Symmetrie in physikalischen Eigenschaften des Festkörpers

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2.4.2 Beziehungen zwischen den ko- und kontravarianten
Vektorkomponenten
Multiplikation mit einem passenden Metrik Koeffizienten wandelt, für einen beliebigen Vektor,
eine kovariante in eine kontravariante Komponente um:
A =
1 2 3
1 2
A g1
+ A g
2
+ A g
3
= A1g
+ A2g
+
k
A = A g
k
=
l k
A ⋅ g = A g
k l
A ⋅δ
k
=
A
k
A g
k
g
k
⋅ g
kl
l
k
= A g
k
k
l
A =
⋅ g
g
A = g
l
lk
l
l k
A
A
k
k
A g
3
3
Vektor A im ko- und kontravarianten
Koordinatensystem
Skalare Multiplikation mit dem kontravarianten
l
Basisvektor ⋅ g zeigt, wegen der Orthogonalität
der ko- und kontravarianten Basisvektoren, die
Beziehung zwischen den ko- und
kontravarianten Komponenten
Multiplikation mit einem entsprechenden
Metrik-Koeffizienten wandelt eine kovariantein
eine kontravariante Komponente um,„zieht
den Index herauf“
Anlog: Umwandlung einer Kontra- in eine
kovariante Komponente, der Index wird
„heruntergezogen“.
Tabelle 17 Herauf- und Herabziehen eines Index: Übergang von ko- zu kontravarianten
Komponenten durch Multiplikation mit Metrik-Koeffizienten
2.5 Transformation der ko- und kontravarianten Komponenten bei
Wechsel des Bezugssystems
Die Transformationseigenschaften bei Wechsel des Koordinatensystems für ko- und
kontravarianten Basisvektoren ist eine charakteristische Eigenschaft dieser Basissysteme. Die
Form des Transformationsgesetzes für die Komponenten eines Vektors dient schließlich zur
Definition eines Tensors.
Ein beliebiger Vektor werde zunächst im kovarianten Koordinatensystem formuliert. Dann wird
das Koordinatensystem gewechselt. Aus dem Transformationsgesetz für die kovarianten
Basisvektoren folgt das Transformationsgesetz für die kontravarianten Komponenten des
Vektors. Man erkennt, dass sich die kontravarianten Basisvektoren wie die kontravarianten
Komponenten transformieren.
Die Basisvektoren und Komponenten bei Aufstellung eines Vektors im neuen
Koordinatensystem, B , werden durch einen Querstrich gekennzeichnet. Das ursprüngliche
Koordinatensystem sei mit B bezeichnet