Symmetrie in physikalischen Eigenschaften des Festkörpers

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Abbildung 8 Spannung in unterschiedlichen Ebenen. Oben: beliebige Ebene, unten:
Hauptspannungsebene
Die Komponenten des Spannungstensors sind vom Spannungszustand abhängig. Bei
gleichbleibender Spannvorrichtung und Kraft bleiben sie unverändert. Für jeden
Spannungszustand kann man aber an jedem Ort eine Ebene finden, zu der die Richtung der
Spannung senkrecht steht. Diese Ebene heißt „Hauptspannungsebene“.
t = λ ⋅n
Bedingung für die Hauptspannungsebene
t
j
ij
= λ n g
j
= σ
j
λ n g
j
=
k
g g ⋅ n g
i
j
ij
σ n g
i
j
k
Verknüpfung von Spannung und Normale
durch den Tensor
σ
11
σ
σ
j ji
n = g ni
Nach Herabziehen des Index folgt:
ji
λ g nig
j
=
12
13
ni
− λ
ij
σ n g
ij ji
( − λ δ ) = 0
i
j
Aus dem Koeffizientenvergleich für g
j
folgt,
in orthonormierten Koordinatensystemen,
ij ij
wegen g = δ :
σ Homogenes Gleichungssystem für n
1
, n2,
n3
σ
σ
22
σ
12
− λ
23
σ
σ
σ
33
13
23
− λ
= 0
Das Gleichungssystem ist nur lösbar, wenn
diese Determinante null ist. Aus dieser
Bedingung folgen die drei „Eigenwerte“
λ , λ , λ
Tabelle 37 Aufbau der charakteristischen Gleichung zur Hauptachsentransformation
1
2
3
Für jeden Eigenwert liefert die Lösung des homogenen Gleichungssystems eine Richtung, die, im
gegebenen Spannungszustand, auch die der Spannung ist. Für diese Eigenvektoren gilt:
n λ n
ij
σ
i
=
j
Homogenes Gleichungssystem für n
1
, n2,
n3
,
liefert für die drei Eigenlösungen λ , λ , λ
drei Eigenvektoren
1
2
3
n
i
⋅ n
j
= δ
ij
Die Eigenvektoren
1
, n
2
, n
3
n sind orthogonal
Tabelle 38 Eigenvektoren zur Hauptachsentransformation
Die drei orthogonalen Vektoren n
1
, n
2
, n
3
können als Basis eines neuen Koordinatensystems
betrachtet werden. Der Übergang von der Basis g
1
, g
2
, g
3
auf die Basis der Eigenvektoren heißt