Symmetrie in physikalischen Eigenschaften des Festkörpers

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4.3 Aufbau der reduziblen Darstellung:
Zum Aufbau der reduziblen Darstellung benötigt man die Symmetriegruppe G, die auf die
3
Ortsvektoren im R wirkt, und ein Objekte der physikalischen Eigenschaft, das als Vektor eines
N
Vektorraums R verstanden wird. Die Dimension N richtet sich nach dem Objekt. Bei Tensoren
oder atomaren Auslenkungsfeldern ist die Dimension unmittelbar gegeben.
Ist das Objekt aber eine Funktion und ist die Dimension N nicht unmittelbar ersichtlich, dann
transformiert man eine Ausgangsfunktion zu jedem g ∈ G . Aus den so erzeugten Funktionen
wählt man die linear unabhängigen, ihre Anzahl zeigt die Dimension N. Jede dieser Funktionen
N
wird als eine Komponente eines Vektors in R geschrieben.
Ordnungsprinzip:
Symmetrie-Gruppe G
Transformation in R 3 :
x′ = T(g
) ⋅ x
Aufbau des Vektorraums,
spezifisch für die Anwendung:
( Transformation in R N )
e′ = D ) ⋅ e
(g ∀g ∈ G
Anwendung:
Atomare Auslenkung
Dehnungstensor
Atomare Auslenkung
Dehnungstensor
∆β
= e
2
∆ a =
a
e 11
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Permutations- und Drehmatrix
für den 3 p dimensionalen Raum
der Auslenkungsvektoren (p
Teilchenzahl)
Tabelle 58 Schema zum Aufbau der reduziblen Darstellung
Transformationsmatrix für den
6-dim. Vektor aus
Tensorkomponenten
Zu jedem Element g ∈ G wird nun die Transformationsmatrix D (g)
für einen beliebigen Vektor
N
aus R bestimmt. Die Gesamtheit der Transformationen bildet die Gruppe einer reduziblen
Darstellung der Symmetriegruppe G.