Pfadintegralmethoden - Institut für Physik

Kapitel 6
Zusammenfassung
Der Pfadintegralformalismus von R.P. Feynman kann als alternativer und
sehr anschaulicher Zugang zur Quantenmechanik gesehen werden. Schwierigkeiten
bereitet aber noch immer die explizite Umsetzung der Summe uber
alle Pfade. Weitere Anwendungsgebiete in der Physik fuhrten daher meist
zu mathematisch besser verstandenen, modizierten Pfadintegralen wie z.B.
in der Thermodynamik, Statistik und in Feldtheorien (Pfadintegrale in der
euklidischen (imaginaren) Zeit, siehe z.B. [3, 4, 6]). In vielen unterschiedlichen
Anstrengungen wird bis heute auch versucht, die wesentlichen Beitrage
aus einer uberschaubareren Klasse von Pfaden zu gewinnen (z.B. in der semiklassischen
Quantenmechanik geschieht dies unter Stichwortern wie WKB-
Methode, Stationare Phasen Approximationen oder Gutzwiller Spurformel,
siehe dazu [3, 13]).
Wir haben versucht, den quantenmechanischen Propagator aus einer besonders
anschaulichen Untermenge aller Pfaden zu berechnen, indem wir
unserem Teilchen alle Wege auf einem endlichen Gitter in einem Potential erlaubt
haben. Diese Vorgehensweise ist vermutlich nicht gut geeignet, groere
Systeme in hoheren Dimensionen zu beschreiben, da die groen, komplexwertige
Matrizen dann zu weiteren numerischen Problemen fuhren wurden.
Hier werden die speziell entwickelten Methoden (s.o) viel bessere Ergebnisse
liefern. Ohne aber einen einzigen Pfad besonders auszuzeichnen, konnten wir
auf diese Weise die ursprungliche Echtzeit-Formulierung des Pfadintegrals im
Kongurationsraum nutzen, um wichtige Phanomene der Quantenmechanik
wie z.B. Tunnelvorgange und Observablen zu berechnen. Daruberhinaus fanden
interessante weitere Konzepte, wie z.B. das Energieeigenwertspektrum
31