Symmetrie in physikalischen Eigenschaften des Festkörpers

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18 Das Transformationsgesetz für die kontravarianten Komponenten eines beliebigen Vektors folgt A = k A g k Vektor A in kovarianten Basisvektoren, aufgestellt im System Koordinatensystem B. k l l A = A ak gl k ak gl A = k A gk g = eingesetzt Vektor A in kovarianten Basisvektoren, aufgestellt im System Koordinatensystem B . Der Vergleich der Koeffizienten vor gleichen Vektoren g k , k=1,2,3, zeigt: k A = a k l A l Transformationsgesetz für die kontravarianten Komponenten eines Vektors beim Übergang in das Koordinatensystem B Tabelle 21 Aufstellung eines beliebigen Vektors und seiner kovarianten Basisvektoren in zwei Koordinatensystemen B und B Aufstellung in kontravarianten Basisvektoren: Transformation der kontravarianten Basisvektoren k g = k l b g l Aufstellung der kontravarianten Basisvektoren im System B in kontravarianten Basen im Koordinatensystem B k g = b g k l l Aufstellung der kontravarianten Basisvektoren im Koordinatensystem B in Richtung der kontravarianten Basen im Koordinatensystem B: Transformationsgesetz für die kontravarianten Basisvektoren bei Übergang in das System B Tabelle 22 Aufstellung der kovarianten Basisvektoren in zwei Koordinatensystemen B und B k Es wird nun gezeigt, dass die - zunächst noch unbekannten - Koeffizienten b l und die l Koeffizienten a k der Transformation der kontravarianten Komponenten (Tabelle 21) identisch sind:
19 k g = b g k m m Aufstellung der kontravarianten Basisvektoren im Koordinatensystem B in Richtung der kontravarianten Basen im Koordinatensystem B. Multiplikation mit dem kovarianten Basisvektor ⋅ gl g k ⋅ g l = b k m g m ⋅ g l = δ k l ko- und kontravariante Basisvektoren sind in allen Koordinatensystemen orthogonal. b k m g m n l ⋅ a g b n = b k m m a l k m = δ n l a δ = δ k l n m k l Mit Substitution g m ⋅ g n = δ m n l n l g = a g n , wegen a k m m a l = δ k l Vergleich mit der Beziehung zwischen den kontravarianten Komponenten der kovarianten Basisvektoren (Tabelle 20, mit geeigneter Wahl der Indizes) Aus dem Koeffizientenvergleich für b = a k m k m m a l in den beiden letzten Gleichungen folgt: Tabelle 23 Transformation der kontravarianten Basisvektoren. Bei Übergang in das System B transformieren sich die kontravarianten Basisvektoren wie die kontravarianten Komponenten eines Vektors (Tabelle 21) Zusammenfassend: Die Bezeichnung ko- bzw. kontravariant zeigt das Transformationsverhalten bei Wechsel des Koordinatensystems. Es gilt: k A = k g = a A = a k k l k l A a g l k l k A g = a g k l l l l Die kontravarianten Komponenten eines Vektors transformieren sich wie die kontravarianten Basisvektoren Die kovarianten Komponenten eines Vektors transformieren sich wie die kovarianten Basisvektoren Tabelle 24 Definition von ko- und kontravarianten Größen durch ihr Transformationsverhalten bei Wechsel des Koordinatensystems. (Man beachte aber, dass eine Aufstellung in kontravarianten Koordinaten eine kovariante Basis voraussetzt und umgekehrt.)
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