br />
( S − y)<br />
⋅ f ( y)<br />
∂S<br />
( y)<br />
− y ⋅ f ( y)<br />
Integral 1<br />
( S −S<br />
) ⋅ f ( y )<br />
∂S<br />
⋅ f<br />
∫ dy =<br />
∂S<br />
∫<br />
y=<br />
0 y=<br />
0<br />
( S )<br />
( y)<br />
dy = F(<br />
S ) − F(<br />
0)<br />
= F(<br />
S )<br />
Für das zweite Integral ergibt sich die<br />
Substitution<br />
f<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
( )<br />
⎛ ⎞ a ⎛ ⎞ a S<br />
dy h⎜a<br />
( S ) ,S ⎟ ∂ 2 h⎜<br />
∂<br />
a ( ) <br />
S ,S ⎟ 1<br />
+ 2 ⋅ − 1 ⋅<br />
⎜ <br />
⎟ ∂S<br />
⎜ ⎟ ∂S<br />
⎝ = S ⎠ <br />
⎝ = 0 <br />
⎠ <br />
<br />
y=<br />
0 <br />
=<br />
= 1<br />
= ( 0−S<br />
) ⋅ f ( y )<br />
= 0<br />
=<br />
∂<br />
S<br />
( S ) = S a ( S ) = ∞,<br />
h(<br />
y,S)<br />
= ( y − S ) f ( y)<br />
a ⋅<br />
1<br />
, 2<br />
242
Damit erhalten wir<br />
lim<br />
=<br />
k→∞<br />
∞<br />
∫<br />
y=<br />
S<br />
∂<br />
k<br />
∫<br />
y=<br />
S<br />
∂<br />
( y − S ) ⋅ f ( y)<br />
( y ⋅ f ( y)<br />
− S ⋅ f ( y)<br />
)<br />
∂S<br />
∂S<br />
Integral 2<br />
( S −k<br />
) ⋅ f ( y )<br />
( S )<br />
( y)<br />
dy = −1+<br />
F(<br />
S )<br />
Damit ergibt sich als erste Ableitung<br />
dy<br />
f<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
( S −S<br />
) ⋅ f ( y )<br />
( )<br />
⎛ ⎞ a ⎛ ⎞ a S<br />
dy h⎜a<br />
( S ) ,S ⎟ ∂ 2 h⎜<br />
∂<br />
a ( ) <br />
S ,S ⎟ 1<br />
+ 2 ⋅ − 1 ⋅<br />
⎜ <br />
⎟ ∂S<br />
⎜ ⎟ ∂S<br />
⎝ = k ⎠ <br />
⎝ = S <br />
⎠ <br />
<br />
=<br />
=<br />
∞<br />
∫<br />
y=<br />
S<br />
−<br />
= 0<br />
( S)<br />
− c ⋅(<br />
− F(<br />
S ) )<br />
co ⋅ F u 1<br />
=<br />
= 0<br />
= 1<br />
243
ergibt sich somit<br />
Und als zweite Ableitung<br />
( c ⋅ F(<br />
S ) − c ⋅(<br />
− F(<br />
S)<br />
) )<br />
∂ o u 1<br />
= co<br />
⋅ f u ⋅<br />
∂S<br />
Diese zweite Ableitung ist offensichtlich größer<br />
oder gleich Null für alle Werte von S und somit<br />
konvex<br />
Damit sind alle Nullstellen der ersten Ableitung<br />
Minima der Kostenfunktion<br />
Wir berechnen also die optimale Bestellmenge<br />
durch Nullsetzen der ersten Ableitung<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
( S ) + c f ( S )<br />
244
Berechnung der optimalen Bestellmenge<br />
Wir erhalten somit<br />
c<br />
o<br />
⇔<br />
⇔<br />
⇔<br />
⋅ F<br />
c<br />
o<br />
( S ) − c ⋅(<br />
1−<br />
F(<br />
S)<br />
)<br />
( S ) − c + c ⋅ F(<br />
S )<br />
( c + c ) ⋅ F(<br />
S ) = c ⇔ F(<br />
S )<br />
S<br />
o<br />
⋅ F<br />
=<br />
F<br />
u<br />
−1<br />
u<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
c<br />
Man bezeichnet CR als das Critical ratio<br />
Es gilt für alle Nachfrageverteilungen<br />
o<br />
u<br />
cu<br />
+ c<br />
u<br />
u<br />
u<br />
=<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟,<br />
mit<br />
⎠<br />
=<br />
CR<br />
=<br />
=<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
0<br />
0<br />
c<br />
o<br />
c<br />
o<br />
cu<br />
+ c<br />
cu<br />
+ c<br />
u<br />
u<br />
245
CR – Beispielrechnung<br />
Sei die folgende Parameterkonstellation gegeben<br />
c=1€<br />
r=3€<br />
v=0,5€<br />
Damit gilt<br />
c<br />
c<br />
o<br />
u<br />
⇒<br />
=<br />
=<br />
c − v = 1−<br />
CR<br />
=<br />
2<br />
2,<br />
5<br />
=<br />
0,<br />
5<br />
r − c = 3−1<br />
=<br />
0,<br />
8<br />
=<br />
2€<br />
0,<br />
5€<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
246
Zurück zur diskreten Variante<br />
Da man davon ausgeht, dass die jeweilige<br />
diskrete Verteilung durch eine stetige angenähert<br />
werden kann, sind unsere Ergebnisse der<br />
stetigen Version auch verwendbar für den<br />
diskreten Fall<br />
Dies führt uns nun zurück zu unserem kleinen<br />
Eingangsbeispiel<br />
Das Mac Beispiel<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
247
CR – Für das Mac Beispiel<br />
Hier war die folgende Parameterkonstellation<br />
gegeben<br />
c=25 Cents<br />
r=75 Cents<br />
v=10 Cents<br />
Damit gilt<br />
c<br />
c<br />
o<br />
u<br />
⇒<br />
=<br />
=<br />
c − v = 25 −10<br />
= 15 Cents<br />
r − c = 75 − 25 =<br />
CR<br />
=<br />
50<br />
65<br />
=<br />
0,<br />
76923<br />
50<br />
Cents<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
248
Wie lässt sich dieses Ergebnis interpretieren?<br />
Wir wählen bei einer beliebigen<br />
Nachfrageverteilung die Bestellmenge, die in 80<br />
Prozent aller Fälle keine Fehlmengen verursacht,<br />
d.h. es gilt<br />
Anders ausgedrückt: p(x≤S*)=F(S*)=0,8<br />
Für das Beispiel Mac<br />
CR=0,76923<br />
Wir suchen die Nachfrage bei der F ungefähr den Wert<br />
0,76923 annimmt<br />
Dies ist wollen wir anhand der Tabelle ermitteln<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
249
Nachfrage<br />
0<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
9<br />
10<br />
11<br />
Daten der diskreten Verteilung<br />
Häufigkeit<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
3<br />
1<br />
2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
2<br />
5<br />
0,057692308<br />
0,019230769<br />
0,038461538<br />
0,038461538<br />
0,076923077<br />
0,115384615<br />
0,038461538<br />
0,096153846<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
f<br />
0,019230769<br />
0<br />
0<br />
0<br />
F<br />
0,019230769<br />
0,019230769<br />
0,019230769<br />
0,019230769<br />
0,076923077<br />
0,096153846<br />
0,134615385<br />
0,173076923<br />
0,25<br />
0,365384615<br />
0,403846154<br />
0,5<br />
250
251<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
Fortsetzung<br />
1<br />
0,019230769<br />
1<br />
22<br />
0,980769231<br />
0<br />
0<br />
21<br />
0,980769231<br />
0<br />
0<br />
20<br />
0,980769231<br />
0,057692308<br />
3<br />
19<br />
0,923076923<br />
0,057692308<br />
3<br />
18<br />
0,865384615<br />
0,057692308<br />
3<br />
17<br />
0,807692308<br />
0,019230769<br />
1<br />
16<br />
0,788461538<br />
0,096153846<br />
5<br />
15<br />
0,692307692<br />
0,096153846<br />
5<br />
14<br />
0,596153846<br />
0,019230769<br />
1<br />
13<br />
0,576923077<br />
0,076923077<br />
4<br />
12<br />
F<br />
f<br />
Häufigkeit<br />
Nachfrage
Konsequenz<br />
Der gesuchte Wert CR wird offensichtlich<br />
zwischen 14 und 15 angenommen<br />
Wir wählen aufgrund der Nähe zu den Werten<br />
und nach einer genaueren Betrachtung 15 als<br />
optimale Bestellmenge<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
252
Unterstellung einer Normalverteilung<br />
Im Folgenden wollen wir eine Normalverteilung<br />
als Nachfragefunktion unterstellen<br />
Dazu benötigen wir zunächst einige allgemeine<br />
Informationen zur Normalverteilung<br />
Sie besitzt die Dichtefunktion<br />
f<br />
( x)<br />
mit<br />
−0,<br />
5⋅⎜<br />
1 ⎜<br />
⎝ ⎝ σ<br />
=<br />
⋅e<br />
σ ⋅ 2⋅<br />
π<br />
μ als Erwartungswert<br />
⎛<br />
⎜<br />
2<br />
⎛ x−<br />
μ ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
,<br />
und<br />
σ<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
als Standardabweichung<br />
253
Es gilt<br />
und<br />
f<br />
( x)<br />
σ ⋅<br />
= f<br />
1<br />
=<br />
2⋅<br />
π<br />
F<br />
⋅e<br />
( − x + 2⋅<br />
μ)<br />
Eigenschaften<br />
μ<br />
( μ)<br />
= ∫<br />
−∞<br />
⎛<br />
⎜ ⎛ x−<br />
μ ⎞<br />
−0,<br />
5⋅⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎝ ⎝ σ ⎠<br />
σ<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⋅<br />
=<br />
1<br />
2⋅<br />
π<br />
σ<br />
⋅<br />
1<br />
⋅e<br />
2⋅<br />
π<br />
⎛<br />
⎜ ⎛ t−<br />
μ ⎞<br />
−0,<br />
5⋅⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎝ ⎝ σ ⎠<br />
⋅e<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
dt<br />
=<br />
1<br />
2<br />
( −x+<br />
2⋅μ<br />
)<br />
⎛<br />
⎜ ⎛ −μ<br />
⎞<br />
−0,<br />
5⋅⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎝ ⎝ σ ⎠<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
254
Konsequenzen<br />
Damit entsprechen sich bei der Normalverteilung<br />
Median und Mittelwert<br />
Die Normalverteilung ist offensichtlich<br />
symmetrisch<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
255
Die zugehörige Verteilungsfunktion…<br />
ist leider nicht analytisch berechenbar<br />
Daher wird oft der Spezialfall mit μ=0 und σ=1 betrachtet<br />
Diese spezielle Verteilungsfunktion ist die so genannte<br />
Standardnormalverteilung N(0,1)<br />
Für diese Funktion sind spezielle Tabellierungen<br />
verfügbar<br />
Daher wäre es wünschenswert die allgemeine<br />
Normalverteilung hierauf zurückzuführen<br />
Auf diese Weise kann auf die spezielle Tabellierung der<br />
Standardnormalverteilung zurückgegriffen werden<br />
Wir wollen nun einige Eigenschaften dieser speziellen<br />
Verteilungsfunktion herleiten<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
256
Eigenschaften der Standardnormalverteilung<br />
Dichtefunktion<br />
ϕ<br />
( x)<br />
Verteilungsfunktion<br />
Φ<br />
=<br />
x<br />
1<br />
2⋅<br />
π<br />
⋅e<br />
⎛<br />
⎜<br />
x<br />
⎜<br />
−<br />
⎝ 2<br />
( ) ⎝ 2 ⎠<br />
x = ⋅e<br />
dt<br />
∫ ∞<br />
−<br />
1<br />
2⋅<br />
π<br />
⎛<br />
⎜<br />
t<br />
⎜<br />
−<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
257
Transformation der Normalverteilung N(μ,σ)<br />
Es gilt die folgende z-Transformation<br />
F<br />
⎛ x − μ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ σ ⎠<br />
x−<br />
μ<br />
= z<br />
σ<br />
( ) ⎝ 2 ⎠<br />
x = Φ = ⋅e<br />
dt<br />
2⋅<br />
π<br />
Diese lässt sich leicht durch die folgende<br />
Beziehung zeigen. So gilt<br />
⎛ x − μ<br />
∂Φ⎜<br />
⎝ σ<br />
∂x<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ x − μ<br />
= Φ′<br />
⎜<br />
⎝ σ<br />
Damit erhält man die Dichtefunktion als Ableitung<br />
∫<br />
−∞<br />
⎞ 1 ⎛ x − μ ⎞ 1<br />
⎟⋅<br />
= ϕ⎜<br />
⎟⋅<br />
⎠ σ ⎝ σ ⎠ σ<br />
⎛<br />
⎜<br />
t<br />
⎜<br />
−<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
1<br />
=<br />
1<br />
⋅e<br />
2π<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎜ 1 ⎛ x−<br />
μ ⎞<br />
− ⋅⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎝<br />
2 ⎝ σ ⎠<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
1<br />
⋅<br />
σ<br />
=<br />
f<br />
( x)<br />
258
Grundsätzliche Folgerungen<br />
Damit ist „die Brücke zur Standardnormalverteilung<br />
hergestellt“ und wir können nun formulieren<br />
Falls die Zufallsgröße Z N(μ,σ) verteilt ist, gilt<br />
Damit gilt für Intervalle<br />
P<br />
( a ≤ x ≤ b)<br />
= P(<br />
x ≥ a)<br />
− P(<br />
x ≥ b)<br />
= 1−<br />
F(<br />
a)<br />
− ( 1−<br />
F(<br />
b)<br />
)<br />
⎛ a −<br />
= 1−<br />
Φ⎜<br />
⎝ σ<br />
( x ≥ a)<br />
= 1−<br />
F(<br />
a)<br />
= −Φ⎜<br />
⎟<br />
⎝ σ ⎠<br />
P 1<br />
μ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ b −<br />
−1+<br />
Φ⎜<br />
⎝ σ<br />
μ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ a −<br />
⎛ b − μ<br />
= Φ⎜<br />
⎝ σ<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
μ<br />
⎞<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ a −<br />
−Φ⎜<br />
⎝ σ<br />
μ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
259
α –Quantil<br />
Für α (0≤α≤1) ist das α – Quantil der Wert uα , bei<br />
dem gilt<br />
( x ≥ u ) = 1 α<br />
P α −<br />
Daraus folgt unmittelbar<br />
u α<br />
=<br />
F<br />
( α)<br />
Da aber auch die Verteilungsfunktion der<br />
Standardnormalverteilung nicht analytisch<br />
bestimmbar ist, kommt die folgende numerische<br />
Näherung zur Anwendung<br />
−1<br />
( α)<br />
= μ + z(<br />
α<br />
) σ,<br />
mit z(<br />
α)<br />
Quantil der Standardnormalverteilung<br />
∗<br />
S ⋅<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
260
α<br />
0,755<br />
0,76<br />
0,765<br />
0,77<br />
0,775<br />
0,78<br />
0,785<br />
0,79<br />
0,795<br />
0,8<br />
0,805<br />
0,81<br />
Beispielwerte<br />
z(α)<br />
0,69<br />
0,71<br />
0,72<br />
0,74<br />
0,755<br />
0,78<br />
0,79<br />
0,81<br />
0,825<br />
0,84<br />
0,86<br />
0,88<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
261
Konsequenz<br />
Damit ergibt sich für CR=0,8 als CR – Quantil<br />
( CR)<br />
= μ + 0,<br />
84 σ<br />
S = S<br />
⋅<br />
∗ ∗<br />
Seien im Newsvendor Problem die folgenden<br />
Daten gegeben<br />
S<br />
∗<br />
=<br />
S<br />
∗<br />
μ<br />
= 100 Stück, σ<br />
= 20 Stück<br />
( CR)<br />
= μ + 0,<br />
84⋅<br />
σ ≈100<br />
+ 0,<br />
84⋅<br />
20 = 117 Stück<br />
Wir wählen für eine Normalverteilung somit eine<br />
Bestellmenge von 117 Stück<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
262
Erwartete Fehlmenge J(S)<br />
Man vereinbart als erwartete Fehlmenge bzgl. S<br />
Damit gilt<br />
J<br />
=<br />
J<br />
∞<br />
∫<br />
y=<br />
S<br />
( S ) = ( y − S ) ⋅ f ( y)dy<br />
( S ) = ( y − S ) ⋅ f ( y)<br />
dy = lim<br />
( y − S ) ⋅ f ( y)<br />
lim<br />
∞<br />
∫<br />
y=<br />
S<br />
k→∞<br />
k<br />
∫<br />
y=<br />
S<br />
⎜ σ ⎟<br />
⎝ ⎝ ⎠ ⎠<br />
( y − S ) ⋅ ⋅e<br />
dy<br />
σ<br />
⋅<br />
1<br />
2⋅<br />
π<br />
k→∞<br />
⎛<br />
⎜ ⎛ y−<br />
μ ⎞<br />
−0,<br />
5⋅⎜<br />
⎟<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
k<br />
∫<br />
y=<br />
S<br />
∗<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
dy<br />
263
Erwartete normierte Fehlmenge L(z)<br />
Analog hierzu wird die erwartete normierte<br />
Fehlmenge für z vereinbart<br />
L<br />
( z(<br />
α)<br />
) = L(<br />
z)<br />
= ( y − z)<br />
⋅φ(<br />
y)dy<br />
Zusammenhang zwischen J(S*) und L(z*)<br />
L<br />
∞<br />
∫<br />
y=<br />
z<br />
∞<br />
∞<br />
∗<br />
∗ 1<br />
2<br />
( ) ( ) ( −0,<br />
5⋅y<br />
) ∗ 1 −0,<br />
5⋅(<br />
y−<br />
μ)<br />
z = y − z ⋅ ⋅e<br />
dy = ( y − μ − z ) ⋅ ⋅e<br />
∫<br />
y=<br />
z<br />
∗<br />
=<br />
∞<br />
∫<br />
∗<br />
y=<br />
μ+<br />
z ⋅σ<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2⋅<br />
π<br />
y − μ<br />
− z<br />
σ<br />
∗<br />
⎞<br />
⎟⋅<br />
⎠<br />
1<br />
⇒ σ ⋅ L<br />
2⋅<br />
π<br />
y=<br />
μ+<br />
z<br />
⋅e<br />
⎛<br />
2 ⎞<br />
⎜ ⎛ y−<br />
μ ⎞<br />
−0,<br />
5⋅⎜<br />
⎟ ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ ⎝ σ ⎠ ⎠<br />
∗ ∗ ( z ) = J ( S )<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
∫<br />
∗<br />
dy<br />
=<br />
2⋅<br />
π<br />
1<br />
⋅ J<br />
σ<br />
∗ ( S )<br />
2<br />
( )<br />
dy<br />
264
Eine weitere wichtige Eigenschaft von L(z)<br />
Nahmias (2005) zeigt die folgende wichtige<br />
Eigenschaft der erwarteten normierten<br />
Fehlmenge<br />
L<br />
2<br />
( ) ( −0,<br />
5⋅z<br />
z e<br />
)<br />
z ⎜ ( y z)<br />
e<br />
( −0,<br />
5⋅y<br />
= ⋅ − ⋅ 1−<br />
− ⋅ ⋅<br />
)<br />
= ϕ<br />
2⋅<br />
π<br />
z<br />
2⋅<br />
π<br />
( z)<br />
− z ⋅⎜1<br />
Φ(<br />
y)<br />
dy⎟<br />
= f ( z)<br />
− z ⋅(<br />
1−<br />
F ( z)<br />
)<br />
y=<br />
−∞<br />
Diese Eigenschaft erlaubt uns eine kompakte<br />
Darstellung der erwarteten optimalen Kosten<br />
z<br />
1 2<br />
⎛<br />
−<br />
⎜<br />
⎝<br />
∫<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
y=<br />
−∞<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
∫<br />
01<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
1<br />
01<br />
⎞<br />
dy⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
265
Erwartete optimale Kosten<br />
Nun können wir für die erwarteten Kosten der optimalen Bestellmenge<br />
S* formulieren<br />
Z<br />
∗<br />
S<br />
∞<br />
∗<br />
∗<br />
∗<br />
( S ) = co<br />
⋅ ∫ ( S − y)<br />
⋅ f ( y)<br />
dy + cu<br />
⋅ ∫ ( y − S ) ⋅ f ( y)<br />
= c<br />
+ c<br />
= c<br />
= c<br />
= c<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
u<br />
y=<br />
0<br />
⎛<br />
⋅⎜<br />
S<br />
⎜<br />
⎝<br />
⋅<br />
⎛<br />
⋅⎜<br />
S<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅⎜<br />
S<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅⎜<br />
S<br />
⎜<br />
⎝<br />
∗<br />
f<br />
∗<br />
∗<br />
( y)<br />
dy − y ⋅ f ( y)<br />
dy + S ⋅ f ( y)<br />
dy − y ⋅ f ( y)<br />
dy − S ⋅ f ( y)<br />
dy + y ⋅ f ( y)<br />
∞<br />
∗<br />
∫ ( y − S ) ⋅ f ( y)<br />
y=<br />
S<br />
∗<br />
∗<br />
∗<br />
⋅<br />
⋅<br />
S<br />
∗<br />
∫<br />
y=<br />
0<br />
∞<br />
∫<br />
y=<br />
0<br />
f<br />
⋅1−<br />
μ − S<br />
− μ +<br />
dy<br />
∗<br />
∗<br />
( y)<br />
dy − ∫ y ⋅ f ( y)<br />
dy − S ⋅ ∫ f ( y)<br />
dy + ∫ y ⋅ f ( y)<br />
dy⎟<br />
+ cu<br />
⋅ ∫ ( y − S ) ⋅ f ( y)<br />
f<br />
dy<br />
∗<br />
( y)<br />
dy + ∫ y ⋅ f ( y)<br />
dy⎟<br />
+ cu<br />
⋅ ∫ ( y − S ) ⋅ f ( y)<br />
∞<br />
∞<br />
∗<br />
∗<br />
∫ ( y − S ) ⋅ f ( y)<br />
dy⎟<br />
+ cu<br />
⋅ ∫ ( y − S ) ⋅ f ( y)dy<br />
y=<br />
S<br />
∗<br />
∗<br />
⋅<br />
S<br />
∫<br />
y=<br />
0<br />
∞<br />
y=<br />
0<br />
∞<br />
∫<br />
∗<br />
y=<br />
S<br />
∗<br />
y=<br />
S<br />
∗<br />
∞<br />
y=<br />
S<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
∗<br />
∞<br />
∫<br />
y=<br />
S<br />
∞<br />
y=<br />
S<br />
∗<br />
∗<br />
y=<br />
S<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
y=<br />
S<br />
y=<br />
S<br />
y=<br />
S<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
∞<br />
∫<br />
∞<br />
∞<br />
∗<br />
∗<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
dy<br />
∞<br />
∫<br />
y=<br />
S<br />
∞<br />
∗<br />
y=<br />
S<br />
∞<br />
∫<br />
y=<br />
S<br />
∗<br />
dy<br />
⎞<br />
dy⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
266
Z<br />
Erwartete optimale Kosten<br />
∞<br />
∞<br />
∗<br />
∗<br />
∗<br />
∗<br />
( S ) = c ⋅<br />
⎜<br />
S − μ + ( y − S ) ⋅ f ( y)<br />
dy<br />
⎟<br />
+ c ⋅ ( y − S ) ⋅ f ( y)<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
⎛<br />
⎜ <br />
<br />
∗ ⎝ = z ⋅σ<br />
⋅ z<br />
⋅ z<br />
⋅ z<br />
⋅ z<br />
∗<br />
∗<br />
∗<br />
∗<br />
⋅σ<br />
⋅σ<br />
⋅σ<br />
⋅σ<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
∫<br />
y=<br />
S<br />
∗<br />
∞<br />
∗<br />
( c + c ) ⋅ ( y − S ) ⋅ f ( y)<br />
o<br />
∫<br />
⎛<br />
⎜<br />
∗ ∗<br />
∗<br />
( c + c ) ⋅σ<br />
⋅<br />
⎜<br />
f ( z ) − z ⋅⎜<br />
− F ( z )<br />
o<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
∗<br />
( c + c ) ⋅σ<br />
⋅ f ( z ) − ( c + c )<br />
o<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
y=<br />
S<br />
dy = c<br />
y=<br />
S<br />
<br />
<br />
∗ ∗<br />
= J ( S ) = σ⋅L<br />
( z )<br />
01<br />
⎛ ⎞⎞<br />
⎜ ⎟⎟<br />
1 ⎟⎟<br />
01 ⎜ <br />
⎟⎟<br />
⎜ cu<br />
co<br />
= 1−<br />
= ⎟⎟<br />
⎝ cu<br />
+ co<br />
cu<br />
+ co<br />
⎠⎠<br />
o u<br />
∗ co<br />
⋅σ<br />
⋅ z ⋅<br />
c + c<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
∗<br />
( c + c ) ⋅σ<br />
⋅ L(<br />
z )<br />
∗<br />
∗<br />
∗<br />
( c + c ) ⋅σ<br />
⋅ f ( z ) − c ⋅σ<br />
⋅ z = ( c + c ) ⋅σ<br />
⋅ f ( z )<br />
o<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
01<br />
01<br />
o<br />
u<br />
∫<br />
o<br />
⋅ z<br />
o<br />
∗<br />
⋅σ<br />
u<br />
u<br />
+<br />
o<br />
o<br />
dy<br />
01<br />
u<br />
267
Es gilt somit<br />
Damit ergeben sich für Z(S*)<br />
( ∗ ) ( ) ( ∗<br />
S = c + c ⋅σ<br />
⋅ f z ) = ( , 5 + 2)<br />
⋅ 20⋅<br />
f ( 0,<br />
84)<br />
Z o u<br />
Damit ergibt sich als optimaler Gewinn<br />
Im Beispiel ergibt sich somit<br />
01<br />
= 2,<br />
5⋅<br />
20⋅<br />
0,<br />
28 = 14<br />
0 01<br />
( ∗ ) ( ) ( ∗ ) ( ) ( ) ( ∗<br />
S = r − c ⋅ μ − Z S = r − c ⋅ μ − c + c ⋅ f z ) ⋅σ<br />
Π u o<br />
Π<br />
( ∗ ) ( ) ( ∗<br />
S = 3 −1<br />
⋅100<br />
− Z S ) = 200 −14<br />
= 186<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
01<br />
268
Konsequenzen<br />
Wir sehen unmittelbar, dass sowohl die Höhe des<br />
Erwartungswertes als auch die Höhe der<br />
Standardabweichung einen signifikanten Einfluss auf den<br />
erwarteten Gewinn haben<br />
Triviale Erkenntnis<br />
Je größer der Erwartungswert (also des erwarteten Absatzes)<br />
desto größer ist der erwartete Erlös und damit der erwartete<br />
Gewinn<br />
Je größer die Standardabweichung (also die Unsicherheit in der<br />
Nachfrage) desto größer werden die erwarteten Kosten und<br />
mindert damit den erwarteten Gewinn. Zu beachten ist hierbei<br />
Es gibt Unsicherheit aufgrund einer unscharfen Nachfrageprognose<br />
(hier gibt es ein wichtiges Verbesserungspotential)<br />
Somit ist an einer verbesserten Prognose mit geringeren<br />
Abweichungen zu arbeiten<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
269
Folge: Idealer Extremfall<br />
Bei sicherer Nachfrageprognose ohne<br />
Abweichungen ergeben sich keinerlei erwartete<br />
Kosten mehr<br />
So wäre in diesem Fall die Bestellmenge an der<br />
nun sicheren erwarteten Nachfrageprognose<br />
auszurichten<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
270
Es gilt nun<br />
S<br />
∗<br />
Erwartete Kosten<br />
Z(S*) bei Halbierung von σ<br />
= ∗<br />
S<br />
( ∗ ) ( ) ( ∗<br />
S = c + c ⋅σ<br />
⋅ f z ) = ( , 5 + 2)<br />
⋅10⋅<br />
f ( 0,<br />
84)<br />
Z o u<br />
= 2,<br />
5⋅10⋅<br />
0,<br />
28<br />
01<br />
=<br />
Damit ergibt sich als optimaler erwarteter Gewinn<br />
Π<br />
( CR)<br />
= μ + 0, 84⋅<br />
σ = 100 + 0,<br />
84⋅10<br />
≈109<br />
7<br />
0 01<br />
( ∗ ) ( ) ( ∗<br />
S = 3 −1<br />
⋅100<br />
− Z S ) = 200 − 7 = 193<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
271
Diskrete Variante<br />
Hier tritt die Nachfrage in vordefinierten<br />
Wahrscheinlichkeiten in diskreten Niveaus auf<br />
Wir gehen dabei davon aus, dass die Nachfrage<br />
für kleinere n Poisson verteilt ist<br />
Hierzu zunächst einige Informationen zur<br />
Poissonverteilung<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
272
Informationen zur Poissonverteilung<br />
Die Poissonverteilung ist eine diskrete<br />
Wahrscheinlichkeitsverteilung, d.h. es treten nur<br />
abzählbar viele Ausprägungen auf<br />
Sie ist abgeleitet aus einer Folge von Bernoulli<br />
Experimenten (2 mögliche Ausgänge)<br />
Die Dichtefunktion der Poissonverteilung ist definiert<br />
durch<br />
p<br />
−λ<br />
( X =<br />
y)<br />
= p = ⋅e<br />
, mit λ als Ereignisrate<br />
y<br />
y<br />
λ<br />
y!<br />
Die Ereignisrate λ ist zugleich Erwartungswert und<br />
Varianz der Verteilung<br />
Der Einsatz einer solchen Verteilung bietet sich immer<br />
dann an, wenn nur wenige Ausprägungen möglich sind<br />
Geht die Anzahl der möglichen Ausprägungen gegen<br />
Unendlich nähert sich die speziell parametrisierte<br />
Poissonverteilung der Standardnormalverteilung<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
273
Erwartungswert der Poissonverteilung<br />
Es gilt für den Erwartungswert:<br />
E<br />
=<br />
( X )<br />
λ ⋅e<br />
=<br />
−λ<br />
y=<br />
0<br />
⋅<br />
∞<br />
∑<br />
∞<br />
∑<br />
y=<br />
0<br />
y ⋅<br />
= e<br />
p<br />
λ<br />
y<br />
=<br />
∞<br />
∑<br />
y=<br />
0<br />
y−1<br />
λ<br />
=<br />
( y −1)<br />
!<br />
<br />
y<br />
λ<br />
y ⋅ ⋅e<br />
y!<br />
λ<br />
−λ<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
=<br />
e<br />
−λ<br />
⋅<br />
∞<br />
∑<br />
y=<br />
0<br />
y<br />
λ<br />
y ⋅<br />
y!<br />
274
275<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
Varianz der Poissonverteilung<br />
Es gilt für die Varianz<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
λ<br />
λ<br />
λ<br />
λ<br />
λ<br />
λ<br />
e<br />
!<br />
y<br />
λ<br />
λ<br />
λ<br />
λ<br />
e<br />
!<br />
y<br />
λ<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
λ<br />
λ<br />
λ<br />
e<br />
y!<br />
λ<br />
y<br />
y<br />
λ<br />
λ<br />
e<br />
y!<br />
λ<br />
y<br />
y<br />
λ<br />
e<br />
y!<br />
λ<br />
y<br />
y<br />
y<br />
λ<br />
λ<br />
e<br />
y!<br />
λ<br />
y<br />
e<br />
y!<br />
λ<br />
λ<br />
e<br />
!<br />
y<br />
λ<br />
λ<br />
e<br />
y!<br />
λ<br />
y<br />
e<br />
y!<br />
λ<br />
λ<br />
λ<br />
y<br />
y<br />
p<br />
λ<br />
λ<br />
y<br />
y<br />
p<br />
λ<br />
y<br />
X<br />
y<br />
λ<br />
y<br />
y<br />
λ<br />
y<br />
y<br />
λ<br />
y<br />
y<br />
λ<br />
y<br />
y<br />
λ<br />
y<br />
y<br />
λ<br />
y<br />
y<br />
λ<br />
y<br />
y<br />
λ<br />
y<br />
y<br />
λ<br />
y<br />
y<br />
λ<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
=<br />
−<br />
+<br />
=<br />
−<br />
+<br />
⋅<br />
−<br />
⋅<br />
=<br />
−<br />
+<br />
⋅<br />
−<br />
⋅<br />
−<br />
⋅<br />
⋅<br />
−<br />
⋅<br />
⋅<br />
=<br />
−<br />
+<br />
⋅<br />
⋅<br />
−<br />
⋅<br />
=<br />
−<br />
+<br />
⋅<br />
⋅<br />
−<br />
⋅<br />
=<br />
−<br />
⋅<br />
⋅<br />
+<br />
−<br />
⋅<br />
=<br />
+<br />
⋅<br />
−<br />
⋅<br />
⋅<br />
=<br />
⋅<br />
⋅<br />
+<br />
⋅<br />
−<br />
⋅<br />
⋅<br />
−<br />
⋅<br />
⋅<br />
=<br />
⋅<br />
⋅<br />
+<br />
⋅<br />
⋅<br />
−<br />
=<br />
⋅<br />
+<br />
⋅<br />
⋅<br />
−<br />
=<br />
⋅<br />
−<br />
=<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∞<br />
=<br />
−<br />
−<br />
∞<br />
=<br />
−<br />
−<br />
∞<br />
=<br />
−<br />
∞<br />
=<br />
−<br />
∞<br />
=<br />
−<br />
∞<br />
=<br />
−<br />
∞<br />
=<br />
−<br />
∞<br />
=<br />
−<br />
−<br />
∞<br />
=<br />
−<br />
∞<br />
=<br />
−<br />
∞<br />
=<br />
∞<br />
=<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
Var
Erwartungswert der Kosten<br />
Damit können wir die folgende Formel ansetzen<br />
Z<br />
∗<br />
S −1<br />
∞<br />
∗<br />
∗<br />
∗<br />
( S ) = c ⋅ ( S − y)<br />
⋅ p(<br />
X = y)<br />
) + c ⋅ ( y − S ) ⋅ p(<br />
X = y)<br />
)<br />
o<br />
∑<br />
y=<br />
0<br />
Bei der Ermittlung der optimalen Bestellmenge „stört“ die<br />
unendliche Summe<br />
Diese lässt sich allerdings durch einen einfachen Trick<br />
„entfernen“<br />
Wir definieren wie folgt<br />
c<br />
=<br />
u<br />
⋅<br />
c<br />
∞<br />
∑<br />
y=<br />
S<br />
u<br />
⋅<br />
∗<br />
∗ ( y − S ) ⋅ p(<br />
X = y)<br />
)<br />
∞<br />
∑<br />
y=<br />
0<br />
∑<br />
y=<br />
S<br />
∗<br />
S −1<br />
∗<br />
∗<br />
( y − S ) ⋅ p(<br />
X = y)<br />
) − c ⋅ ( y − S ) ⋅ p(<br />
X = y)<br />
)<br />
u<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
u<br />
∑<br />
y=<br />
0<br />
∗<br />
276
Direkte Vereinfachungen<br />
Und erhalten schließlich als vereinfachten<br />
Ausdruck<br />
=<br />
=<br />
c<br />
c<br />
u<br />
u<br />
⋅<br />
∞<br />
∑<br />
y=<br />
0<br />
⋅λ<br />
− S<br />
∗<br />
( y ⋅ p(<br />
X = y)<br />
) − S ⋅c<br />
⋅ p(<br />
X = y)<br />
∗<br />
⋅c<br />
u<br />
⋅1−<br />
c<br />
u<br />
⋅<br />
S<br />
∗<br />
−1<br />
∑<br />
y=<br />
0<br />
u<br />
∗<br />
S −1<br />
∗<br />
( ) − c ⋅ ( y − S ) ⋅ p(<br />
X = y)<br />
)<br />
∗ ( y − S ) ⋅ p(<br />
X = y)<br />
)<br />
Somit ergibt sich für die erwarteten Kosten<br />
∞<br />
∑<br />
y=<br />
0<br />
∗<br />
∗<br />
S<br />
S −1<br />
∗<br />
∗<br />
∗<br />
∗<br />
( S ) = c ⋅ ( S − y)<br />
⋅ p(<br />
X = y)<br />
) + c ⋅(<br />
− S ) − c ⋅ ( y − S ) ⋅ p(<br />
X = y)<br />
)<br />
o<br />
∑<br />
Z λ<br />
y=<br />
0<br />
u<br />
∑<br />
y=<br />
0<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
u<br />
u<br />
∑<br />
y=<br />
0<br />
277
Erwartungswert der Kosten<br />
Und damit erhalten wir<br />
Z<br />
=<br />
=<br />
=<br />
∗ ( S )<br />
c<br />
c<br />
o<br />
o<br />
⋅<br />
⋅<br />
∗<br />
∑<br />
y=<br />
0<br />
∗<br />
∑<br />
y=<br />
0<br />
∗<br />
S<br />
∗<br />
∗<br />
∗<br />
( S − y)<br />
⋅ p(<br />
X = y)<br />
) + c ⋅ ( S − y)<br />
⋅ p(<br />
X = y)<br />
) + c ⋅(<br />
λ − S )<br />
∗<br />
S<br />
∗<br />
∗<br />
( S − y)<br />
⋅ p(<br />
X = y)<br />
) + c ⋅ ( S − y)<br />
⋅ p(<br />
X = y)<br />
)<br />
∗<br />
S<br />
∗<br />
∗<br />
( c + c ) ⋅ ( S − y)<br />
⋅ p(<br />
X = y)<br />
) + c ⋅(<br />
λ − S )<br />
o<br />
S<br />
S<br />
u<br />
∑<br />
y=<br />
0<br />
u<br />
u<br />
∑<br />
y=<br />
0<br />
∑<br />
y=<br />
0<br />
u<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
+ c<br />
u<br />
u<br />
⋅λ<br />
− c<br />
u<br />
⋅ S<br />
∗<br />
278
279<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
Poissonverteilung mit Mittelwert 3<br />
1<br />
1,39001E-12<br />
22<br />
1<br />
1,01934E-11<br />
21<br />
1<br />
7,13538E-11<br />
20<br />
1<br />
4,75692E-10<br />
19<br />
0,999999999<br />
3,01272E-09<br />
18<br />
0,999999996<br />
1,80763E-08<br />
17<br />
0,999999978<br />
1,02432E-07<br />
16<br />
0,999999876<br />
5,46306E-07<br />
15<br />
0,99999933<br />
2,73153E-06<br />
14<br />
0,999996598<br />
1,27471E-05<br />
13<br />
0,999983851<br />
5,52376E-05<br />
12<br />
0,999928613<br />
0,00022095<br />
11<br />
0,999707663<br />
0,000810151<br />
10<br />
0,998897512<br />
0,002700504<br />
9<br />
0,996197008<br />
0,008101512<br />
8<br />
0,988095496<br />
0,021604031<br />
7<br />
0,966491465<br />
0,050409407<br />
6<br />
0,916082058<br />
0,100818813<br />
5<br />
0,815263245<br />
0,168031356<br />
4<br />
0,647231889<br />
0,224041808<br />
3<br />
0,423190081<br />
0,224041808<br />
2<br />
0,199148273<br />
0,149361205<br />
1<br />
0,049787068<br />
0,049787068<br />
0<br />
Kumulierte Wahrscheinlichkeit<br />
Wahrscheinlichkeit<br />
Nachfrage
Beispiel – Bestimmung von S*<br />
Wie man sofort sieht, ist S* auf 4 zu setzen<br />
∗<br />
S<br />
∗<br />
∗<br />
∗<br />
( S ) = ( c + c ) ⋅ ( S − y)<br />
⋅ p(<br />
X = y)<br />
) + c ⋅(<br />
− S )<br />
=<br />
=<br />
=<br />
o<br />
( 0,<br />
5 + 2)<br />
⋅ ( ( 4 − y)<br />
⋅ p(<br />
X = y)<br />
) + 2⋅<br />
( 3−<br />
4)<br />
2,<br />
5<br />
2,<br />
5<br />
⋅<br />
⋅<br />
u<br />
∑<br />
Z λ<br />
y=<br />
0<br />
4<br />
∑<br />
y=<br />
0<br />
( 0,<br />
19914827 + 0,<br />
44808362 + 0,<br />
44808362 + 0,<br />
22404184)<br />
( 1,<br />
31935731)<br />
− 2 = 1,<br />
298393275 ≈1,<br />
30<br />
Damit ergibt sich als erwarteter Gewinn<br />
Π<br />
( ∗ ) ( ) ( ∗<br />
S = 3 −1<br />
⋅3<br />
− Z S ) = 6 −1,<br />
30 = 4,<br />
70<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
u<br />
− 2<br />
280
Servicegrade<br />
Bisher haben wir für Fehlmengen und Überbestände<br />
einfach Kosten angesetzt und diese schließlich minimiert<br />
Problem dabei ist allerdings<br />
dass diese Kosten nicht immer eindeutig ermittelbar sind<br />
So gibt es unter Umständen Kunden, die aufgrund von<br />
Fehlmengen dauerhaft oder zumindest längerfristig zur<br />
Konkurrenz wechseln<br />
Diese Auswirkungen zu ermitteln ist sehr schwierig<br />
Daher gibt es andere Ansätze, die eine bestimmte<br />
Qualität in Form von zu erreichenden Servicegraden<br />
vorgeben und ausgehend hiervon die Bestellmengen<br />
festlegen<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
281
Idee:<br />
α-Servicegrad<br />
Wir wollen mit der Vorgabe eines Wertes zwischen 0<br />
und 1 für α bestimmen, dass die Nachfrage in α<br />
Prozent vielen Fällen vollauf befriedigt werden<br />
kann<br />
Das heißt formal, dass wir das folgende Problem<br />
betrachten<br />
Minimiere<br />
S<br />
unter Beachtung der<br />
F<br />
( ∗<br />
S ) ≥ α<br />
∗<br />
Nebenbedingung<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
282
α<br />
0,895<br />
0,9<br />
0,905<br />
0,91<br />
0,915<br />
0,92<br />
0,925<br />
0,93<br />
0,935<br />
0,94<br />
0,945<br />
0,95<br />
Beispielwerte<br />
z(α)<br />
1,25<br />
1,29<br />
1,31<br />
1,34<br />
1,37<br />
1,41<br />
1,44<br />
1,48<br />
1,51<br />
1,56<br />
1,6<br />
1,64<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
283
α-Servicegrad – Die zugehörige Bestellmenge<br />
Wir können somit S* direkt ermitteln durch<br />
S<br />
∗ =<br />
An unserem Beispiel (μ=100, σ=20) folgt für<br />
α=0,95: z=1,64 und damit S*=100+1,64 . 20=132,8.<br />
Also 133 Stück<br />
α=0,9: z=1,29 und damit S*=100+1,29 . 20=125,8. Also<br />
126 Stück<br />
( α)<br />
Die Funktion nimmt bei Annäherung an α=1<br />
einen extrem ansteigenden Verlauf<br />
F<br />
−1<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
284
Idee:<br />
β-Servicegrad<br />
Betrachte zu einer Bestellmenge S die erwartete<br />
Fehlmenge J(S)<br />
J<br />
∞<br />
∫<br />
y=<br />
S<br />
( S ) = ( y − S ) ⋅ f ( y)dy<br />
Sie enthält – wenn normiert – den Anteil der<br />
Nachfrage, der nicht befriedigt werden kann, d.h.<br />
∞<br />
∫ J y=<br />
S<br />
( S )<br />
μ<br />
=<br />
( y − S ) ⋅ f ( y)<br />
μ<br />
dy<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
285
β-Servicegrad<br />
Das heißt – positiv formuliert – wir sind bei Bestellmenge<br />
S in der Lage, genau<br />
∞<br />
∫ J y=<br />
S<br />
( S )<br />
1−<br />
= 1−<br />
μ<br />
( y − S ) ⋅ f ( y)<br />
Prozent der Nachfrage zu befriedigen<br />
Damit ergibt sich als Programm der Erfüllung eines β-<br />
Servicegrades<br />
Minimiere<br />
S<br />
unter Beachtung der<br />
∗<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
μ<br />
dy<br />
Nebenbedingung<br />
1−<br />
J<br />
( ∗<br />
S ) ≥ β<br />
μ<br />
286
β-Servicegrad – Die zugehörige Bestellmenge<br />
Wir betrachten wiederum unser Beispiel mit der<br />
Normalverteilung<br />
Unter Verwendung von J(S)=σ . L(z) gehen wir<br />
über zu der normierten Funktion L(z)<br />
Damit muss für S* gelten<br />
1−<br />
⇔<br />
J<br />
( ∗ ) ( ∗ ) ( ∗<br />
S<br />
σ ⋅ L z μ − σ ⋅ L z )<br />
μ<br />
≥<br />
μ − σ ⋅ L<br />
β<br />
⇔ 1−<br />
μ<br />
( ∗ ) ( )<br />
( ) ( ∗ ) ( ∗<br />
z ≥ β ⋅ μ ⇔ 1−<br />
β ⋅ μ ≥ σ ⋅ L z ⇔ ≥ L z )<br />
Beachte dass L(z) eine fallende Funktion ist<br />
≥<br />
β<br />
⇔<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
μ<br />
≥<br />
β<br />
1−<br />
β<br />
σ<br />
⋅ μ<br />
287
Am Beispiel ergibt sich<br />
Wir unterstellen wieder die obigen Daten<br />
β<br />
=<br />
0,<br />
95,μ<br />
= 100,σ<br />
( 1−<br />
β)<br />
⋅ μ 5 ( ∗<br />
= = 0,<br />
25 ≥ L z )<br />
σ<br />
20<br />
Durch Betrachtung von entsprechenden Tabellen<br />
erhalten wir<br />
z<br />
∗<br />
⇒<br />
=<br />
S<br />
L<br />
∗<br />
−1<br />
( 0,<br />
25)<br />
= 100 +<br />
≈<br />
0,<br />
34<br />
0,<br />
34<br />
=<br />
⋅20<br />
=<br />
20<br />
106,<br />
8<br />
≈107<br />
Wirtschaftsinformatik und Operations Research<br />
288