Symmetrie in physikalischen Eigenschaften des Festkörpers

14
g
g
g
1
2
2
=
=
=
g
l
g
⋅ g
k
= δ
1 2 3
, g , g
l
k
11 12
g g1
+ g g
2
+
21 22
g g1
+ g g
2
+
31 32
g g1
+ g g
2
+
k
g =
kl
g g
l
g
g
g
13
23
33
g
g
g
3
3
3
Definition der ko- und kontravarianten
Basisvektoren
Basisvektoren des kontravarianten
Koordinatensystems.
Aufstellung des kontravarianten
Koordinatensystems im kovarianten. Die neun
Transformationskoeffizienten
11 12 13
33
g , g , g ,......., g definieren das beliebige
Koordinatensystem.
Schreibweise mit Buchstabenindizes und
Summationskonvention
Tabelle 13 Basisvektoren des kontravarianten Koordinatensytems als Linearkombination aus
Basisvektoren eines kovarianten Systems
Nach skalarer Multiplikation der Gleichungen mit den kovarianten Basisvektoren folgen die
Metrik-Koeffizienten, wenn man für die Skalarprodukte zwischen ko- und kontravarianten
Basisvektoren gemäß der Definition null oder eins einsetzt:
1
g g
1
g g
1
g g
1
2
3
= g
= g
= g
11
12
13
1
g g
g
g
2
2
g
g
2
2
3
= g
= g
= g
12
22
23
1
g g
g
g
2
3
g
g
3
3
3
= g
= g
= g
13
23
33
Die Skalarprodukte sind kommutativ, deshalb ist
kl
die Matrix g symmetrisch, mit sechs
unabhängigen Komponenten.
Tabelle 14 Kontravariante Metrik-Koeffizienten
Aus der Definition der Skalarprodukte folgt, dass die kontravarianten Metrik-Koeffizienten die
Information über die Beträge der kontravarianten Basisvektoren und die Winkel zwischen ihnen
enthalten:
12
1 11
2
g = g
cos( 1 , g ) =
11 22
g
g
3
g cos( g
1 , g ) =
11 33
⋅ g
g
g
13
⋅ g
23
2 22
3
g = g
cos( g
2 , g ) =
22 33
g
g
⋅ g
g
3
=
g
33
Tabelle 15 Beträge der kontravarianten Basisvektoren und die Winkel zwischen ihnen
Die analogen Gleichungen gelten bei Formulierung der kovarianten Basisvektoren im
kontravarianten System, aus beiden Gleichungen, ineinander eingesetzt wie in bei der
Berechnung der Matrixelemente zur Transformation auf orthogonale Koordinaten.