Pfadintegralmethoden - Institut für Physik

KAPITEL 2. DAS FEYNMAN'SCHE PFADINTEGRAL 11
Fur sehr groe N reduziert sich das Problem dann darauf, die Ubergangsamplitude
fur innitesimale Zeiten t := T N (;T := t b,t a ), den so genannten
Kurzzeitpropagator(-kern) , zu berechnen.
Aus der Schrodingergleichung folgt fur den Evolutionsoperator eines zeitunabhangigen
Hamilton-Operators ^H (siehe z.B. in [9])
i
^U(t) = exp
h t ^H : (2.7)
Fur kleine Zeiten t ergibt sich der Propagator dann mit Hilfe der Baker-
Campbell-Hausdor-Formel [10],
e ,i"( ^A+ ^B) = e ,i" ^Be ,i" ^Ae ,i"2 ( i 2 [ ^B; ^A],"( 1 6 [ ^B;[ ^B; ^A]], 1 3 [[ ^B; ^A]; ^A])+:::) ; (2.8)
fur einen Hamilton-Operator ^H = ^P 2
2M +V ( ^X)(^P; ^X bezeichnen Impuls- bzw.
Ortsoperatoren) bis zur Ordnung t zu
mit
=
+O , t2
4M
M
2iht
1 2
exp
it
h
_x := x(t n) , x(t n,1 )
t
M
2 (_x)2 , V (x)
; (2.9)
x := x(t n)+x(t n,1 )
:
2
Interpretiert man _x als durchschnittliche Geschwindigkeit, so entspricht
der Ausdruck in der Exponentialfunktion der klassischen Lagrange-Funktion
L fur eine gradlinige Bewegung zwischen x(t n,1 )undx(t n )multipliziert mit
der dafur benotigten Zeit t, und damit der klassischen Wirkung fur diese
Trajektorie und es gilt
M
2iht
1 2
exp
it
h L(x; _x)
: (2.10)
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