Symmetrie in physikalischen Eigenschaften des Festkörpers

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24 3.1.3 Der Spannungstensor (Stress Tensor) Ein Körper ist durch seine Oberfläche nach außen abgegrenzt. Wenn auf den Körper Kräfte wirken, dann gibt es zwei Fälle zu unterscheiden: • Die Kräfte entstehen durch die Massen im Innern des Körpers, bei der Gravitationskraft und den Trägheitskräften bei beschleunigter Bewegung. Die Kräfte sind, bei Annahme konstanter Dichte, zum Volumen proportional. • Die Kräfte werden durch das den Körper umgebende Material auf den Körper übertragen, und das geht nur über die Oberfläche. Diese Kräfte sind proportional zur Oberfläche. Bezogen auf die Fläche vom Betrag eins werden sie als Spannung (Stress) bezeichnet. Der Spannungstensor formuliert die durch die Oberflächen übertragenen Kräfte. Homogen wird die Spannung genannt, wenn die Kräfte auf die Oberflächen eines Probe-Elements unabhängig vom Ort dieses Elements sind. F F g 3 σ 33 σ 23 σ σ 32 13 σ 31 σ 22 σ 11 σ 21 σ 12 g 2 g 1 Abbildung 3 Oben rechts: Eingespannter Körper, auf die Platten wirke die Kraft F (die Platten seien an den Körper geklebt).Klein eingezeichnet ist der Probe-Würfel. Unten links: Kräfte auf
25 den Probewürfel, seine Kantenlängen seien eins. Die eingezeichneten Kraftkomponenten σ ik auf die Flächen vom Betrag eins sind die Komponenten des Spannungstensors. Zur Veranschaulichung kann man sich vorstellen, dass die oben eingezeichneten Vektoren für σ ik die Auslenkung von Federwaagen anzeigen, mit denen die entsprechenden Flächen in den Ruhelagen gehalten werden. Ohne äußere Kräfte zeigen alle null. Setzt man den Ursprung des Koordinatensystems in die Mitte des Probewürfels, dann zeigt ein positives Vorzeichen von σ ik , dass an der Fläche senkrecht zu g k das Material außerhalb des Würfels das Material innerhalb in Richtung von + g i zieht. Das gilt für die Flächen an Achsenabschnitten mit positiven Koordinaten. An Flächen mit negativen Achsenabschnitten werden die Vorzeichen so gewählt, dass bei homogener Dehnung die am Würfel angreifenden Kräfte kein resultierendes Drehmoment oder eine in einer Richtung beschleunigende Kraft erzeugen. g 3 Drehachse σ 33 σ 23 σ 32 σ 22 g 2 σ 22 σ 32 g 1 σ 23 σ 33 Abbildung 4 Spannungskräfte bei positivem Vorzeichen aller Tensorkomponenten. Die Spannung sei homogen, der Probewürfel sei bezüglich der eingezeichneten Achse Drehmoment frei, es gilt also σ = σ . ik ki Aus der Abbildung erkennt man, dass Tensorkomponenten mit positivem Vorzeichen eine Dehnung des Volumenelements beschreiben. Die Elemente außerhalb der Diagonalen werden so gewählt, dass auch bei inhomogener Spannung, im Grenzfall verschwindenden Volumens des Probewürfels, die Drehmomente zu vernachlässigen sind. Dazu definiert man: σ ik = σ ki Bedingung für verschwindende Drehmomente Tabelle 32 Der Spannungstensor ist symmetrisch
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