Ultrakurze Lichtimpulse - Fakultät 06 - Hochschule München
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<strong>Hochschule</strong> <strong>München</strong><br />
<strong>Fakultät</strong> <strong>06</strong><br />
Laserzentrum<br />
Prof. H. Huber<br />
Beeinflussung und Messung ultrakurzer<br />
<strong>Lichtimpulse</strong><br />
Praktikumsanleitung für den Lehrversuch
Lehrversuch: Beeinflussung und Messung ultrakurzer <strong>Lichtimpulse</strong><br />
Motivation<br />
Das erste photografische Bild eines laufenden Pferdes löste auf, dass dieses zu einem bestimmten<br />
Zeitpunkt mit keiner Hufe Kontakt zum Untergrund hat und somit durch die Luft fliegt. Fasziniert von<br />
diesen Einblicken in die Vorgänge der Natur, entstanden so immer neue Techniken um die<br />
Belichtungszeit zu verkürzen und somit das aufzeichenbare Ereignis ebenso zu minimieren. Dabei<br />
spielte gerade die Entwicklung der Laser in den letzten Jahrzehnten eine wichtige Rolle. <strong>Ultrakurze</strong><br />
Pulse erstrecken sich in einem Bereich von Pico- bis Attosekunden. So gelang es, mithilfe ultrakurzer<br />
Laserpulse, das kürzeste jemals vom Menschen erzeugte und gemessene Ereignis von 80<br />
Attosekunden (Stand 2011) zu ermöglichen. Ähnlich verblüffte Blicke, wie einst mit dem laufenden<br />
Pferd, könnten nun beim Beobachten der Bewegung von Elektronen folgen.<br />
Neben der Grundlagenforschung haben sich Ultrakurzpulslaser auch in der Medizin, der Messtechnik,<br />
der Präzisionsmaterialbearbeitung und vielen weiteren Bereichen etabliert und sind dort heutzutage<br />
nicht mehr wegzudenken. Dabei spielt die Kontrolle über die zeitliche Dauer der Laserpulse eine<br />
entscheidende Rolle.<br />
Ziele des Praktikums:<br />
- Erzeugung von Pico- und Femtosekundenlaserpulsen<br />
- Beeinflussung der Pulsdauer in Theorie und Praxis mittels optischen Materials, Prismen-<br />
und Gitterkompressoren<br />
- Charakterisierung und Messung ultrakurzer Lichtpulse in Theorie und Praxis mittels<br />
Autokorrelaiton<br />
- Auswerten von Messdaten, anfitten von Modellfunktionen<br />
Vorbereitung des Praktikums:<br />
Folgende Themengebiete sind für das Verständnis und die Durchführung des Praktikums relevant.<br />
Deshalb sollten sie vor dem Praktikum gewissenhaft vorbereitet werden.<br />
Themengebiet Details<br />
1. <strong>Ultrakurze</strong> Pulse Erzeugung via Modenkopplung, Zeit-Bandbreite-Produkt,<br />
Chirp, Dispersion, Gruppen- und Phasengeschwindigkeit<br />
2. Dispersive Elemente Optisches Material, Prismenkompressor, Gitterkompressor<br />
3. Frequenzverdoppelung Nichtlineare Kristalle, Doppelbrechung, Impuls- und<br />
Energieerhaltung, Phasenanpassung<br />
4. Autokorrelation Prinzip der optischen Methode, Autokorrelationsintegral,<br />
Kurvenmodelle, Informationsgehalt des Signals<br />
Als Quellen für die Vorbereitung kann der Anhang und das dort befindliche Quellenverzeichnis<br />
dienen. Neben einem Überblick über die oben genannten Themengebiete sollten auch die Testatfragen<br />
(die sich auf der nächsten Seite befinden) gezielt vorbereitet werden.<br />
Seite | 1
Antestat, Vorbesprechung<br />
Folgende Fragen sollen beantwortet werden:<br />
1. Wie erzeugt man cw, ms, µs, ns, ps, fs Laserstrahlung? Erklären Sie das<br />
Grundprinzip der Güteschaltung und Modenkopplung. Wie realisiert man aktive und<br />
passive?<br />
2. Der modengekoppelte Laser im Praktikum arbeitet mit einer Repetitionsrate von 82<br />
MHz. Wodurch wird diese bestimmt? Mit welcher Frequenz müsste ein Güteschalter<br />
bei aktiver Modenkopplung schalten? Wie groß ist der spektrale Abstand der<br />
longitudinalen Moden?<br />
3. Wodurch wird die Pulsdauer eines modengekoppelten Lasers bestimmt? Geben Sie<br />
die Beziehung zwischen Bandbreite und minimaler Pulsdauer an! Welche Pulsform<br />
gibt bei gegebener Bandbreite die kürzeste Pulsdauer?<br />
4. Was ist der Gruppenbrechungsindex? Was versteht man unter einem gechirpten Puls?<br />
Welchen Einfluss haben die jeweiligen Dispersionen bis zur dritten Ordnung auf die<br />
Pulsdauer und die zeitlich Pulsform?<br />
5. Erklären Sie wie mittels Prismen- und Gitterkompressor Einfluss auf die Pulsdauer<br />
genommen werden kann. Was sind die Vor- und Nachteile dieser Anordnungen?<br />
6. Kann ein negativ gechirpter Puls, in einem Gitterkompressor auf sein<br />
bandbreitebegrenztes Minimum verkürzt werden?<br />
7. Welche Messmethoden zur Bestimmung der Pulsdauer von Lasern kennen Sie?<br />
Welche Wegstrecke durchläuft ein Puls in 1 ns, 1 ps und 1 fs?<br />
8. Erklären sie kurz das Prinzip der Autokorrelation. Wann verwendet man diese<br />
Technik zur Pulslängenbestimmung? Welche Aufgabe hat der Verdopplerkristall im<br />
Messaufbau<br />
9. Wie ist die Pulsdauer definiert? Wie wird aus dem Autokorrelationssignal die<br />
Pulsdauer bestimmt?<br />
WICHTIGE HINWEISE ZUM UMGANG MIT DEN LASERN IM PRAKTIKUM<br />
Die im Praktikum verwendete Laserstrahlung wird der Klasse 3B zugeordnet. Es treten Wellenlängen<br />
von 390 nm und 780 nm (beide am Rande der spektralen Sichtbarkeit) auf. Folgen Sie unbedingt<br />
genau den Anweisungen des Betreuers. Machen sie sich klar, wo überall Strahlung auftreten kann.<br />
Gerade im Bereich des Gitterkompressors kommt es aufgrund verschiedener Beugungsordnungen zu<br />
Strahlen außerhalb der Anordnung. Tragen Sie während des gesamten Praktikums ihre Schutzbrille.<br />
Am Praktikum darf nur teilnehmen, wer die jährliche Sicherheitsunterweisung zum Thema<br />
Laserstrahlung erhalten hat. Teilnehmer des Praktikums werden aufgefordert, selbst darauf zu achten,<br />
dass sie geeignete Schutzausrüstung (insbesondere Schutzbrillen) verwenden.<br />
Seite | 2
Durchführung des Praktikums<br />
Hinweis: Bitte bringen Sie einen USB-Stick zur Datenerfassung mit!<br />
Es stehen Ihnen folgende Geräte und Messmittel zur Verfügung:<br />
1. Femtosekundenoszillator<br />
2. Handautokorrelator mit Multimeter<br />
3. Kommerzieller Autokorrelator<br />
4. Spektrometer<br />
5. Photodiode mit Powermeter und Graufilter<br />
6. Lineal<br />
Arbeitsschritt 1: Inbetriebnahme<br />
Nehmen Sie den Laser in Betrieb. Achten Sie auf Ihre Schutzausrüstung. Schalten Sie zuerst die<br />
Temperaturregelung des nichtlinearen Kristalls ein. Drehen Sie den Power-Schlüsselschalter des FFS<br />
DC Racks auf „ON“ . Warten Sie bis alle TEC LEDs kontinuierlich leuchten. Durch drücken der OCS<br />
„ON/OFF“ Taste aktivieren Sie den Oszillator. Warten Sie auch hier auf ein konstantes Aufleuchten<br />
der LED. Anschließend können beide Verstärkerdioden eingeschaltet werden. Versichern Sie sich,<br />
dass der Shutter am Laserausgang offen ist. Hierzu muss die Auskerbung nach unten zeigen.<br />
Fertigen Sie ein Messprotokoll über alle folgenden Ergebnisse an!<br />
Arbeitsschritt 2: Messung der spektralen Breite<br />
Bringen Sie nun nach dem PBS eine Mattscheibe in den Strahlengang ein, die die Strahlung diffus<br />
aufstreut. Diese diffuse Aufstreuung kann nun mittels Spektrometer untersucht werden. Starten Sie<br />
hierzu die Software „SpektraWiz“ auf dem bereitstehenden PC. Bestimmen Sie mithilfe dieser<br />
Software die spektrale Halbwertsbreite, sowie die Zentralwellenlänge des Lasers. Notieren Sie die<br />
Werte und speichern das aufgenommene Spektrum auf Ihren USB-Stick. Welche Pulsdauer erwarten<br />
Sie aus den ermittelten Werten?<br />
Arbeitsschritt 3: Vermessung des Originalpulses mittels Handautokorrelator<br />
Entfernen Sie die Streuscheibe wieder und klappen Sie den Spiegel M1 in den Strahlengang.<br />
Bedienen Sie die Klappspiegel mit Feingefühl, ansonsten droht eine Dejustage! Justieren Sie den<br />
Laser jetzt mit Hilfe von M1 und dem Einkoppelspiegel des Handautokorrelators auf die<br />
Blendenstrecke ein. Entfernen Sie die Schutzkappe des nichtlinearen Kristalls. Schließen Sie die<br />
Photodiode an das Multimeter an. Beobachten Sie, wie sich das Messsignal verändert, wenn sie den<br />
nichtlinearen Kristall mittels Rotationstisch verdrehen. Woran liegt das? Justieren Sie anschließend<br />
auf ein maximales Messsignal. Stellen Sie den Verschiebetisch auf einen Skalenstrich der<br />
Mikrometerschraube ein, welche dem maximalen Autokorrelationssignal am nächsten ist. Vermessen<br />
Sie nun den Puls, indem Sie den Verschiebetisch mit der kleinsten Schrittweite der<br />
Mikrometerschraube verstellen und die zugehörige Ausgangsspannung der Photodiode detektieren.<br />
Kehren Sie zum Startpunkt zurück und vermessen auch die andere Flanke des Signals. Nehmen Sie die<br />
Messkurve ein weiteres Mal auf, indem Sie den Puls aus dieser Position noch einmal „rückwärts“<br />
vermessen.<br />
Seite | 3
Arbeitsschritt 4: Vermessung des Originalpulses mittels kommerziellen Autokorrelator<br />
Entfernen Sie wieder alle Klappspiegel aus dem Strahlengang. Schalten Sie den APE PulseCheck<br />
durch längeres drücken der Power-Taste an der Kontrolleinheit ein. Klappen Sie die Blende am<br />
Autokorrelator nach oben, sodass der Laserstrahl erfolgreich in das Gerät eingekoppelt wird. Stellen<br />
Sie die Sensitivität (Corr Menu >> Sensitivity) des Gerätes auf 1, die Mittelungsrate auf 16 und passen<br />
Sie gegebenenfalls mit dem „Gain“ Drehknopf, sowie der Öffnung einer der Blenden im Strahlengang<br />
die Signalintensität an, sodass der komplette Puls möglichst rauschfrei dargestellt wird. Im Menü<br />
„Display“ (Corr Menu >> Utility Menu >> Display Menu) können verschiedene Halbwertsbreiten der<br />
Pulsdauer angezeigt werden. Schalten Sie durch die verschiedenen Scanbereiche (bei den „scan range“<br />
Knöpfe am rechten Rand der Kontrolleinheit) und wählen Sie den kürzesten Zeitbereich, bei dem das<br />
komplette Signal dargestellt werden kann. Nehmen Sie die Dauer der Autokorrelationsmesskurve<br />
(AC), der eines Gaußpulses und der eines Sekans hyperbolicus auf. Vergleichen Sie das<br />
Autokorrelationssignal mit dem des Handautokorrelators.<br />
Arbeitsschritt 5: Pulsbeeinflussung mittels Prismenkompressor<br />
Bringen Sie für diesen Versuch die beiden Klappspiegel M4 und M5 in den Strahlengang ein. Passen<br />
Sie gegebenenfalls die Sensitivität des Autokorrelators an. Platzieren Sie die Translationsstage, auf der<br />
das Prisma P2 montiert ist, so, dass der Strahl die Spitze von P2 trifft, jedoch ohne in der<br />
Signalintensität abzusinken (Kontrolle am PulseCheck). Nehmen Sie die AC-Pulsbreite auf. Verfahren<br />
Sie anschließend das Prisma in Millimeterschritten so, dass der Strahl immer mehr Prismenmaterial<br />
durchqueren muss, und notieren dabei die zugehörigen AC-FWHM-Pulsbreiten. Machen Sie dies, bis<br />
die Signalintensität aufgrund der endlichen Prismengröße drastisch abfällt. Stellen Sie anschließend<br />
den Prismenkompressor auf minimale Pulsdauer und nehmen Sie eine die Pulsform mittels LabView-<br />
Software auf und speichern diese auf dem USB-Stick<br />
Arbeitsschritt 6: Pulsbeeinflussung mittels Gitterkompressor<br />
Entfernen Sie Spiegel M4 und M5 wieder aus dem Strahlengang, bringen dafür jedoch M2 und M3<br />
ein. Passen Sie Sensitivity, Gain und den Scanbereich für das Signal nach dem Gitterkompressor an,<br />
dass wieder ein klares Signal widergegeben wird. Stellen Sie den Verschiebetisch mit dem Gitter G1<br />
auf minimalen Abstand zu Gitter G2 ein und nehmen die zugehörige AC Pulsbreite auf. Variieren Sie<br />
auch hier die Position des Verschiebetisches in Millimeterschritten. Nehmen Sie die Werte solange<br />
auf, bis am Autokorrelator ein deutlicher Signalabfall auftritt, dann wird der Puls vom Umlenkprisma<br />
abgeschnitten. Nehmen Sie eine beliebige Pulsform mittels LabView-Software auf und speichern diese<br />
auf dem USB-Stick.<br />
Arbeitsschritt 7: Pulsbeeinflussung mittels dispersiven Materialien<br />
Klappen Sie M2, wie auch M3 wieder aus dem Strahlengang aus, bringen dafür jedoch den YAG Stab<br />
in die dafür vorgesehene Halterung zwischen den beiden Blenden vor dem PulseCheck ein. Nehmen<br />
Sie die Pulsformen mittels LabView-Software auf und speichern diese auf dem USB-Stick.<br />
Arbeitsschritt 8: Kombination aus Prismenkompressor und YAG Stab<br />
Es sei erneut M4 und M5 in den Strahlengang zu schalten. Versuchen Sie nun mittels<br />
Prismenkompressor die Dispersion des YAG Stabs zu kompensieren. Nehmen Sie die Pulsformen<br />
mittels LabView-Software auf und speichern diese auf dem USB-Stick.<br />
Seite | 4
Skizze 1: Strahlengang für den Gitterkompressor.<br />
Skizze 2: Strahlengang für den Prismenkompressor.<br />
Seite | 5
Ausarbeitung der Versuchsergebnisse<br />
Besonderer Wert wird auf die physikalisch sinnvolle Aufbereitung der Ergebnisse, anpassen<br />
geeigneter Modellfunktionen und hinreichende Genauigkeit der Auswertung gelegt. Werden Größen<br />
aus gemessenen Werten berechnet, dann sind die zu Grunde liegende Formel und die zugehörige<br />
Quelle zu nennen. Weniger wichtig sind lange verbale Beschreibungen und aufwändige graphische<br />
Spielereien.<br />
Folgendes sollte die Ausarbeitung beinhalten:<br />
1. Titelblatt mit Gruppennummer<br />
2. Kurzbeschreibung des Versuches<br />
3. Schriftliche Beantwortung der Testatfragen<br />
4. Laserparameter: Graphische Darstellung des Spektrums, Bestimmung der spektralen Breite<br />
(FWHM), der Zentralwellenlänge und der daraus abgeleiteten fourierlimiterten Pulsdauer<br />
(FWHM) für ein Gauß-, sech²-, und Lorentzprofil. (Tipp: Leiten Sie sich dazu eine Formel aus<br />
c = f*λ her, um die Frequenzbreite aus der gemessenen spektralen breite zu berechnen. Sie<br />
benötigen auch Gleichung 17).<br />
5. Pulsdauer des Lasers: Stellen Sie das Autokorrelationssignal des kommerziellen<br />
Autokorrelators graphisch dar. Fitten Sie zudem eine Gauß-, sech² und Lorentzfunktion und<br />
bestimmen Sie die jeweilige Pulsdauer (FWHM). Nehmen Sie einen Gaußpuls an und<br />
berechnen damit den Betrag des Chirpes, den der unbehandelte Laserpuls besitzt (Gleichung<br />
51).<br />
6. Gitter- und Prismenkompressor: Stellen Sie die gemessenen Autokorrelations-kurven<br />
graphisch dar und bestimmen Sie die Pulsdauer (FWHM) durch fitten der Gaußfunktion.<br />
Diskutieren Sie eventuelle Änderungen in der zeitlichen Pulsform? Sind diese symmetrisch,<br />
wenn ja, warum?<br />
7. Materie Durchgang: Stellen Sie die gemessene Autokorrelations-kurve graphisch dar und<br />
bestimmen Sie die Pulsdauer (FWHM) durch fitten der Gaußfunktion. Berechnen Sie den aus<br />
der Theorie zu erwartenden Wert. Verwenden Sie hierzu die Sellmeiergleichung und deren<br />
Ableitungen (Gleichung 44). Beschreiben Sie die von Ihnen beobachtete zeitliche Pulsform.<br />
Seite | 6
Anhang<br />
Auszug aus der Bachelorarbeit zum Thema „Zeitliche Veränderung ultrakurzer <strong>Lichtimpulse</strong> mittels<br />
Dispersionskontrolle“.<br />
Grundlagen der ultraschnellen Optik<br />
Charakterisierung ultrakurzer Laserpulse<br />
<strong>Ultrakurze</strong> Lichtpulse sind elektromagnetische Wellenpakete, welche somit vollständig mit dem<br />
zeit- und raumabhängigen elektrischen Feld E ( x, y, z, t)<br />
beschrieben werden. Zugänglich ist<br />
dies durch die Maxwell-Gleichungen. Für unsere Problematik genügt es jedoch, nur das<br />
zeitabhängige elektrische Feld E ( x, y, z, t) E( t)<br />
zu betrachten. Auf das elektrische Feld des<br />
Pulses kann quantitativ über direkt verwandte, messbare Größen geschlossen werden. Obwohl<br />
diese Größen real sind, empfiehlt sich eine Darstellung im Komplexen. Eine Darstellung des<br />
elektrischen Feldes im Zeitraum ist der im Frequenzraum gleichgestellt. Über die komplexe<br />
Fouriertransformation, bzw. ihrer Inversen, können diese beiden ineinander umgerechnet<br />
werden. Im Hinblick auf die zugänglichen messtechnischen Größen, wie etwa dem Spektrum,<br />
erweist sich diese Beziehung als äußerst hilfreich.<br />
<br />
i t<br />
E( ) F E( t) E( t) e dt<br />
(1)<br />
<br />
1 1<br />
it E( t) F E( ) E( ) e d<br />
<br />
i 0<br />
Für Femtosekundenpulse kann der konstante Phasenterm e<br />
Seite | 7<br />
meist vernachlässigt werden.<br />
Erreicht die Pulsdauer jedoch Größenordnungen im Bereich der Periodendauer des<br />
oszillierenden elektrischen Feldes, kann dieser Phasenoffset entscheidenden Einfluss auf die<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
(2)<br />
Nach [2] kann das komplexe elektrische Feld als ein Produkt aus einer Amplitudenfunktion () t<br />
sowie eines Phasenterms<br />
i () t<br />
e <br />
angesehen werden:<br />
<br />
1<br />
E( t) ( t) e<br />
2<br />
i() t<br />
<br />
(3)<br />
Gemäß dem Fourier Theorem besitzt jeder Puls mit einer endlichen zeitlichen Breite eine per<br />
Fouriertransformation deterministische spektrale Breite. In den meisten praktischen Fällen<br />
macht es Sinn, die Spektralamplitude um eine entsprechende Zentralfrequenz l zu zentrieren.<br />
Dementsprechend kann () t in eine zeitabhängige Phase () t , die Zentralfrequenz l und einer<br />
konstanten Phase 0 aufgeteilt werden, mit () t als komplexe Einhüllenden:<br />
1 i0 i() t i 1 ltilt E( t) ( t) e e e (<br />
t) e<br />
(4)<br />
2 2
Interaktion des Pulses mit Materie haben (siehe Veranschaulichung bei der Abhandlung der<br />
Chirpordnungen). Dies miteinbeziehend ist die Gültigkeit einer Einhüllenden und einer<br />
Trägerfrequenz für den Fall limitiert, dass die Bandbreite im Vergleich zur Trägerfrequenz<br />
ist.<br />
<br />
<br />
l<br />
Für die Phase und das elektrische Feld bedeutet dies eine nur kleine Änderung ihrer Größe<br />
innerhalb eines optischen Zyklus T 2 / l<br />
1<br />
(5)<br />
d<br />
( t) l ( t)<br />
dt (6)<br />
Die hier eingeführte slowly varying envelope approximation (SVEA) ist also nur bei der<br />
Gültigkeit der Ungleichungen (5) und (6) hinreichend.<br />
Mit dieser Darstellung ergibt sich für die komplexe Einhüllende () t aus der spektralen<br />
Beschreibung E( ) per inverser Fouriertransformation:<br />
Mit der entsprechenden Gegentransformation:<br />
<br />
i () t 1<br />
it ( ) ( ) 2 ( l )<br />
2<br />
<br />
t t e E e d<br />
(7)<br />
<br />
i t<br />
i( <br />
) t<br />
t e dt E t e dt<br />
(8)<br />
l<br />
( ) (<br />
) 2 ( )<br />
<br />
Dabei wird die Zentralfrequenz l so gewählt, dass die spektrale Amplitude ( ) um den<br />
Ursprung bei 0zentriert wird [2].<br />
Verwandte Größen des elektrischen Feldes<br />
In der Praxis steht das elektrische Feld messtechnisch nicht zur Verfügung. Über Photodioden,<br />
Photomultiplier etc. können jedoch zum elektrischen Feld direkt verwandte Größen gemessen<br />
werden. Eine wichtige Größe spielt dabei die Leistung. Aus dem Poynting Theorem der<br />
Elektrodynamik kann direkt die momentane Pulsleistung [W] abgeleitet werden.<br />
tT/2 1 2<br />
( ) 0<br />
( ´) ´<br />
T A tT /2<br />
P t cn dS E t dt<br />
(9)<br />
Dabei ist 0 die dielektrische Primitivität, c die Vakuumlichtgeschwindigkeit, n der<br />
dispersionsfreie Brechungsindex, und<br />
dS steht für die Integration des Strahls über seine<br />
A<br />
Fläche. Gleichung (9) stellt jedoch nur eine theoretische Größe dar, da die Ansprechzeit des<br />
Seite | 8
Gerätes, im Vergleich zur Änderung der Einhüllenden des gemessenen Pulses, klein sein muss.<br />
Mit T 2 / lbleiben<br />
Strukturdetails der Einhüllenden von Femtosekundenpulsen jedoch<br />
nicht auflösbar, da heutige Detektoren eine Ansprechzeit a von minimal 10-13 s vorweisen.<br />
Demnach ist T durch a zu ersetzen.<br />
Die Energie W [J] erhält man durch Integration der Leistung über die Zeit:<br />
<br />
W P( t´) dt´<br />
(10)<br />
<br />
Für die Ultrakurzpulsphysik ist auch die Einheit der Intensität I [W/cm²] von großer Bedeutung,<br />
da sie für viele Interaktionen des Lichtes mit Materie entscheidend ist.<br />
tT/2 1 2 1 2<br />
0<br />
T tT/2 2<br />
0<br />
I( t) cn E ( t´) dt´ cn ( t)<br />
(11)<br />
In Abbildung A1 ist ein Femtosekundenlaserpuls mit seiner Einhüllenden, sowie dem<br />
zugehörigen Intensitätsprofil dargestellt.<br />
Abbildung A1: Veranschaulichung eines, gemessen an der Intensität (blaue Kurve), 40 fs langen Pulses. Der<br />
rote Graph stellt die Oszillation des elektrischen Feldes bei einer Frequenz von 200 THz dar. Die gestrichelte<br />
Linie repräsentiert die Einhüllende.<br />
Entsprechend gibt es auch eine spektrale Intensität:<br />
Seite | 9
2<br />
S( ) )<br />
E(<br />
)<br />
(12)<br />
Wobei ein Skalierungsfaktor für reale, nichtideale Spektrometer darstellt. Aus dem<br />
Energieerhaltungssatz sowie Parcevals Theorem lässt sich die spektrale Intensität entwickeln<br />
als:<br />
Mit 0 als dielektrische Primitivität.<br />
Gechirpte Pulse<br />
0cn<br />
2<br />
S(<br />
) ( l)<br />
(13)<br />
4<br />
Aus Gleichung (4) geht hervort, dass die Phase () t zeitabhängig sein kann. Somit ist auch die<br />
erste Ableitung der Phase, die Frequenz moduliert mit der Zeit.<br />
d() t<br />
il (14)<br />
dt<br />
Bevor darauf jedoch näher eingegangen wird, sollen noch einmal folgende zwei Begriffe zu<br />
vergegenwärtigen. Die Phasengeschwindigkeit P v<br />
<br />
beschreibt die<br />
k<br />
Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle, gibt also an, mit welcher Geschwindigkeit sich diese<br />
Phase ausbreitet. In einem dispersiven Medium ist sie für die spektralen Komponenten eines<br />
ultrakurzen Pulses im Allgemeinen nicht einheitlich, da sie von der Wellenlänge abhängt. Für die<br />
Ausbreitung von Energie und Information ist jedoch die Gruppengeschwindigkeit g v<br />
<br />
<br />
k<br />
verantwortlich. Dies entspricht der Geschwindigkeit, mit der sich die Einhüllende, also das<br />
komplette Wellenpaket fortbewegt. Im nichtdispersiven Raum sind diese beiden<br />
Geschwindigkeiten gleich der Vakuumlichtgeschwindigkeit.<br />
Ändert sich nun die instantane (Kreis-)Frequenz i eines Pulses, so spricht man von einem<br />
gechirpten oder frequenzmodulierten Puls. Die Oszillation des elektrischen Feldes vom<br />
Laserpuls ändert also innerhalb der Einhüllenden seine Frequenz. Zeitlich sieht das so aus, dass<br />
die höheren Frequenzen der Zentralfrequenz l vorauslaufen, die niedrigeren nachlaufen, oder<br />
2<br />
2<br />
d <br />
d <br />
umgekehrt. Bei '' 0<br />
2 spricht man von einem positiven Chirp, bei '' 0<br />
2 <br />
dt dt von<br />
einem negativen Chirp, die hohen Frequenzen laufen den niedrigeren voraus. Nehmen wir für<br />
die Phase eine quadratische Funktion der Zeit an.<br />
Als momentane Frequenz ergibt sich somit:<br />
a<br />
()<br />
t t<br />
<br />
2<br />
2<br />
(15)<br />
Seite | 10
2a<br />
il t 2<br />
(16)<br />
<br />
In einem solch linear gechirpten Puls ändert sich die Frequenz linear mit der Zeit.<br />
Eine frequenzabhängige Phase kann entscheidenden Einfluss auf die Pulsstruktur haben. Zur<br />
besseren Veranschaulichung folgt nun eine qualitative Darstellung der ersten Chirpordnungen.<br />
Die nullte Ordnung ( ( ) ) verursacht eine globale Phasenverschiebung, verschiebt somit die<br />
Trägerschwingung relativ zu seiner Einhüllenden. Bemerkbar macht sich das jedoch fast<br />
ausschließlich bei den äußerst kurzen, nur wenigen Oszillationszyklen langen few-cycle-pulses.<br />
Auf die Gruppengeschwindigkeit des Pulses hat die erste Ordnung ( '( ) ) Einfluss, indem sie<br />
den Puls als Ganzes zeitlich verzögert. Die Form des Pulses ändert sich dabei jedoch nicht, diese<br />
Ordnung ist also weitestgehend unproblematisch.<br />
Abbildung A1: Effekte der Dispersion nullter Ordnung auf einen wenige Femtosekunden langen Puls mit einer<br />
Trägerkreisfrequenz von 500 Thz. Die gestrichelte e-Feld Oszillation stellt den Originalpuls dar, welcher bei<br />
t=0 die maximal mögliche Intensität erreicht. Hierfür ist es Konvektion von einem sogenannten Cosinuspuls<br />
zu sprechen. Die rote Oszillationskurve ist gegenüber um den Cosinuspuls um φ(ω)=π/2 (Sinuspuls)<br />
verschoben. Es ist klar, dass solch ein Puls eine geringere Intensität erreicht und durch die beiden<br />
gleichstarken, entgegengesetzten Auslenkungen für single-Puls-Anregungen ungeeignet ist.<br />
Seite | 11
Abbildung A3: Eine Dispersion erster Ordnung φ‘(ω) verzögert den Puls lediglich als Ganzes, er läuft als<br />
seinem unbehandelten (gestrichelter Puls) nach, hier um 10 fs. Die Pulsform und –dauer wird dabei nicht<br />
beeinflusst.<br />
Die zweite Ordnung ( ''( ) ) hingegen sorgt für den bereits angesprochenen Chirp. Es folgt nicht<br />
nur, dass der Puls eine Substruktur aufweist, sondern auch, dass sich der Puls verbreitert.<br />
Aufgrund der Dispersion zweiter Ordnung folgt, dass die verschiedenen, in einem ultrakurzen<br />
Puls enthaltenen Frequenzen eine zueinander unterschiedliche Gruppengeschwindigkeit<br />
besitzen. Der Puls läuft quasi auseinander. Für normale oder positive Dispersion ( ''( ) 0 )<br />
laufen die niederen Frequenzen der Zentralfrequenz voraus, bei negativer Dispersion (<br />
''( ) 0 ) sind die höheren Frequenzen schneller. Der Puls erscheint also mit einem<br />
Farbeindruck, bei dem z. B. bei normaler Dispersion der Anfang des Pulses rotverschoben ist,<br />
das Ende hingegen die bläulicheren Anteile enthält. Es ist klar, dass der Puls dabei länger wird<br />
und die Spitzenintensität abnimmt. In vielen Bereichen genügt es, die Dispersion bis zur dritten<br />
Ordnung zu behandeln ( '''( ) , häufig auch bekannt als third order dispersion, TOD), welche zu<br />
einer nichtlinearen Frequenzabhängigkeit von der Zeit führt. Auch die TOD verbreitert den Puls,<br />
sorgt jedoch durch Interferenzeffekte zusätzlich zu einem Vor- '''( ) 0<br />
beziehungsweise<br />
Nachpulsen '''( ) 0<br />
.<br />
Seite | 12
Abbildung A4: Eine Dispersion 2. Ordnung erzeugt einen linearen Chirp. Die niedrigeren Frequenzen laufen<br />
dem Zentrum voraus, während die höheren zeitlich nachlaufen.<br />
Abbildung A5: Dispersion 3 Ordnung. Auswirkungen der TOD werden hier anhand einer positiven TOD<br />
veranschaulicht, welche zu einem Nachpulsen führt.<br />
Seite | 13
Auf höhere Ordnungen wird hier nicht weiter eingegangen, allgemein gilt jedoch, dass mit<br />
abnehmender Pulsdauer diese immer stärker zum Tragen kommen.<br />
Dispersionen n-ten Grades werden üblicherweise in der Einheit fs n angegeben.<br />
Pulsdauer und das Zeit-Bandbreite-Produkt<br />
Führt man eine Definition einer Pulslänge ein, wird man unweigerlich damit konfrontiert, dass<br />
hierfür viele verschiedene Bezugssysteme in Frage kämen. So gibt es z. B. die 1/e Breite, die<br />
Methode nach dem zweiten Moment, usw. Im Fortlaufenden soll die Pulsdauer p als die full<br />
width at half maximum (FWHM) des Intensitätsprofils gesetzt werden.<br />
Für die Erzeugung ultrakurzer Pulse ist eine große spektrale Breite des Pulses eine notwendige,<br />
aber nicht hinreichende (siehe Kapitel Modenkopplung) Bedingung. Je mehr Farben, bzw. desto<br />
spektral Breiter der Puls ist, desto kürzer kann dieser in der Zeitebene werden. Die durch die<br />
Anzahl der im aktiven Material anschwingenden und verstärkten Moden gegebene, theoretisch<br />
kürzeste Pulsdauer ist mit der spektralen Breite p über die Fouriertransformation gekoppelt<br />
und kann somit nicht beliebig variieren, sondern nur größergleich einem minimalen Wert sein.<br />
Für die Anwendung resultiert daraus die Wichtigkeit des Spektrums, da es leicht zu messen ist<br />
und Aufschluss über die theoretisch minimale Pulsdauer bei bekannter Pulsform gibt. Die<br />
Bedingung dieser Fourierkopplung als theoretisches Minimum, wird als das sogenannte Zeit-<br />
Bandbreite-Produkt in der Ungleichung (17) definiert:<br />
1<br />
p p p p cB const<br />
(17)<br />
2<br />
Wie bereits erwähnt, hängt der Wert von cB von der exakten Pulsform ab. Dem Experimentator<br />
steht in der Regel jedoch nur eine Autokorrelationsfunktion der Intensität zur Verfügung,<br />
welche keine Information über die exakte Form des Pulses liefert (siehe Kapitel<br />
Autokorrelation). Oftmals behilft man sich mit Standardkurven, relevant hierfür sind die Gauß-,<br />
Lorentz- oder Sekans hyperbolicuskurve. Pulse, für die die Ungleichung (17) die<br />
Gleichungsbedingung hält, nennt man „Bandbreitebegrenzt“ oder „Fourierbegrenzt“. Sie<br />
besitzen also die theoretische, minimale Pulsdauer bei einer gegebenen spektralen Breite und<br />
Pulsform.<br />
Im Folgenden soll der Wert für cB anhand einer Herleitung für einen Gaußpuls nach [2] erläutert<br />
werden.<br />
0<br />
2<br />
t <br />
<br />
G<br />
( t)<br />
e<br />
Da es für diverse theoretische Berechnungen angenehmer ist, mit den für die jeweilige Pulsform<br />
charakteristische Zeitkonstanten zu rechnen, folgt erst eine Klärung des Zusammenhanges von<br />
p und G . Hierzu wird die zu Gleichung (18) gehörende Intensität benötigt:<br />
0<br />
2<br />
t <br />
2 <br />
G<br />
I( t) I e<br />
(18)<br />
(19)<br />
Seite | 14
Ziel ist es also, die FWHM in Einheiten von G zu erhalten. Dies geschieht per Einsetzen von I(t)<br />
= 0.5I0 und auflösen nach t:<br />
ln 2<br />
(20)<br />
2<br />
t G<br />
Eine Multiplikation von (20) mit dem Faktor 2 resultiert in der FWHM, da G nur der seitliche<br />
Abstand vom Intensitätsmaximum zu dessen Halbwert beschreibt, also die halbe<br />
Halbwertsbreite.<br />
2 t 2ln 2 <br />
(21)<br />
p G<br />
Durch eine komplexe Darstellung von Gleichung (18) lässt sich nun das Zeit-Bandbreiten-<br />
Produkt eines Gaußpulses allgemein, mit dem Chirpparameter a, herleiten:<br />
0<br />
2<br />
t <br />
1ia <br />
G<br />
( t)<br />
e<br />
Aus der Fouriertransformation von Gleichung (22) folgt:<br />
<br />
2 2<br />
0 ( ) <br />
4<br />
G exp<br />
2<br />
i<br />
G<br />
2<br />
2<br />
1<br />
a<br />
G 2<br />
Mit der spektralen Phase ( ) arctan( a)<br />
. 2<br />
2 4(1 a )<br />
Es folgt aus Gleichung (23) die spektrale Intensität:<br />
(22)<br />
<br />
<br />
1<br />
a 4(1 a ) (23)<br />
2 2<br />
0<br />
2<br />
G<br />
2 2<br />
G<br />
2<br />
2<br />
<br />
S(<br />
l<br />
) exp 1<br />
a 2(1 a ) <br />
Die spektrale FWHM berechnet sich äquivalent zur zeitlichen Breite:<br />
2<br />
p 2 p 8ln 2(1 a )<br />
G<br />
(24)<br />
1<br />
(25)<br />
Letztendlich lässt sich das Zeit-Bandbreite-Produkt berechnen.<br />
2ln 2 2<br />
p p 1<br />
a<br />
(26)<br />
<br />
Wie sich zeigt, erhöht sich der Wert des Zeit-Bandbreite-Produkts mit vorhanden sein eines<br />
Chirpes ( a 0) . Dadurch ist auch der Laserpuls nicht mehr fourierlimitiert, sondern weicht vom<br />
theoretischen Minimum von 2ln 2 0.441(für<br />
einen Gaußpuls) um den Faktor<br />
<br />
2<br />
1 a ab.<br />
Seite | 15
Das Bandbreiteprodukt realer Laser ist jedoch meist größer als das theoretische Minimum. Für<br />
die reale Pulsdauer spielen folgende Faktoren eine Rolle:<br />
Die exakte Form des Pulses (z. B. Gauß, Sech²)<br />
Die genaue Definition von „Breite“ (z. B. FWHM, RMS)<br />
Ob der Puls eine Unterstruktur aufweist (z. B. Chirp)<br />
In Tabelle A1 sind die Zeit-Bandbreiten-Produkte von weiteren gebräuchlichen Pulsformen<br />
aufgelistet.<br />
Form<br />
Intensitätspro<br />
fil I(t)<br />
Gauss 2<br />
2 t/<br />
G<br />
Sech2 2 <br />
e<br />
Lorentz t <br />
p<br />
1.177 G<br />
sec h t/ S 1.763 S<br />
2<br />
2<br />
<br />
1 /<br />
L <br />
1.287 L<br />
Spektralprofil<br />
S( )<br />
e<br />
sec h<br />
2<br />
G <br />
2 <br />
2<br />
p cB<br />
2.355 / G<br />
0.441<br />
S<br />
2<br />
1.122 / S 0.315<br />
2 <br />
L 0.693/ L<br />
e<br />
0.142<br />
Tabelle A1: Auflistung der Zeit-Bandbreite-Produkte für ungechirpte Standardpulsformen.<br />
Pulsausbreitung und Raum-Zeit Wellengleichung<br />
Intensitätsgra<br />
ph<br />
Ein wesentlicher Bestandteil dieser Arbeit stellt die Untersuchung der Auswirkungen von<br />
Materiedurchläufen auf ultrakurze Pulse dar. Diese Effekte treten bei sich ausbreitenden<br />
elektromagnetischen Wellenpaketen immer auf. Für die Berücksichtigung des zeitlichen und<br />
räumlichen Verhaltens solcher Pulse, setzen wir zuerst für die untersuchten Materialien<br />
folgende Kriterien fest. Von einem einheitlichen Medium mit nichtmagnetischer Permeabilität<br />
ausgehend werden externe Ströme und Ladungen vernachlässigt. Hierfür kann aus den Maxwell<br />
Gleichungen eine Wellengleichung für den elektrischen Feldvektor E abgeleitet werden:<br />
2 2 2 2 2<br />
1 <br />
<br />
( x, y, z, t) 2 2 2 2 2 E<br />
0<br />
P ( x, y, z, t)<br />
2<br />
(27)<br />
xyzct t<br />
Wobei die magnetische Permeabilität im freien Raum mit 0<br />
und die<br />
Vakuumlichtgeschwindigkeit mit c bezeichnet wird. Durch die Polarisation P wird sowohl der<br />
Einfluss eines Mediums auf einen Puls, als auch die Antwort des Mediums darauf beschrieben.<br />
Eine Aufspaltung der Polarisation in zwei Komponenten ist möglich und sinnvoll.<br />
Seite | 16
L NL<br />
P PP (28)<br />
P L beschreibt dabei die Polarisationskomponente, welche sich linear mit dem Feld ändert. Sie ist<br />
für Antworten des Mediums zuständig, welche mit der klassischen Optik beschrieben werden<br />
kann, wie zum Beispiel die Brechung, die Beugung und die Dispersion. Verantwortlich für die<br />
nichtlinearen Effekte, zu denen die sättigbare Absorption und Erzeugung höherer Harmonischer<br />
zählen, ist P NL.<br />
In vielen Anwendungen kann der nichtlineare Polarisationsterm vernachlässigt werden.<br />
Hiermit, sowie der Annahme einer sich in z-Richtung ausbreitenden ebenen Welle, vereinfacht<br />
sich Gleichung (28) zu:<br />
2 2 2<br />
1 L<br />
E( z, t) 2 2 2 0P(<br />
z, t)<br />
2<br />
zct t<br />
Mit der Einführung einer dielektrischen Konstante<br />
0<br />
(29)<br />
( ) 1 ( ) <br />
(30)<br />
und der dielektrischen Suszeptibilität , kann gezeigt werden [2], dass folgende Gleichung eine<br />
Lösung für Gleichung (29) in +z als Ausbreitungsrichtung ist:<br />
E( , z) E( ,0) e<br />
ik( )<br />
z<br />
(31)<br />
Als Ausbreitungskonstante oder Wellenzahlvektor wird hier k( ) eingeführt. Diese ist über die<br />
Dispersionsbeziehung der linearen Optik über einen frequenzabhängigen Brechungsindex n( )<br />
des Mediums definiert als:<br />
Weiter entwickeln wir k( ) um die Trägerfrequenz l zu:<br />
Mit der Taylor-Reihe als Substitution:<br />
2<br />
2 2<br />
k ( ) n ( )<br />
(32)<br />
2<br />
c<br />
k( ) k( ) k<br />
(33)<br />
dk<br />
2<br />
1 d k<br />
l l<br />
2<br />
2<br />
l<br />
l<br />
l<br />
<br />
k ...<br />
d d<br />
Die jeweiligen Ordnungen der Terme beschreiben wieder die bereits eingeführten<br />
Chirpordnungen. Äquivalent zu Gleichung (31) lässt sich nun schreiben:<br />
2<br />
(34)<br />
ikl z i kz<br />
E( , z) E( ,0) e e <br />
(35)<br />
In vielen Fällen lässt sich die Fourieramplitude um einen mittleren Wellenzahlvektor<br />
k n( ) / c zentrieren. Durch Beschränkung der spektralen Breite auf einen kleinen<br />
l l l<br />
Seite | 17
k<br />
Bruchteil der Zentralfrequenz 1lässt<br />
sich wieder eine SVEA durchführen, was nun eine<br />
k<br />
Einhüllungsfunktion in Raumkoordinaten definiert.<br />
l<br />
i kz<br />
( , z) E( ,0) e <br />
<br />
(36)<br />
Für die Beschreibung von Laserpulsen empfiehlt sich ein Koordinatensystem, welches sich mit<br />
der Gruppengeschwindigkeit v g mitbewegt. Vorteil dieser Betrachtung ist, dass die maximale<br />
Feldamplitude immer bei t=0 zentriert ist und somit Änderungen dieser Amplitude nur durch<br />
Terme höherer Ordnung von Gleichung (34) beschrieben werden.<br />
1 dk<br />
k ' <br />
v d g<br />
l<br />
l<br />
<br />
l l<br />
Die zweite Ableitung des Wellenzahlvektors beschreibt den Dispersionsterm zweiter Ordnung<br />
und definiert die sogenannte GVD (group velocity dispersion):<br />
2<br />
g<br />
2 2<br />
vgd l l<br />
(37)<br />
k 1 dv<br />
GVD kl<br />
''<br />
<br />
(38)<br />
<br />
Als nützlich erweist es sich, diese Gleichung in Abhängigkeit der Wellenlänge zu präsentieren:<br />
dv v dk<br />
GVD <br />
d 2cd<br />
g<br />
2 2<br />
g<br />
2<br />
2<br />
Für die, üblicherweise in fs 2 angegebene GDD (group delay dispersion), welche die GVD<br />
multipliziert mit der Länge der Dispersionsstrecke z ist, gilt:<br />
Dispersion<br />
Im Falle einer Dispersion '' 0<br />
l<br />
(39)<br />
GDD GVD z<br />
(40)<br />
k kann das Problem entweder im Zeit- oder im<br />
Frequenzbereich gelöst werden. Es ist handsamer, dies für Letzteres zu tun, da beim Durchgang<br />
durch ein transparentes, lineares Medium nur der Phasenfaktor der Einhüllenden ( )<br />
beeinflusst wird. Nach dem Passieren eines solchen Mediums der Länge z ergibt sich die<br />
Einhüllende im Frequenz-, beziehungsweise im Zeitbereich zu:<br />
<br />
i i <br />
<br />
(41)<br />
2 3! <br />
2 3<br />
( , z) ( ,0)exp klzklz... Seite | 18
1 i 2 i 3 <br />
( t, z) F ( ,0)exp k lzk l z ...<br />
<br />
(42)<br />
2 3! <br />
Die Dispersion beeinflusst das Spektrum des Pulses nicht, es bleibt in der Amplitude konstant,<br />
wie aus Gleichung (41) hervorgeht. Die für den Chirp verantwortlichen spektralen<br />
Komponenten müssen also die zeitliche Einhüllende verändern, welche breiter wird.<br />
Da sich die Dispersion eines Materials in einem von der Wellenlänge abhängigen<br />
Brechungsindex n( ) widerspiegelt, ist es möglich, diese entweder in Betrachtung der Frequenz<br />
oder der Wellenlänge zu berechnen.<br />
dk n dn 1 dn <br />
n (43)<br />
d c c d c d<br />
<br />
2 2 2<br />
d k 2 dn d n 1<br />
2 d n <br />
2 2 2 d c d c d 2cc d<br />
(44)<br />
3 2 3 2<br />
2 3<br />
3 1 2 3<br />
3<br />
<br />
3 2 3 2 3<br />
d k d n d n d n d n <br />
<br />
d c d c d 2c c d d<br />
<br />
Ein resultierender quadratischer Chirp bei einem Materialdurchgang lässt sich somit aus der<br />
Gleichung (44) eingesetzt in die GDD Gleichung (40) berechnen. Über den optischen Weg lässt<br />
sich ebenfalls direkt die Dispersion (im Fall der zweiten Ableitung also die GDD) aus den<br />
Gleichungen (43 – 45) ausdrücken:<br />
(45)<br />
1 dP<br />
<br />
P <br />
(46)<br />
c d<br />
2<br />
1 2 dP<br />
<br />
2 <br />
2cc d<br />
(47)<br />
2 2 3<br />
1 2 d P 3 d P<br />
3 2 3<br />
<br />
<br />
<br />
2c c d d<br />
<br />
Pulsdauer eines Gaußpulses unter Dispersionseinfluss<br />
(48)<br />
Seite | 19
Will man den Effekt der Dispersion zweiter Ordnung auf die Pulsdauer eines Gaußpulses wissen,<br />
ausgehend von einem Ansatz für den Gaußpuls nach Gleichung (22), dann kann gezeigt werden<br />
[2], dass gilt:<br />
Mit der charakteristischen Länge:<br />
z <br />
G( z)<br />
G01 <br />
Ld L<br />
d<br />
2<br />
G0<br />
<br />
2 k<br />
Hierbei ist G0<br />
die Eintrittspulsdauer eines Gaußpulses. Es sei jedoch darauf hinzuweisen, dass<br />
die gaußpulscharakteristische Pulsdauer G nicht der für die Pulsdauer charakteristischen<br />
FWHM ist ( 2ln 2 ) .<br />
p G<br />
Somit ergibt sich für die FWHM Pulsdauer (Gauß) eines Eingangspulses p1<br />
unter Einfluss eines<br />
Chirps eine Ausgangspulsdauer p2<br />
von:<br />
16ln2 <br />
p2 p1<br />
1<br />
2 <br />
<br />
p1<br />
<br />
Für den Fall eines vorgechirpten Eingangspules a 0<br />
können sich je nach Vorzeichen des<br />
Chirps zwei Sachen einstellen. Im Falle eines zu k l entgegengesetztem Vorzeichens des<br />
Chirpparamters a, verbreitert sich der Puls monoton. Sind die beiden Vorzeichen jedoch<br />
identisch, verkürzt sich die Pulsdauer bis zu seinem Fourierlimit. Alles darüber hinaus<br />
verbreitert den Puls wieder. Der Ort des Minimums ist definiert als:<br />
Für die Pulsdauer an dieser Position gilt somit:<br />
2<br />
G0<br />
a<br />
zc<br />
<br />
2 k 1a<br />
( z ) <br />
G c G min<br />
l<br />
l<br />
2 <br />
G0<br />
2<br />
1<br />
a<br />
In vielen Anwendungen steht jedoch nicht an jeder gewünschten Stelle die Möglichkeit einer<br />
Pulsdauernbestimmung experimentell zur Verfügung, weshalb Gleichung (49) darum erweitert<br />
werden kann, dass der Vorchirp mitberücksichtigt wird und vom Fourierlimit aus gerechnet<br />
werden kann. Dafür wird die virtuelle Länge L eingeführt:<br />
Man erhält dadurch die allgemeine Form:<br />
<br />
2<br />
2<br />
(49)<br />
(50)<br />
(51)<br />
(52)<br />
(53)<br />
L z zc<br />
(54)<br />
Seite | 20
L <br />
G( L)<br />
Gmin1 <br />
Ld Abbildung A6: Schematische Darstellung [2] eines linear gechirpten Gaußpulses. In diesem Fall besitzen a<br />
und kl'' dasselbe Vorzeichen. Als Resultat verkürzt sich der Puls zuerst, bis er sein bandbreitebegrenztes<br />
Minimum erreicht. Propagiert er weiter in diesem Medium, wird er wieder länger. Die maximale Intensität<br />
des Pulses hängt damit ebenfalls vom Chirp und somit der Menge an Dispersion ab, die der Puls erfährt.<br />
Allgemeine Abschätzung<br />
Eine schnelle Abschätzung der resultierenden FWHM Pulsdauer eines bandbreitebegrenzten<br />
Eingangspuls ergibt sich, betrachtet man jedes Wellenpacket mit der Frequenz , so dass sie<br />
ihre eigene Gruppengeschwindigkeit vg ( ) besitzt. Über das gesamte Spektrum ergibt sich<br />
somit eine Differenz zwischen den Gruppengeschwindigkeiten.<br />
dvg <br />
vg <br />
p<br />
d Nach einer Propergationsdistanz z ergibt sich die zeitliche Breite zu:<br />
L L<br />
v<br />
<br />
<br />
p 2 g<br />
vg vg<br />
Beziehungsweise, unter Einbeziehen von Gleichung (38):<br />
p l p<br />
l<br />
2<br />
(55)<br />
(56)<br />
(57)<br />
Lk<br />
<br />
(58)<br />
Seite | 21
Sellmeier-Gleichung<br />
Eine analytische Betrachtung der Dispersion verlangt das Wissen über den jeweiligen<br />
Brechungsindex n( ) und dessen Ableitungen (vgl. Gleichung (43 – 45)). Hierfür gibt es die<br />
sogenannte Sellmeierformel.<br />
2 2 2<br />
A C E<br />
n 1<br />
<br />
2 2 2<br />
B D F<br />
Für die meisten gebräuchlichen Gläser gibt es sogenannte Sellmeierkoeffizienten, welche in<br />
gleichnamige Gleichung einzusetzen sind. Das Ergebnis ist der jeweilige Brechungsindex für die<br />
gewünschte Wellenlänge. Allerdings basiert die Formel auf rein empirischen Werten, beschreibt<br />
also nicht die Physik. Trotzdem bildet sie für den sichtbaren Spektralbereich und etwas darüber<br />
hinaus eine sehr gute Näherung. Es ist jedoch noch darauf zu achten, dass die Wellenlänge hier<br />
meist in Mikrometer einzusetzen ist. In Tabelle A2 sind die Koeffizienten für ein paar<br />
exemplarische Materialien gegeben.<br />
Quarzglas YAG SF10<br />
A 0.6694226 2.28200 1.61625977<br />
B 0.004480112 0.01185 0.0127534559<br />
C 0.4345839 3.27644 0.259229334<br />
D 0.01328470 282.734 0.0581983954<br />
E 0.8716947 0 1.07762317<br />
F 95.34148 0 116.60768<br />
Tabelle A21: Sellmeierkoeffizienten für eine kleine Auswahl an, für die Optik relevante, Materialien. Die<br />
Werte wurden aus den Datenblättern der Firma Schott entnommen.<br />
Modenkopplung<br />
Grundlagen<br />
Wie bereits bei der Betrachtung des Zeit-Bandbreite-Produktes festgestellt wurde, ist mit einem<br />
ultrakurzen Puls immer eine gewisse spektrale Breite einhergehend. In einem gewöhnlichen<br />
Resonator können für einen stabilen Zustand nur solche Frequenzen (Moden) anschwingen,<br />
welche die Bedingung einer stehenden Welle erfüllen. Demnach ist das Frequenzspektrum kein<br />
Kontinuum, sondern besitzt diskrete Werte. Bei einer Resonatorlänge L, der<br />
Lichtgeschwindigkeit c und einem effektiven Gruppenbrechungsindex n sind diese Moden<br />
separiert durch v c /2nL.<br />
Die Repitationsrate eines modengekoppelten Lasers ist ebenfalls<br />
von der Resonatorlänge abhängig. Somit ist die Zeit zwischen zwei Pulsen gleich 1/ v da der<br />
(59)<br />
Seite | 22
Puls vom Auskoppelspiegel zum Endspiegel und wieder zurück laufen muss. Der resultierende<br />
Pulszug ist also eine Superposition eines breiten Frequenzbereiches. Damit es jedoch zu<br />
einzelnen Pulsen kommt, müssen diese Moden in ihrer relativen Phase zueinander stabil in einer<br />
bestimmten Beziehung zueinander stehen. Solch eine phasenstarre Superposition wird in<br />
Abbildung A7 verdeutlicht. Mit dem Prinzip der Modenkopplung gelang es so erstmals<br />
Subpicosekundenpulse zu verwirklichen.<br />
Abbildung 2: Bei der Modenkopplung werden viele Moden in einem benachbarten Frequenzbereich<br />
phasenstabil überlagert. Besitzen all diese Moden eine gleiche relative Phase zueinander, so interferieren<br />
sie zu einem bestimmten Zeitpunkt konstruktiv, an allen anderen destruktiv, bis sich das ganze periodisch<br />
wiederholt. Je mehr Moden überlagern, desto weniger Oszillationen vollführt das E-Feld – und wird damit<br />
kürzer. Zugleich nimmt jedoch die Amplitude zu, was aufgrund des normalisierten E-Feldes in dem Graphen<br />
nicht ersichtlich ist. Die rote Kurve ist ein einzelner Cosinusverlauf. In der schwarzen Kurve überlagern<br />
sich bereits 20 frequenznahe, phasengleiche Schwingungen, es kommt zu Interferenzerscheinungen. Auf<br />
nur wenige Oszillationszyklen beschränkt und damit ideal für einen Femtosekundenpuls ist die blaue<br />
Kurve, welche die Superposition von 80 benachbarten Frequenzmoden darstellt.<br />
Es sei hier darauf hingewiesen, dass es eine Vielzahl von Mechanismen für eine mögliche<br />
Modenkopplung gibt, unterteilt in aktive und passive Kopplungen, wobei letztere wiederum in<br />
langsame und schnelle sättigbare Absorber zu unterteilen sind. Auf diese wird nicht weiter<br />
eingegangen, sondern lediglich auf die speziell in dem für diesen Versuch verwendeten Laser.<br />
Zuvor soll jedoch noch auf ein paar allgemeine Eigenschaften der Modenkopplung eingegangen<br />
werden, da die Dispersion bei der Auslegung einer solchen Modenkopplung eine Rolle spielt.<br />
Hierfür sei noch kurz das Phänomen der Selbst-Phasen Modulation (SPM) erläutert. In einem<br />
Medium ruft ein Puls hoher Intensität I nichtlineare Effekte hervor, wie der nichtlinearen<br />
Änderung des Brechungsindexes nn2Imit n2 als nichtlinearen Brechungsindex. Als Folge<br />
dieser Beeinflussung, laufen (bei positivem n2, sowie einer räumlichen Gaußverteilung der<br />
Intensität) zentral, hochintensive Anteile aufgrund des höheren Brechungsindexes langsamer, es<br />
Seite | 23
kommt zu einem zeitlichen Phasenversatz. Die SPM verändert das Spektrum, nicht aber die<br />
zeitliche Form des Pulses.<br />
Puls-Verkürzungsrate<br />
Aufgrund von endlichen Ansprechzeiten und Sättigungen des Absorbers werden in den meisten<br />
Modenkopplungsmechanismen die Flanken des Pulses jeweils abgeschwächt, während die<br />
Hauptintensität unverändert oder sogar verstärkt wird. Je nach Art der Absorption, aufgeteilt in<br />
langsame und schnelle, nimmt dieser Effekt mit sinkender Pulsdauer zu oder ab. Letzteres ist im<br />
Fall der langsamen Sättigung. Erreicht die Pulsdauer einen Wert gleich der Reaktionszeit des<br />
Absorbers, oder ist dieser völlig gesättigt, ist keine weitere Verkürzung mehr möglich.<br />
Selbst-Starten<br />
Theoretisch sollte ein schwacher kurzer Puls, welcher durch die nichtlinearen Effekte der<br />
Modenkopplung sich gegen den CW Untergrund durchsetzt, aus statistischen Fluktuationen<br />
herauswachsen. Dies ist jedoch gerade bei den schnellen Absorbern nicht immer der Fall, da die<br />
Puls-Verkürzungsrate für kleine, lange Pulse äußerst gering ist. Wird dieser Puls innerhalb eines<br />
Umlaufes jedoch nicht signifikant verkürzt, so läuft er aufgrund der Dispersion wieder<br />
auseinander. Um solch eine Fluktuation hervorzurufen reicht es häufig aus, an das Gerät zu<br />
klopfen, erstrebenswerter sind jedoch Methoden wie z. B. ein beweglicher Spiegel im Resonator.<br />
Der stabile Zustand<br />
In einem stabilen Zustand erreicht man bei nicht vorhandener SPM die kürzesten Pulse, wenn<br />
auch die GVD null ist. Interessanterweise kann jedoch durch Erzeugung von GVD mit einem<br />
bestimmten Vorzeichen im Resonator noch kürzere Pulse erzeugt werden. Dies ist der Fall,<br />
wenn sich SPM und GVD genau kompensieren. Durch das so verbreiterte Spektrum ist eine<br />
Pulsdauer mit einem Faktor von 2,75 kleiner zu erreichen, als im Falle des ungechirpten Pulses.<br />
Solch ein Soliton ähnlicher Zustand wurde von Martinez et. al. beschrieben. Durch ein<br />
Ausbalancieren dieser Effekte lässt sich so das Resonatordesigne optimieren. Jedoch führt das<br />
auch schnell zu Instabilitäten, wie Abbildung A8 zeigt.<br />
Abbildung A8: links) Für den ungechirpten, rein Selbst-Amplituden Modulierten (SAM) Puls erreicht man den<br />
bandbreitebegrenzten Puls. Durch geschicktes Ausloten der SPM und GVD kann dieser Wert jedoch noch<br />
unterschritten werden. Rechts) Allerdings gibt es bei reiner SPM Stabilitätsproblem.<br />
Seite | 24
Polarisations-Rotations Modenkopplung<br />
Der für diesen Versuch zur Verwendung kommende Laser erfährt durch eine Polarisations-<br />
Rotation die Modenkopplung. Wie in allen passiven Modenkopplungen moduliert sich der Puls<br />
dabei selbst. Dieses Prinzip wird den schnell sättigbaren Absorbern untergeordnet. Da als<br />
nichtlinearer Effekt der nichtlineare, intensitätsabhängige Brechungsindex eine Rolle spielt,<br />
erfolgt die Antwort des Mediums auf das elektrische Feld binnen weniger Femtosekunden und<br />
damit annähernd instantan. Diese intensitätsabhängige Änderung des Brechungsindexes wird in<br />
eine Amplitudenmodulation des Pulses umgewandelt. Eben wegen der annähernd sofortigen<br />
Antwort des Mediums auf den Puls, ist dieser Effekt jedoch relativ gering. Anwendung findet<br />
diese Art der Modenkopplung in Faserlasern, sowohl in Linear- wie auch in Ringcavities.<br />
Letzteres trifft dabei auf den verwendeten Laser zu.<br />
In einer gekrümmten Faser erfährt ein Strahl eine elliptische Polarisation. Diese kann als eine<br />
Superposition einer links- bzw. rechtszirkularen Polarisation unterschiedlicher Intensitäten<br />
angesehen werden. Zur Verwendung kommt eine doppelbrechende Faser, deren<br />
doppelbrechende Eigenschaft nichtlinear von der Intensität abhängt. Ein etwas intensiverer Puls<br />
erfährt also eine andere Polarisationsdrehung als der CW-Untergrund. Der Strahl wird in eine<br />
Freistrahlstrecke ausgekoppelt. Hier wird über eine doppelbrechende Wellenplatte und<br />
polarisierendes Strahlteilerelement eine bestimmte Polarisation diesbezüglich bevorzugt, so<br />
dass sie keine Abschwächung erfährt, während der Rest zum Teil oder ganz separiert wird. Eine<br />
anschließende Anordnung aus Wellenplatten polarisiert den wieder in die Faser<br />
einzukoppelnden Puls so, dass er nach Durchlaufen der Faser wieder die Bedingung derselben<br />
elliptischen Polarisation erfüllt, wie einen Durchgang zuvor. Es kann sich also nur ein Puls mit<br />
einer bestimmten Polarisation durchsetzen. Zur Verminderung und Stabilisierung des Systems<br />
wird noch ein polarisierender Isolator eingebaut, welcher Rückreflexe verhindert.<br />
Second Harmonic Generation (SHG)<br />
Interagiert eine elektromagnetische Welle mit Materie, so wirkt auf die Elektronen eine zur<br />
Auslenkung lineare Kraft gemäß dem Hook´schen Gesetz, und es kommt zur Oszillation mit der<br />
Anregungsfrequenz. Gerade in Laserpulsen kann die Intensität so groß sein, dass sie die<br />
Größenordnung der inneratomaren elektrischen Feldstärken erreicht, bzw. übersteigt. In solch<br />
einem Fall gilt die simple Annahme des Hook´schen Gesetzes nicht mehr und es kommt zu<br />
Nichtlinearitäten. In diesem Fall gilt der lineare Zusammenhang zwischen Polarisation P und<br />
elektrischem Feld E nicht mehr, da die bei geringen Intensitäten auftretenden höheren<br />
Ordnungen (n) nicht mehr vernachlässigt werden können. Die Polarisation muss in einer Taylor-<br />
Reihe um die höheren Ordnungen erweitert werden:<br />
0<br />
(2) 2 (3) 3<br />
... <br />
P E E E <br />
(60)<br />
Mit 0 als dielektrische Primitivität des freien Raums und als der elektrischen Suszeptibilität<br />
des Mediums. Für die Erzeugung der zweiten Harmonischen (SHG), erstmals beobachtet von<br />
Franken et. al., wird diese Erweiterung nach dem zweiten Term abgebrochen. Die Erzeugung<br />
einer Summenfrequenz 3 ist ein Dreiwellen-Prozess, bei dem zwei intensitätsstarke<br />
Seite | 25
Einfallswellen mit den Frequenzen 1, 2,<br />
welche vermittelt über die nichtlineare<br />
Suszeptibilität zweiter Ordnung<br />
(2)<br />
die Summenfrequenz ergeben. Die SHG ist dabei ein<br />
Spezialfall der Summenfrequenzerzeugung, da hierbei die beiden Einfallswellen gleich sind<br />
( )<br />
2<br />
gilt. Es gelten sowohl der Energie-, als auch der<br />
1 2 und somit 3 1<br />
Impulserhaltungssatz, woraus sich folgende Bedingungen ergeben:<br />
2 0<br />
(61)<br />
3 1<br />
<br />
k k 2k 0<br />
(62)<br />
3 1<br />
Gleichung (62) stellt die Bedingung der Phasenanpassung zwischen den Wellenvektoren der<br />
Einfallenden und der zweiten Harmonischen. Um dieser Impulserhaltung gerecht zu werden, ist<br />
es erforderlich, dass die Phasengeschwindigkeit der Grundwelle v P1<br />
und der SH P3<br />
v gleich sind.<br />
Wegen der (positiven) Materialdispersion ist jedoch der Brechungsindex n( ) von der Frequenz<br />
abhängig und somit die Phasengeschwindigkeiten der Grundwelle sowie deren zweite<br />
Harmonische nicht identisch. Hierfür kann man sich jedoch eines doppelbrechenden Kristalls<br />
bedienen. In solch einem Kristall ist der Brechungsindex nicht nur von der Frequenz, sondern<br />
auch von der Polarisation und dem Einfallswinkel der Welle abhängig. Solche (uniaxiale)<br />
Kristalle weisen eine Vorzugsrichtung auf. Auf dieser sogenannten optischen Achse erfährt ein<br />
hierzu senkrecht polarisierter Strahl den ordentlichen Brechungsindex n o , während ein parallel<br />
polarisierter Strahl einen außerordentlichen Brechungsindex nao sieht. Für den ordentlichen<br />
Brechungsindex gilt eine isotrope Ausbreitungsrichtung, der Außerordentliche ist hingegen<br />
Winkelabhängig. Veranschaulicht wird dieser Sachverhalt in Abbildung A9.<br />
Seite | 26
Abbildung A9: Der rote Kreis bzw. Ellipse zeigt den Brechungsindexverlauf für die Grundwelle. Ein Kreis<br />
bedeutet eine isotrope Ausbreitung, die Polarisation steht also senkrecht zur optischen Achse, während sie bei<br />
einer Ellipse parallel steht. Für den Brechungsindex der zweiten Harmonischen gelten die gestrichelten<br />
Kurven. An der Stelle eines Überlapps zwischen Grundwelle und zweiter Harmonischer ist der Winkel der<br />
Phasenanpassung markiert. In diese Richtung haben alle Wellen dieselbe Phasengeschwindigkeit [1].<br />
Je nach verwendeten Kristalltyp (positiv für no nao,<br />
negativ für no nao)<br />
muss folgende<br />
Bedingung gelten:<br />
positiv : n( , ) n ( )<br />
(63)<br />
1 o 3<br />
negativ : n( , ) n ( )<br />
(64)<br />
3 o 1<br />
Fallen die beiden Grundwellen kollinear ein, so kann diese durch Anpassen des Kristallwinkels<br />
erfüllt werden. Dieser Winkel m ist in Abbildung A9 eingezeichnet. Stimmt der Winkel zur<br />
Phasenanpassung nicht exakt überein, sind die Grundwellen und die zweite Harmonische nicht<br />
über die gesamte Länge im Kristall in Phase, was zu destruktiven Interferenzen der an<br />
unterschiedlichen Orten und somit phasenverschobenen zweiten Harmonischen führt.<br />
Im nicht-kollinearen Fall erhält man auf Grund der Impulserhaltung die SH in Richtung der<br />
Winkelhalbierenden der sich kreuzenden Grundwellen. Die zweite Harmonische wird also<br />
räumlich effektiv von seiner Grundwelle getrennt.<br />
Für den Vorgang der zweiten Harmonischen Erzeugung lässt sich eine Konversionseffizienz<br />
angeben:<br />
Seite | 27
SHG<br />
2 2<br />
I( 3)<br />
2 3 d L<br />
2 0 P 3<br />
I( 1)<br />
n A<br />
<br />
(65)<br />
Mit d als Materialparameter für den Kopplungskoeffizienten, 1<br />
2<br />
/ als Impedanz des<br />
0 0 0<br />
freien Raums, der Länge L des Interaktionsvolumens (i. A. die Länge des Kristalls), des<br />
Strahlwirkungsquerschnittes A und der Eingangsleistung P.<br />
Wie bei der Behandlung des Zeit-Bandbreite Produkts hervorging, ist ein kurzer Puls an ein<br />
entsprechend breites Frequenzspektrum gekoppelt. Bei der Frequenzverdoppelung ist jedoch<br />
nicht immer gegeben, dass das komplette Spektrum der Grundwelle konvertiert wird, da eine<br />
Phasenanpassung über das gesamte Spektrum unwahrscheinlich ist. Den Anteil an konvertierten<br />
Frequenzen und somit die Pulsdauer lässt sich über die Kristalllänge regulieren. Kürzere Längen<br />
hier resultieren in kürzeren Pulsen, was jedoch nach Gleichung (65) wieder einen enormen<br />
Einbruch der Intensität nach sich zieht.<br />
Autokorrelation<br />
Soll ein kurzes Ereignis festgehalten werden, gelingt dies üblicherweise, indem es mit einem<br />
noch kürzeren belichtet/abgetastet wird. Für ultrakurze Pulse ist solch ein Verfahren<br />
notwendig, da moderne Photodioden etwa um einen Faktor von 1000 zu langsam sind, um das<br />
Intensitätsprofil eines Femtosekundenpulses auflösen zu können. Der Puls kann also nicht<br />
einfach aufgenommen, sondern muss abgetastet werden. Im Idealfall geschieht dies mit einem<br />
Delta-Impuls. Genannt wird diese Methode die Kreuzkorrelation, bei der ein Signalpuls I s von<br />
einem Referenzpuls Ir abgetastet wird, wobei das zu jedem Ort gehörende Korrelationssignal<br />
proportional zum Signalpuls ist und dadurch seine Form aufgezeigt wird.<br />
<br />
Ac ( ) Is ( t) Ir ( t )<br />
dt<br />
(66)<br />
<br />
Dies führt jedoch zwangsläufig zu einem Problem. Abgesehen davon, dass in der<br />
Ultrakurzpulsphysik zumeist kein kürzerer Abtastpuls zur Verfügung steht, da der kürzeste,<br />
technisch realisierbare Puls für das Experiment verwendet wird, müsste auch der Referenzpuls<br />
irgendwie charakterisiert werden. Es ist also die logische Folge, dass das Signal mit sich selbst<br />
I I , auch Autokorrelation genannt.<br />
überlagert wird, s r<br />
Eine Autokorrelation zweiter Ordnung verwendet dabei das SHG Signal der miteinander<br />
korrelierenden Pulse. Dabei kommt ein modifiziertes Michelson-Interferometer zum Einsatz.<br />
Für eine aussagekräftige Autokorrelation müssen die beiden Pulse genau identisch sein. Hierfür<br />
wird der Originalpuls über einen 50/50 Strahlteiler in zwei identische Pulse aufgeteilt und<br />
jeweils in einen der Interferometerarme eingespeist, siehe auch Abbildung A10. Über eine<br />
Rückspiegelung durch Retroreflektoren werden die Pulse nach erneutem Kontakt mit dem<br />
Strahlteiler kollinear überlagert, oder fokussiert. Notwendig ist, dass sie sich in einem<br />
nichtlinearen Kristall zur Frequenzverdopplung überschneiden. Ebenfalls unerlässlich ist, dass<br />
beide Interferometerarme genau gleich lang sind, damit auch beide Pulse nicht nur am gleichen<br />
Ort, sondern auch zur gleichen Zeit zur SHG überlagern. Das SHG Signal kann dann von einer<br />
Seite | 28
Photodiode oder einem Photomultiplier aufgenommen werden. Für die Realisierung der<br />
Abtastung ist der Retroreflektor eines Interferometerarms auf einen Verschiebetisch parallel zur<br />
Strahlrichtung montiert. Mithilfe dieser Verstellmöglichkeit lässt sich der Weg, den einer der<br />
Teilpulse zurücklegen muss, variieren. Eine zeitliche Überlagerung und Abtastung der beiden<br />
Teilpulse wird somit in einen messbaren Wegunterschied konvertiert. Eine Eigenschaft der<br />
Faltung zweier Kurven ist, dass das Ergebnis immer symmetrisch ist. Wird ein asymmetrischer<br />
Puls mit sich selbst überlagert, ist das Resultat dennoch symmetrisch. Dies hat entscheidenden<br />
Einfluss auf die Aussagekraft dieser Methode, da damit nicht die Pulsform bestimmt werden<br />
kann. Um einen verlässlichen Wert für die Pulsdauer zu erhalten, muss sogar ganz im Gegenteil<br />
die Pulsform des einfallenden Strahls bereits bekannt sein, da das Autokorrelationssignal breiter<br />
ist, als der ursprüngliche Puls. Im Falle einfacher Standardpulsformen lässt sich die<br />
Autokorrelationsbreite in eine Pulsbreite umrechnen. Sieh hierzu Tabelle A3.<br />
Pulsform 2<br />
Gauss<br />
<br />
G ( ) , / y T /<br />
3<br />
sinh<br />
e <br />
2<br />
y<br />
2<br />
Sech² ycoth y 1<br />
Lorentz<br />
2<br />
y<br />
1<br />
2<br />
y<br />
1 / 2<br />
ac p<br />
1.414<br />
1.543<br />
Tabelle A3: Verhältnis der FWHM der Autokorrelationsfunktion zur FWHM der jeweiligen Pulsform.<br />
Je nach Fokussierung oder kollinearer Überlagerung der beiden Teilstrahlen ergibt sich mit dem<br />
beschriebenen Aufbau entweder die Intensitätsautokorrelation, oder die interferometrische<br />
Autokorrelation.<br />
2<br />
Seite | 29
Abbildung A10: Schematischer Aufbau eines Autokorrelators für den nicht-kollinearen Fall. Der einfallende<br />
Strahl wird über einen Strahlteiler in gleichintensive Strahlen aufgeteilt und je in einen Interferometerarm<br />
gelenkt. Über Retroreflektoren werden die beiden Teilstrahlen nach dem Strahlteiler wieder kollinear<br />
gebracht. Einer der Retroreflektoren steht dabei auf einer Translationsstage, wodurch der Weg und somit der<br />
zeitliche Überlapp für diesen Teilstrahl gegenüber dem Fixen eingestellt werden kann. Nach einem<br />
Fokussierelement überlagern sich die beiden Pulse in einem phasenangepassten nichtlinearen Kristall zur<br />
Erzeugung der zweiten Harmonischen. Diese wird über Filter und Blenden von den Fundamentalen getrennt<br />
und über einen empfindlichen Photomultiplier aufgenommen. Zu beachten sei außerdem, dass beide<br />
Teilstrahlen möglichst wenig und gleich viel Dispersion erfahren.<br />
Intensitätsautokorrelation<br />
Liegt eine nicht-kollineare Überlagerung der beiden Teilpulse in dem nichtlinearen Medium vor,<br />
ist das Resultat die sogenannte Intensitätsautokorrelation. Hierfür tragen je ein Photon der<br />
beiden Interferometerarme zu einem Frequenzverdoppelten bei, welches einen<br />
superpositionierten Impuls von den beiden Erzeugerphotonen besitzt und somit räumlich mit<br />
der Winkelhalbierenden von den Grundwellen getrennt wird. Aus diesem Grund lassen sich die<br />
Grundwellen einfach per Blende vor dem Detektor abfangen. Dadurch wird diese Messung<br />
untergrundfrei. Das normierte Autokorrelationssignal zweiter Ordnung G 2 lautet dabei:<br />
G ( ) <br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
E ( t) E ( t <br />
) dt<br />
2 2<br />
0 0<br />
<br />
4<br />
E0() t dt<br />
<br />
Wegen der langen Ansprechzeit des Detektors im Vergleich zur Pulslänge kann die Integration<br />
über den Puls als gegen unendlich betrachtet werden, G2 ( ) . Die<br />
Intensitätsautokorrelation ist jedoch ein Verfahren, welches nur Aufschluss über die Amplitude<br />
und somit die zeitliche Breite liefert. Es fehlt jegliche Phaseninformation. Durch die durch die<br />
Faltung entstehende Symmetrie des Korrelationssignals kann auch keine exakte Form des<br />
Seite | 30<br />
(67)
ursprünglichen Pulses rekonstruiert werden. Für eine verlässliche Aussage über die Pulsdauer<br />
sollte der zu vermessende Puls eine einfache Standardgeometrie aufweisen, welche als bekannt<br />
vorauszusetzen ist. Ein weiterer Nachteil ist, dass das Verfahren im Bereich von unter 20 fs an<br />
sein Limit stößt. Nichtsdestotrotz ist dieses Verfahren weit verbreitet, da es ein schnelles<br />
Ergebnis über die Pulsdauer liefert und so im täglichen Laboralltag für viele Justier- und<br />
Kontrollanalysen ausreichend ist.<br />
Abbildung 3: [2] a) Messignal eines fourierlimitierten Pulses durch Intensitätsautokorralation. b) Ebenfalls<br />
das Signal einer Intensitätsautokorrelation. Diesmal jedoch mit Chirp, der sich, wie aus der Abbildung<br />
ersichtlich, aus dem Graphen nicht erschließt. Nur eine Abweichung von der fourierlimitierten Pulsdauer lässt<br />
auf dessen Vorhandensein schließen.<br />
Interferometrische Autokorrelation<br />
Werden die beiden Teilstrahlen nach dem Strahlteiler wieder kollinear überlagert, entspricht die<br />
Anordnung einer interferometrischen Autokorrelation. Anders als in der<br />
Intensitätsautokorrelation, werden hier die Fundamentalwellen nicht von der zweiten<br />
Harmonischen getrennt, weshalb im Falle eines nichtidealen Filters vor dem Detektor auch<br />
immer ein Untergrund mit gemessen wird. Neben dem Korrelationssignal treten auch<br />
Interferenzerscheinungen auf, welche das Signal modulieren. Aus dieser Modulation der<br />
Einhüllenden lässt sich neben der Amplitude auch eine Phaseninformation ableiten. Dies<br />
beinhaltet eine qualitative Aussage über das Vorhandensein einer Phasenmodulation. Wie in<br />
Abbildung A12 dargestellt, zeigt sich das durch eine Aufspaltung der oberen sowie unteren<br />
Einhüllenden in Bezug auf den Untergrund. Ein linearer Chirp lässt sich sogar quantitativ über<br />
die Höhe der beginnenden Interferenzerscheinungen relativ zum Signalmaximum bestimmen.<br />
Mathematisch beschreibt sich das Autokorrelationssignal folgendermaßen:<br />
2<br />
<br />
2<br />
G ( ) E ( t ) E ( t) dt<br />
(68)<br />
2 0 0<br />
<br />
Hierbei steht für eine Mittelung über das schnell oszillierende elektrische Feld, während das<br />
Integral über die Einhüllende integriert.<br />
Seite | 31
Vorteil dieser Methode ist, dass neben einer zusätzlichen Phaseninformation noch kürzere Pulse<br />
aufgelöst werden können als mit der Intensitätsautokorrelation. Jedoch ist auch diese<br />
Autokorrelation, wie eine jede, symmetrisch und bietet damit nur begrenzt Aufschluss über die<br />
exakte Pulsform.<br />
Für noch genauere Analysemethoden sei auf das FROG oder SPIDER Verfahren verwiesen.<br />
Abbildung A12: [2] a) Interferometrische Autokorrelation eines fourierlimitierten Pulses. Zu sehen sind<br />
sowohl die obere, wie die untere Einhüllenden, welche ein moduliertes Trägersignal beinhaltet. b) Durch<br />
Vorhandensein eines Chirps, verändert sich die die Lage der Modulation gegenüber dem Untergrund. Ebenso<br />
wird die untere wie die obere Einhüllende durch Vorhandensein eines linearen Chirps beeinflusst.<br />
Pulsformung<br />
Auf die zeitliche Form des Pulses kann mittels bestimmter Arrangements Einfluss genommen<br />
werden. Pulse können gestreckt oder kompressiert werden. Physikalischer Hintergrund ist, dass<br />
beim Kompressieren ein vorhandener Chirp ganz oder teilweise vermindert wird, beim Strecken<br />
erfolgt das entsprechende Gegenteil. Dies geht jedoch nie über das durch das Zeit-Bandbreite-<br />
Produkt vorgegebene Minimum hinaus. Ein fourierbegrenzter Puls wird beim Durchlaufen einer<br />
solchen Anordnung immer verlängert. Deswegen ist die historisch bedingte Bezeichnung von<br />
Kompressoren und Strechern missverständlich, richtiger wäre für Kompressoren „Induzierung<br />
negativer Dispersion“ und entsprechend „Induzierung positiver Dispersion“ für letztere.<br />
Anwendung finden diese Systeme hauptsächlich innerhalb des Resonators, um stabile kurze<br />
Pulse zu erzeugen, der natürlichen Dispersion von Fasern in der Datenübermittlung<br />
entgegenzuwirken, sowie in der Chirped Pulse Amplification (CPA). Bei letzterem handelt es sich<br />
um ein Verstärkerelement für ultrakurze Pulse. Damit das aktive Medium jedoch bei den dabei<br />
auftretenden sehr hohen Intensitäten nicht zerstört wird, muss der Puls zeitlich gestreckt, dann<br />
verstärkt und anschließend wieder zurückkomprimiert werden.<br />
Seite | 32
Es folgt eine Tabelle mit unterschiedlichen Systemen, welche die Pulsform beeinflussen können.<br />
Gezeigt wird das jeweilige Vorzeichen der Dispersionsordnung.<br />
Prismenkompressor<br />
Optisches Material im<br />
VIS<br />
'<br />
''<br />
'''<br />
+ + +<br />
Prismenkompressor - - -<br />
Gitterkompressor - - +<br />
Tabelle A4: Dispersionsvorzeichen der verschiedenen Systeme in den verschiedenen Ordnungen. Es ist<br />
ersichtlich, dass sich durch geschicktes Kombinieren dieser Anordnungen mehrere Ordnungen kompensiert<br />
werden können.<br />
Eine etablierte Methode, Pulse per eingeleiteter GVD zeitlich zu verändert, verwendet<br />
Prismenpaare. Hierbei wird die zeitliche Dispersion, durch die wellenlängenabhängige Brechung<br />
von Licht, aus einer räumlichen Winkeldispersion erzielt. Aus Abbildung A13 geht der<br />
schematische Aufbau eines solchen Kompressors hervor.<br />
Abbildung A13: Prismenkompressor, entweder mit vier Prismen, welche keinen resultierenen Strahlversatz<br />
verursachen, oder mit einem Faltungsspiegel M, wodurch der Strahl in sich zurückfällt. Die Prismen sind<br />
allesamt auf den minimalen Ablenkwinkel sowie Brewsterwinkel geschnitten und justiert. Durch den<br />
wellenlängenabhängigen Brechungsindex kommt es zu einer spektral verschiedenen Laufzeit durch den<br />
Kompressor. Der Betrag hiervon kann per Translationsversatz von Prisma II und III eingestellt werden, von<br />
negativ, über null hin zu positiver Dispersion.<br />
Seite | 33
Der einfallende Strahl durchläuft dabei einen Abschnitt, bestehend aus vier gleichen Prismen.<br />
Für die Zentralwellenlänge des Laserpulses sind die Prismen dabei im Brewsterwinkel<br />
geschnitten, um Verluste minimal zu halten. Zudem ist dieser Winkel noch darauf hin angepasst,<br />
dass die Zentralwellenlänge die Prismen im minimalen Ablenkwinkel durchläuft. Ist dies der<br />
Fall, haben einfallender und ausfallender Strahl denselben relativen Winkel zur brechenden<br />
Prismenoberfläche. Dies gilt für den monochromatischen Fall bzw. für die Zentralwellenlänge.<br />
Da nun aber der Brechungsindex von der Wellenlänge abhängt und der Laserstrahl eine gewisse<br />
spektrale Breite besitzt, werden die einzelnen Frequenzen verschieden stark gebrochen. Es folgt<br />
nach Wiederaustritt des Pulses vom ersten Prisma eine räumliche Dispersion, also ein nach<br />
Spektren selektierte Divergenz. Der aufgespaltene Strahl trifft so auf das zweite Prisma. Dieses<br />
ist so orientiert, dass die beiden zueinander stehenden Stirnflächen der Prismen parallel<br />
zueinander sind. Für den Puls, welcher das zweite Prisma verlässt, gilt, dass aufgrund der<br />
Symmetrie der Prismen und deren Anordnung die spektralen Komponenten kollinear<br />
zueinander verlaufen, räumlich aber noch getrennt sind. Der gesamte optische Weg der<br />
einzelnen Frequenzen bestimmt dabei die erzielte GVD. Der Weg im Medium zwischen den<br />
beiden Prismen (in der Regel Luft) ist für die blauen Komponenten länger wegen der höheren<br />
Ablenkung durch die Brechung. Dafür müssen die roten Anteile jedoch mehr Wegstrecke im<br />
optisch dichteren Prismenmaterial zurücklegen. Durch eine geschickte Balance dieser beiden<br />
gegenläufigen Effekte, kann die gewünschte GVD eingestellt werden. Für eine sehr nützliche<br />
Justage der benötigten Dispersion, ohne Veränderung des Aufbaus und jederzeit während des<br />
Versuches durchführbar, wird das zweite Prisma auf eine Translationsstage montiert. Somit<br />
lässt sich die Menge an Materialdurchgang des Lichtes durch das Prisma einstellen und somit<br />
das Verhältnis von negativer Winkeldispersion und positiver Materialdispersion verändern. In<br />
der Regel soll solch eine Anordnung negative Dispersion einleiten. Tritt der Puls dabei durch die<br />
Spitzen der Prismen, ist die Materialdispersion zu vernachlässigen und das Maximum an negativ<br />
erreichbarer Dispersion ist erreicht. Wie die Skizze andeutet, kann nach dem zweiten Prisma<br />
entweder ein Faltungsspiegel platziert werden, welcher den Strahl durch die beiden ersten<br />
Prismen zurückschickt oder aber noch einmal eine äquivalente Prismenpaaranordnung, dessen<br />
Spiegelebene der mögliche Faltungsspiegel ist. Zweck des zweiten Paares ist es den räumlich<br />
aufgespaltenen Puls wieder kollinear zu überlagern. Der so überlagerte Puls erfährt durch den<br />
zweiten Durchgang durch das Prismenpaar noch einmal dieselbe Dispersion. Ob ein oder zwei<br />
Prismenpaare verwendet werden, hängt primär davon ab, wo und wie die Dispersionstrecke<br />
zum Einsatz kommt. Als Eingliederung für einen vorgegebenen oder bestehenden Strahlengang<br />
empfiehlt sich die Variante mit den vier Prismen, da der einfallende und der ausfallende Strahl<br />
kollinear und ohne Versatz zueinander verlaufen. Ein kompakterer Aufbau lässt sich mit der<br />
gefalteten Variante realisieren, dabei wird der Strahl jedoch in sich zurück reflektiert und muss<br />
mit einem Höhenversatz versehen werden.<br />
Seite | 34
Abbildung A14: a) Wellenlängenabhängige Brechung durch ein Glasprisma, welches auf minimalen<br />
Ablenkwinkel γ, sowie Brewsterwinkel εBr justiert ist. b) Konstrukt zur Herleitung des optischen<br />
Wegunterschieds. Mit AC und BE als mögliche Wellenfronten. c) CJ ist parallel zu AB und hat dieselbe Länge.<br />
Dadurch ist der optische Weg CDE gleich lcosβ.<br />
Um eine quantitative Aussage über die Dispersion eines Prismenkompressors zu erhalten, geht<br />
aus Gleichung (47) hervor, dass hierfür die zweite Ableitung des optischen Weges nach der<br />
2<br />
d P<br />
Wellenlänge erforderlich ist. Dafür wird der extreme Strahl betrachtet, welcher von<br />
2<br />
d<br />
Prismenspitze zu Prismenspitze propagiert und als Referenzstrahl definiert. Diese Strecke wird<br />
folglich mit l benannt. Um den optischen Wegunterschied des anderen Extremstrahls<br />
bestimmen zu können, veranschauliche man sich das an einer Skizze wie in Abbildung A14b).<br />
Die Strecke von CB markiert dabei den Referenzstrahl. Von Interesse ist der optische Weg CDE.<br />
Da sowohl AC, als auch BE mögliche Wellenfronten des Pulses darstellen, muss AB gleich CDE<br />
sein. In Skizze A14c) wird der Weg CJ eingeführt, welcher parallel und gleich AB ist und somit<br />
auch gleich CDE. Mit als dem Differenzwinkel zwischen den beiden Extremstrahlen folgt für<br />
den optischen Weg des CDE Strahls:<br />
P lcos (69)<br />
Die Teilstrecken EFH und BG tragen nicht zur Dispersion bei, da BE und GH wieder mögliche<br />
Wellenfronten sind und FH zu BG parallel ist. Das zweite Prismenpaar bzw. durch den<br />
Faltungsspiegel verdoppelt sich der zur Dispersion beitragende optische Weg zu:<br />
P 2lcos (70)<br />
dP<br />
2l sin <br />
d<br />
(71)<br />
2<br />
dP<br />
Es resultiert durch Anwenden der Kettenregel für Ableitungen:<br />
2l cos <br />
(72)<br />
2<br />
d<br />
Seite | 35
2 2 2 2 2 2 2<br />
d P dnddnd dP dn d d P<br />
2 2 2 2<br />
d ddnddndddnd In dieser Darstellung wird der einfallende Winkel 1 als fest angenommen. Da dieser durch den<br />
Brewsterwinkel durch die Schnittform des Prismas festgelegt ist, trifft das auch im Allgemeinen<br />
zu. Sei entsprechend 2 der Winkel des transmittierten Strahles und 1', 2'die<br />
entsprechenden Winkel im Inneren des Prismas, so erhält man durch das Snellius Gesetz und<br />
der Beziehung vom Winkel der brechenden Kante 1' 2'<br />
für ein Prisma mit dem<br />
Brechungsindex n:<br />
2<br />
(73)<br />
d2<br />
sin( 2 ') cos( 2 ') tan( 1<br />
')<br />
(74)<br />
dn<br />
cos<br />
2 2 2<br />
2 2 tan ( 1 ') 2<br />
tan( 2<br />
2)<br />
<br />
d d d <br />
<br />
dn dn n dn (75)<br />
Für den minimalen Ablenkwinkel, sowie Brewsterwinkel gelten 1' 2'<br />
und 2<br />
tan n . Man<br />
2 2 2 2<br />
kann zeigen, dass d / dn d2/ dn sowie d / dn d / dn gilt , wodurch man erhält<br />
2<br />
d<br />
2<br />
(76)<br />
dn<br />
2<br />
d 2<br />
4 (77)<br />
2 3<br />
dn n<br />
All diese Beziehungen in Gleichung (73) eingesetzt ergibt den Betrag zur SOD:<br />
2 2<br />
2 2<br />
<br />
d P dn1dn dn <br />
4l 2n sin 2 cos <br />
2 2 3 <br />
d dnd d<br />
<br />
Trotz positiver Materialdispersion lässt sich mit solch einer Anordnung eine resultierende<br />
negative Dispersion einstellen. Dabei durchlaufen die blauen Spektralanteile den Kompressor<br />
schneller als die roten. Wie in Gleichung (78) ersichtlich, ist der Betrag der GVD vom<br />
Prismenmaterial, der spektralen Breite und dem Abstand zwischen den Prismen abhängig. Ohne<br />
besonderen Einfluss, abgesehen von der natürlichen Strahlaufweitung, ist jedoch der Abstand<br />
zwischen Prisma II und III.<br />
Die dritte, recht komplexe Ableitung lässt sich durch folgenden Ausdruck annähern:<br />
3 3 2<br />
d P d n dn d n<br />
(78)<br />
<br />
4lsin 6 cos<br />
3 <br />
<br />
3 2 <br />
d ddd (79)<br />
Seite | 36
Gitterkompressor<br />
Eine weitere Möglichkeit, die Pulsdauer zu beeinflussen, besteht über die Verwendung von<br />
Beugungsgittern. Anders als bei Prismen gibt es hier nur einen Dispersionseffekt. Verbunden mit<br />
einer Winkeldispersion ist diese immer negativ. Mit der Methode der Strahlaufweitung mittels<br />
Teleskop zwischen den Komponenten des Kompressors kann jedoch auch positive Dispersion<br />
induziert werden. Trifft ein ultrakurzer Puls auf ein optisches Gitter, werden seine spektralen<br />
Komponenten unterschiedlich stark gebeugt. Aufgrund dieser Winkeldispersion divergieren sie<br />
also unter verschiedenen Winkeln relativ zum einfallenden Strahl auseinander. Dabei erfahren<br />
die roten Spektralkomponenten eine stärkere Beugung als die blauen. Diese Strahlen treffen auf<br />
das zweite Gitter, werden dort wieder gebeugt und propagieren von dort aus parallel zum<br />
ursprünglichen Strahl weiter. Die verschiedenen Wellenlängen sind also wieder kollinear, jedoch<br />
räumlich separiert, vergleichbar mit dem Zustand nach Prisma II beim Prismenkompressor. Der<br />
optische Wegunterschied ist ein Resultat der unterschiedlich langen Wege zum zweiten Gitter<br />
und anschließender Kollimation aufgrund des wellenlängenabhängigen Beugungswinkels.<br />
Abbildung A15 verdeutlicht dies.<br />
Abbildung A15: Gitterkompressor, entweder mit vier Gitter, welche keinen resultierenen Strahlversatz<br />
verursachen, oder mit einem Faltungsspiegel M, wodurch der Strahl in sich zurückfällt. Wegen dem<br />
wellenlängenabhängigen Beugungswinkel durchlaufen die roten Spektralanteile in solch einer Anordnung<br />
immer einen längeren optischen Weg, der Puls erfährt insgesamt nach der Bündelung eine negative<br />
Dispersion. Der Betrag hiervon kann per Translationsversatz von Gitter II und III eingestellt werden.<br />
Äquivalent zum Prismenkompressor kann der Gitterkompressor aus vier identischen Gittern<br />
aufgebaut werden, welche alle in der Groovesausrichtung parallel sein müssen. Zudem ist es<br />
notwendig, dass die jeweiligen Gitterpartner in allen Achsen parallel zueinander stehen. Vier<br />
Gitter werden verwendet, wenn der Strahl keine Ablenkung zu seiner ursprünglichen<br />
Einfallsrichtung erfahren soll. Die Bündelung des Strahls wird durch einen Faltungsspiegel mit<br />
nur einem Gitterpaar erreicht, welches daraufhin zweimal durchlaufen wird. Diese Anordnung<br />
spiegelt den Strahl in seine einfallende Richtung zurück. Für die Strahlseparation ist also ein<br />
Höhenversatz notwendig. Wird eines der Gitter auf eine Translationsstage mit einem<br />
Verschiebeweg parallel zur Gitternormalen montiert, kann auf den Wert der GVD durch<br />
Abstandsbeeinflussung der Gitter zueinander beeinflusst werden. Gitterkompressoren haben<br />
Seite | 37
den Vorteil, dass sie eine hohe Dispersion aufweisen und somit Pulse um einen Faktor von bis zu<br />
10 4 strecken oder kompressieren können. Aufgrund der nicht unterdrückbaren 0-ten<br />
Beugungsordnung sind jedoch keine besseren Effizienzen als 80% pro Gitterpaar zu erreichen.<br />
Aufgrund dieser Vor- und Nachteile finden solche Aufbauten meist Anwendung in der CPA.<br />
Die frequenzabhängige Beugungsbedingung ist gegeben durch:<br />
2<br />
c<br />
sin 'sin (80)<br />
d<br />
Abbildung A16: Gitterpaar, welches eine frequenzabhängige Winkeldispersion erzeugt. PP0 stellt dabei eine<br />
mögliche Wellenfront des wieder austretenden räumlich gechirpten Pulses.<br />
mit dem Einfallswinkel , dem Beugungswinkel ' der Frequenz und dem Linienabstand d.<br />
Da Beugungsgitter mit hohen Verlusten zu kämpfen haben, sind diese speziell für eine<br />
Wellenlänge konzipiert, wodurch es neben dem geometrischen Reflex nur noch zu einer ersten<br />
Beugungsordnung kommt und Gleichung (80) in ihrer dortigen Form Richtigkeit bewahrt. Zur<br />
Bestimmung der Dispersion verfolge man den frequenzabhängigen Strahlengang. Die optische<br />
Weglänge ACP aus Abbildung A16 lässt sich konstruieren zu:<br />
b<br />
ACP 1 cos( ' )<br />
<br />
(81)<br />
cos '<br />
Der Normalengitterabstand wird hierbei mit b bezeichnet. Es soll hier noch der Begriff der<br />
Phasenverzögerung eingeführt werden, welche über den optischen Weg POL definiert ist:<br />
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( ) POL(<br />
)<br />
(82)<br />
c<br />
Der Phasenfaktor ist gleichbedeutend mit dem Phasenfaktor kL l und somit ist dies nach<br />
zweimaliger Ableitung nach der Frequenz konsistent mit Gleichung (47). Mit jeder<br />
überstrichenen Gitterperiode, welcher ein Strahl einer leicht anderen Frequenz im Vergleich zu<br />
einer Referenzfrequenz erfährt, springt der Phasenfaktor um 2π im Falle der ersten<br />
Beugungsordnung. Da jedoch nur der relative Phasenversatz entlang PP 0 interessiert, werden<br />
quasi die überstrichenen Gitterlinien relativ der Gitternormalen in A mit G2 gezählt:<br />
<br />
b<br />
( ) ACP(<br />
) 2 tan '<br />
(83)<br />
c d<br />
Unter Einsetzen der Gittergleichung (80) ergeben sich die erste und zweite Ableitung zu:<br />
db1cos( ')<br />
<br />
dc cos '<br />
2 2<br />
d 4bc<br />
<br />
d d<br />
cos '<br />
2 3 2 3<br />
Dieser Dispersionswert ist das Resultat eines Gitterpaares. Für einen Kompressor muss dieser<br />
Wert also noch mit dem Faktor 2 multipliziert werden. In Wellenlängen ausgedrückt ergibt das:<br />
Für den Term dritter Ordnung gilt:<br />
2<br />
2<br />
d l l b<br />
2 2 3<br />
d c d<br />
<br />
l<br />
2<br />
2 cos '( )<br />
d 3<br />
d<br />
<br />
d c d d d<br />
3 2<br />
l 2<br />
l l <br />
cos '( ) sin<br />
3 2 l 2<br />
2 cos '( l<br />
)<br />
<br />
<br />
<br />
l l<br />
l<br />
(84)<br />
(85)<br />
(86)<br />
(87)<br />
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Quellen<br />
Allgemein:<br />
Skript zur Vorlesung Lasertechnologie (Prof. Dr. Huber)<br />
RP Photonics – Encyclopedia of Laser Physics and Technology (www.rp-photonics.com)<br />
Weiterführend:<br />
[1] B. E. A. Saleh, M. C. Teich, Fundamentals of Photonics. John Wiley & Sons, 2007 (2.<br />
Auflage)<br />
[2] J. C. Diels, W. Rudolph, Ultrafast laser pulse phenomena. Elsevier, Academic Press, second<br />
ed., 20<strong>06</strong>.<br />
[3] M. Hugenschmidt. Lasermesstechnik, Diagnostik der Kurzzeitphysik. Springer Berlin, 20<strong>06</strong>.<br />
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