Physikalische Analyse von Schwungbewegungen im Alltag

Hierbei ist ϕ0 die maximale Auslenkung der Pendelbewegung. Für den Fall kleiner
Auslenkungen erhalten wir eine harmonische freie Schwingung, das heißt, dass die
Ortskurve sinus- bzw. kosinusförmig verläuft. Die Periode der Schwingung ist
2πl T = = 2π
ω g (67)
Demnach nimmt die Schwingungsdauer mit der Pendellänge zu. Die Unabhängigkeit
der Schwingungsdauer von der Amplitude der Schwingung ist ein weiteres
charakteristisches Zeichen einer harmonischen Schwingung.
Reale schwingende Systeme sind, sofern dem nicht durch äußere Kräfte
entgegengewirkt wird, immer dissipativ, das heißt dem System wird ständig durch
Reibung Energie entzogen. Die Reibung entsteht größtenteils durch Luftwiderstand
am Pendelkörper, aber auch durch innere Reibung im Faden. Sie erzeugt Wärme,
die der Energie des Systems entnommen wird. Beim Fadenpendel erhält man
speziell bei großen Pendelkörpern und hohen Geschwindigkeiten starke
Dämpfungen, da in Luft die Reibung bei niedrigen Geschwindigkeiten von v
(laminare Reibung), und bei höheren Geschwindigkeiten näherungsweise von 2
v
abhängt (turbulente Reibung). In der Kräftebilanz muss dann ein Summand, der
diese Reibung einbezieht, mit berücksichtigt werden. Da unter Einbeziehung der
turbulenten Reibung nicht mehr geschlossen integriert werden kann, sei hier nur die
laminare Reibung berücksichtigt [10, S.608].
g
ϕ =− sinϕ+γϕ l
(68)
l
Bei den Fadenpendel Aufnahmen, aus denen Abb. 4-7 entstanden, wurde versucht,
das Pendel möglichst reibungsfrei zu lagern. Deshalb ist bei der Lösung einer
solchen DGL nur der Fall schwacher Dämpfung zu betrachten. Die Amplitude der
Schwingung nimmt dann mit einem bestimmten Prozentsatz pro Zeiteinheit ab.
Mathematisch wird solch ein Zusammenhang mit Hilfe der Exponentialfunktion
beschrieben. Bei gedämpften Schwingungen erhält man, wenn man die Amplitude
zur Zeit aufträgt, eine Sinusschwingung einbeschrieben zwischen zwei e-Funktionen
als Einhüllende, mit der positiven x-Achse als Asymptote. Die Lösung der linearen
homogenen Differentialgleichung mit einer zur Geschwindigkeit proportionalen
laminaren Reibung lässt sich so mit
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